Sucesiones recurrentes lineales sobre campos finitos binarios y su aplicación en la criptografía (página 2)
Enviado por Mayara Rosa Mier Macías
De esta manera, el polinomio primitivo sobre de grado
es un polinomio mónico, el cual es irreducible sobre
y tiene una raíz
que es un elemento generador del grupo multiplicativo
del campo
Los polinomios primitivos se pueden caracterizar también así:
Teorema 1.29
El polinomio de grado
es un polinomio primitivo sobre
si y solo si, él es un polinomio mónico tal que
y
De lo visto anteriormente podemos sacar algunas conclusiones.
Lema 1.30
Un elemento 
diferente de 
de 
tiene como orden multiplicativo un divisor de 
si este divisor es el propio
entonces
es un elemento primitivo de
Lema 1.31
Sea 
se cumple que 
si y solo si 
donde
es un divisor de 
Lema 1.32
De la teoría de números conocemos que k. así que el mayor campo contenido en
y es
Para ilustrar algo de lo visto sobre la caracterización de los campos finitos podemos afirmar por ejemplo que existe un campo con 
elementos (), que sus subcampos propios son 1024 
y 
que un elemento 
de 
cumple 
si y solo si en cuyo caso 
respectivamente. Otra conclusión es que para obtener los elementos de 
como polinomios con coeficientes en
se le debe adjuntar a este último la raíz 
de un polinomio irreducible de grado 
si este polinomio es primitivo todos los elementos de 
se pueden expresar como potencias de 10
1.2 Sucesiones recurrentes lineales sobre un campo finito
1.2.1 Definición de sucesión recurrente lineal
Definición 1.33
Sea 
número natural, 
elementos dados del campo finito La sucesión
de elementos del campo 
que satisface la relación 
(1.1) donde los primeros términos unívocamente determinan toda la sucesión y se llaman valores iniciales.
Dicha relación se llama relación recurrente lineal (de orden 
En la antigua literatura se puede también encontrar el término 
ecuación en diferencias El caso en que
se denomina relación recurrente lineal homogénea, en caso contrario relación recurrente lineal no homogénea. La correspondiente sucesión recurrente se llama sucesión recurrente lineal homogénea (no homogénea) sobre el campo
Sea una sucesión recurrente lineal homogénea de orden 
sobre el campo 
que satisface la relación recurrente lineal 
(1.2) donde 
El polinomio se llama polinomio característico de la sucesión recurrente lineal dada. Está claro que él depende de la relación recurrente lineal (1.2).
En calidad de primera aplicación de la noción de polinomio característico de la sucesión recurrente lineal mostramos como en un caso particular importante los términos de la sucesión recurrente lineal pueden ser expresados de manera clara a través de los coeficientes del polinomio 
Teorema 1.34
Sea una sucesión recurrente lineal homogénea de orden
sobre el campo
y
su polinomio característico. Si las raíces
del polinomio
son todas diferentes, entonces 
1.3) donde diferentes elementos del campo de descomposición del polinomio sobre el campo
los cuales unívocamente se determinan por los términos iniciales de la sucesión recurrente
Teorema 1.35
Si 
es una sucesión recurrente lineal homogénea sobre el campo entonces existe un polinomio mónico determinado unívocamente
poseedor de la siguiente propiedad, el polinomio mónico de grado positivo
es el polinomio característico de la sucesión dada si y solo si se divide por
Teorema 1.36
Sea 
el polinomio mónico irreducible sobre el campo
y sea
una sucesión recurrente lineal homogénea sobre el campo 
que no es una sucesión nula, si es el polinomio característico de la sucesión 
entonces él es igual a su polinomio mínimo 
Teorema 1.37
Sea una sucesión de elementos del campo que satisface la relación recurrente lineal de orden
con polinomio característico entonces el polinomio
coincide con el polinomio mínimo de esta sucesión si y solo si los vectores de estado son linealmente independientes sobre el campo Consecuencia 1.38
Si la sucesión es la función de impulso correspondiente a cierta relación recurrente lineal homogénea sobre el campo entonces el polinomio mínimo de esta sucesión es igual al polinomio característico de esta relación recurrente lineal.
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