Superposición de bandas cromatografías y espectroscópicas. Aproximación cuadrática

El objetivo de este documento es mostrar las posibilidades de analizar espectros y cromatogramas complejos como superposición de bandas simétricas descritas por 3 segmentos de funciones parabólicas de eje vertical. Se formula el modelo para una banda y se desarrolla el procedimiento en una hoja de cálculo Excel de la expresión de de bandas y su correspondiente superposición a partir de parámetros experimentales fácilmente asequibles. Se muestra finalmente un ejemplo de aplicación práctica

Desarrollo del modelo

Nos proponemos describir una banda utilizando sucesivamente un intervalo de cada una de las funciones del tipo

que describen la evolución de la señal en la ordenada y (absorbancia o intensidad) frente a la variable independiente x ( longitud de onda o Rf).

Para evitar al máximo discontinuidades en el punto de transición de y1 a y2 en la coordenada x de esta transición se deberá cumplir

De acuerdo con la ecuación (5) la abcisa x de este punto de transición entre las funciones y1 , y2 cumple la condición

Introduciendo la expresión (7) en las ecuaciones (1-3) y teniendo en cuenta las coordenadas x de los puntos de transición dadas por las igualdades (6) (8) obtenemos las funciones e intervalos de coordenadas x de aplicación de las misma que describen la banda completa y que se muestran en la tabla 1

Tabla 1.- Ecuaciones de la banda e intervalos de x correspondientes.

Ecuaciones de banda normalizada

Mediante un adecuado cambio de escala de las variables x,y las ecuaciones anteriores pueden convertirse en expresiones únicas aplicables a todas las bandas dando lugar a unas ecuaciones de banda normalizadas. En efecto haciendo el cambio de variables

Las expresiones de la tabla 1 toman la forma que se indica en la tabla 2

Tabla 2.-Funciones de banda normalizada de acuerdo con los cambios de variable (9) y (10)

La figura 2 muestra la curva normalizada de acuerdo con las funciones de la tabla 2 junto a las rectas correspondientes a la evolución de la primera derivada de estas funciones

Figura 2.- Funciones de banda normalizadas Y1-Y3 (color azul) y rectas de las primeras derivadas correspondientes (color rojo)

Aplicación del modelo en hoja de cálculo Excel

Las funciones de banda normalizadas permiten orientar de forma sencilla el proceso de descripción de bandas en una hoja de cálculo Excel

La tabla 3 muestra un ejemplo de aplicación del modelo propuesto a la expresión de una banda en un proceso de cálculo que a continuación se detalla

• 1) Las casillas B1-B3 corresponden a datos de entrada ym, xm y x(1/2) (abcisa x de ordenada ym/2. También son datos de entrada los de la columna D que corresponden a coordenadas x que interese estudiar ( arbitrarias o correspondientes a datos experimentales)

• 2) La casilla B4 realiza el cálculo de la abcisa de inicio de banda y en ella se especifica la fórmula utilizada

• 3) La casilla B5 indica, de forma no operativa, la transformación de abcisas x en valores normalizados de la misma de acuerdo con la ecuación (9)

• 4) Las casillas B6-B8, también de forma no operativa, el proceso de cálculo de las funciones y1 – y3 como producto de las correspondientes magnitudes normalizadas Y1- Y3 por Ym (casilla B1)

• 5) Copiando la expresión B5 en la casilla de la columna E contigua a un valor de la columna D igual o superior más próximo al de la casilla B4, cambiando en la expresión B5 copiada la letra "D" por la localización exacta de la casilla D contigua (D10 en el ejemplo contemplado) y anteponiendo el signo = a la expresión copiada obtenemos una función operativa que nos proporciona el valor de la abcisa X normalizada.

La función operativa así obtenida se copia hacia abajo en la columna E hasta alcanzar el valor 4

• 6) Las expresiones de las casillas B6, B7 y B8 se copian en la columna F y se convierten en operativas para el cálculo por el mismo procedimiento utilizado en el apartado 5) aplicándolas en el margen de valores de X normalizados dadas por la tabla 2 de acuerdo con los valores proporcionados para esta magnitud en la columna E. La tabla de valores D, F así obtenida proporciona los valores x,y de la banda teórica adaptada al modelo propuesto de acuerdo con los parámetros ym,xm y x ½ introducidos en la casilla B1 – B3.

Tabla 3.- desarrollo del modelo para una banda en una hoja de cálculo Excel