Deducción completa ecuaciones de la curva, flecha, tensión y longitud de un cable parabólico con apoyos al mismo nivel

• Resumen
• Desarrollo del tema

RESUMEN

Se lleva a cabo la deducción paso a paso (en el texto consultado no se lleva a cabo así) del cálculo de la curva, flecha, tensión y longitud de un cable parabólico (el cual según se demuestra forma una parábola con el eje vertical), que soporta una carga uniformemente repartida sobre su proyección horizontal, como es el caso del cable de un puente colgante, y cables muy tirantes, con su flecha muy pequeña en comparación con su luz, como, los de las líneas eléctricas. Esta explicación es útil en la impartición de materias tales como: Estática, Diseño Mecánico, Instalaciones Mecánicas y Líneas de Transmisión, de la carrera de Ingeniero Mecánico electricista.

DESARROLLO DEL TEMA

Consideremos un cable que está suspendido entre dos puntos y soporta una carga que está uniformemente repartida sobre la proyección horizontal de la curva funicular (según se ve en la figura siguiente), este cable adopta la forma de una parábola. Deduciremos las ecuaciones que nos dan la curva, la flecha, la tensión en los puntos de apoyo y la longitud del cable parabólico, considerando que los puntos de los que está suspendido el mismo se, se hallan en el mismo plano horizontal.

El cable de un puente colgante es un ejemplo de un cable que soporta una carga que muy aproximadamente está uniformemente repartida en la dirección horizontal, ya que el peso del tablero está uniformemente repartido en esa dirección, y los pesos del cable y tirantes son pequeños en comparación con el de aquel; y por lo tanto pueden despreciarse. Otro ejemplo es el de un cable muy tirante (esto es un cable en el que la flecha es pequeña en comparación con la, luz) que no soporta una carga mas que la de su propio peso; como por ejemplo el cable de una línea eléctrica de transmisión, un alambre de telégrafo, etc.

En este caso la carga soportada por el cable (su peso) está repartida uniformemente a lo largo de la curva asumida por el cable, pero, puesto que la flecha (f) es pequeña, la proyección horizontal de un arco de curva es aproximadamente igual a la longitud del arco y, por consiguiente la carga está con bastante aproximación uniformemente repartida en la dirección horizontal.

Para resolver los problemas en que intervienen cables de esta naturaleza, se utiliza la ecuación de la curva asumida por el cable (la parábola) y las ecuaciones que expresan las relaciones entre la luz (a), la flecha (f), la longitud del cable (l), la tensión (T), etc. Con objeto de determinar la ecuación de la parábola consideramos una parte AB del cable como un cuerpo libre (figura b). Tomaremos como origen de coordenadas el punto más bajo del cable A, y la tensión en este punto la designaremos por H. La tensión en un punto cualquiera B la designaremos por T. Esto supuesto, la porción de cable AB está en equilibrio bajo la acción de las tres fuerzas H, T y la carga vertical wx que actúa en el punto medio D de la distancia entre A y C. Puesto que esas tres fuerzas están en equilibrio tienen que ser concurrentes y, por consiguiente, la línea de acción de T pasa por D. Las ecuaciones de equilibrio son:

∑FX = T cos α – H = 0, ……………… (1)

∑Fy = T sen α – wx = 0… ……………(2)

Eliminando T en (1) y (2) tenemos:

De (1)  T= …..(3)

De (2)  T=…..(4)

Igualando (3) y (4)

=

Tan α = …..(5)

Pero de la figura    Tan α =

Tan α =………(6)

Luego, igualando 5 y 6

=

y = …..(7)   ECUACIÓN DE LA CURVA

La curva es, pues, una parábola con el vértice en A y eje vertical.

Eliminando α de (1) y (2), tenemos

De  1) T Cos α = H                                           T2 Cos2α = H2 …..8)