En la figura anterior, DHJIKF es un hexágono regular de centro A. Si la longitud de la circunferencia circunscrita es 12p , entonces ¿Cuál es el área del cuadrilátero AFKI? En la figura anterior, L es el centro del cuadrado ORPQ de 64cm de perímetro, T es el punto medio de PQ y U es el punto medio de QT . ¿Cuánto mide el segmento UL? ¿Cuál es el área del ?UPL? En la figura anterior, ?ABC es un triángulo equilátero de centro E, F es el punto medio de BC y AF mide 9cm. Calcule el perímetro del ?ACE. Suponga que en la figura anterior la recta EC es tangente en C a la circunferencia de centro A, AF =6cm y m?AEC = 45º . Hallar la longitud del arco menor FC. Hallar el á rea del sector circular limitado por AF , AC y el arco FC. Hallar el área de la región sombreada.
En un circulo de 20cm de diámetro ¿A que distancia se encuentra del centro toda cuerda de 16cm? En la figura anterior, AB = AC =10 y CF ? AB. Si AE = 6, entonces ¿Cuál es la medida de EF ? D C
En la figura anterior, el cuadrilátero ABCD es un rectángulo, C y D son los centros de las circunferencias tangentes a B A C B entonces ¿Cuál es el área destacada con negro? A
15cm
Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 54 Suponga que A es el centro de la circunferencia y D-A-E, AB es la bisectriz del ?CAE, el arco menor DC mide 120º y la longitud del arco menor BC es 2p cm. Hallar la medida de la cuerda CE . Hallar el área del sector circular determinado por el arco menor BE. Hallar el área del segmento circular determinado por el arco menor CD.
Si A, B y C son puntos de la circunferencia de centro O tales que las medias de los arcos menores AB, AC y CB están dadas por x, 3x y 5x, entonces ¿Cuál es la medida del ?ABC?
Si cada uno de los ángulos internos de un polígono regular mide 168º, entonces ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde cada vértice?
¿Cuál es el área de un cuadrado cuyo radio mide 10 2cm?
¿Cuánto mide la apotema en un triángulo equiángulo de 90cm de perímetro?
¿Cuál es el área de un triángulo equilátero cuya altura es igual a 6?
¿Cuál es el semiperímetro de un polígono regular en el cual se pueden trazar un total de 35 diagonales, si cada lado mide 6cm?
¿Cuál es la medida del lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia cuya longitud es 100cm? ¿Cuánto mide cada lado de un nonágono regular de 10cm de apotema? En la figura anterior, el cuadrilátero ECFD es un rombo de 16cm de lado y E es el centro de la circunferencia. ¿Cuál es el área de dicho cuadrilátero?
Si la altura de un prisma mide 15cm y la base es un triángulo equilátero de área 25 3cm2, entonces ¿Cuál es el área total del prisma?
En un cubo está inscrito una esfera de 1200p de superficie. ¿Cuál es la medida de la arista de ese cubo?
En un cilindro circular recto el volumen es p cm3y el área de la base es p cm2 ¿Qué se puede asegurar con respecto a la medida de la altura de ese cilindro?
En la figura anterior, el área de la circunferencia menor es 64p y el diámetro de la circunferencia mayor mide 20cm. Si la recta MN es tangente a ambas circunferencias y AB = 38,25, calcule la medida de MN ?
Considere una pirámide recta cuya base es un hexágono regular en el cual la circunferencia inscrita tiene 15cm de radio. Si el volumen de la pirámide es 1800 3 encuentre el área lateral.
55 De acuerdo con los datos de la figura anterior. Si O es el centro de la circunferencia OA=12 ,OD ?OA, OD ? BC y m?AOB=60º, entonces ¿Cuál es el área de la región destacada con negro?
De acuerdo con los datos de la figura anterior, en la cual C es el punto de tangencia de la recta CH y la circunferencia y m?FCD =50º , entonces ¿Cuál es la medida del ?DCH ?
De acuerdo con los datos de la figura anterior, si PQ es tangente a la circunferencia de centro O en P, PQ es Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
paralela a AB y PB =6, entonces ¿Cuál es la medida de AB ? De acuerdo con la figura anterior, en la que se muestra una circunferencia de centro A, si la longitud del arco menor CB es 5p , entonces ¿Cuál es la medida de la cuerda CE ?
Considere dos puntos P y Q de una circunferencia de centro O y radio r, tales que PQ = OP. Si M es el punto medio de QP , entonces ¿Cuál es la medida de OM ?
De acuerdo con los datos de la figura adjunta, en la cual el arco menor AE mide 130º y que AE =CE , entonces ¿Cuánto mide el ?CAV ?
Si los perímetros de dos polígonos regulares de igual cantidad de lados están en relación 5:7 y el área del menor es 35 2 , entonces ¿Cuál es el área del mayor?
Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 56 El volumen de un cilindro circular recto es 54p y la medida de la altura es 6. Si el radio de la base se triplica y se mantiene la misma altura, entonces ¿Cuál es el volumen resultante?
Considere dos circunferencias de centros P y Q que se intersecan en dos puntos A y B. Si PQ = 24cm y AQ =13cm, entonces ¿Cuál es el área del cuadrilátero BPAQ?
Considere dos circunferencias concéntricas que determinan una corona circular de 2cmde ancho y 20 cm2 de área. ¿Cuál es el diámetro de la circunferencia menor?
¿Cuántos vértices tiene un polígono regular de 170 diagonales?
¿Cuál es el número de lados de un polígono regular en el cual el radio mide el doble de la apotema? En la figura adjunta anteriormente, N es el centro de ambas circunferencias. U y V son los puntos medios de NT y NU , respectivamente, entonces ¿Cuál es el perímetro del pentágono regular VWXYZ, en función del segmento TP ?
En un hexágono regular el área es x cm2 y el perímetro es x cm, entonces ¿Cuál es la medida del lado de dicho hexágono? La diagonal de un cubo mide 12 2cm, entonces ¿Cuánto mide la diagonal de cada cara del cubo?
En la figura anterior, el cuadrilátero PQRS y ?ABC (equilátero) son polígonos regulares inscritos en la circunferencia de centro O. Si el perímetro del triángulo es 18cm, entonces ¿Cuál es el área del cuadrado? Calcule el área de la región sombreada anteriormente, si se sabe que A y E son los centros de las circunferencias, m?DHC =30º y AE = 2cm En la figura adjunta M y K son puntos de la superficie esférica. J es el centro de la esfera y de la base del cono circular recto de vértice M. El volumen de la esfera es de 36p cm3. Calcule el volumen y el área lateral del cono.
Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 56 TRIGONOMETRÍA sen x 1+ cos x cot x +
p 9p 57 Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
1. En cada uno de los siguientes ejercicios determine la medida en radianes que corresponde a la medida dada en grados. 382º
568º
497º
395º
141º
-512º
116º
350º 342º
-167º
420º
-653º
-469º
-165º
395º
-294º 150º
-197º
-101º
90º
45º
30º
60º
180º 2. En cada uno de los siguientes ejercicios determine la medida en grados correspondiente a la medida en radianes. 4p 11
7p 10 7p 8
– 2
-3p
p 3 p 2 10p 3
3p 2 –
– 5 p 6
5p
–
3p 5 4p 11 – 6p 7
7p 9 9p 7
8p 9
14p
30p 7 p
9p
5p 5p 3p 4p 10p 58 Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
3. En cada uno de los siguientes ejercicios, calcule la medida de un ángulo (en grados) positivo y otro negativo que sea coterminal con el ángulo dado. La respuesta no es única. 319º
-177º
388º
-700º
339º
-197º
-434º
-489º 204º
152º
643º
-14º
226º
-112º
125º
3º 45º
90º
135º
270º
180º
360º
500º
400º 4. En cada uno de los siguientes ejercicios, calcule la medida de un ángulo (en radianes) positivo y otro negativo que sea coterminal con el ángulo dado. La respuesta no es única. p 2 – 3
2 p 2
–
6p 7
–
5p 7
3p 4 5p 8 4
5 3p 2 4p 5
–
–
4p 7 3p 4 – p 3 20p 7
19p 7
11p 13
21p 8
7p 7 2
–
997p = cscx = seca = sin2 u sec u = cot? + csc? + = 2csct = sin 2 x·sec2 x·csc2 x cos x 59 Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
5. Para cada uno de los siguientes ejercicios, halle los ángulos de referencia para cada uno de los ángulos dados, además dibuje su lado terminal en el plano cartesiano. -952º
-471º -328º 880º
718º -610º 194º
-201º
-155º
-803º
472º
-814º
-679º 673º
992º -124º -650º
7º -399º 280º
752º
956º
587p 180
– 180 98p 45 139p 30 – 283p 90 188p 45 – 61p 36
17p 36
481p 180
337p 180 6. Compruebe cada una de las siguientes identidades trigonométricas. 1 tana sina cot 2a cosa = cota ·seca ·sina =1
sec2 x – tan 2 x =1
1+secx sin x + tan x
sec2a ·cota csca 1 2
tand ·cos2d – tan(90º-d)·sin 2d = 0 sin 2 x·cot 2 x + cos x·tan 2 x =1 2cot 2 ß + cot4 ß = csc4 ß -1
sec2 u -1 2
sin? 1-cos?
1+ cost sint sint 1+cost =1 + cosa seca sina csca
=1+sin? (1-sin e)(1+ tan e)=1 (1+sin x)(1-sin x)= = cosx + cot x = sin x·tan x =1+ tan x = cot x +sec2 x – tan 2 x = tan 2 x cot x +1 = sin2 x sec x = tan x = + = 2secx 1+ tan x 1+ tan x Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica = secß + tanß 1+sinß cosß cota ·seca = csca
cos2? 1-sin?
2 2 1 sec2 x sinv cscv =1-cos2 v cscx -cosx·cotx = sin x
1-cos2 x cosx
sin x + cosx cosx
secx -cosx = tanx·sinx
1+ tan x tan x
cosx + tanx·sinx = secx =1- 2sin 2 x 1- tan 2 x 2 = sin x secx cot x + tan x csc2 x 2 = cot 2 x 1+sin x cosx secx + tan x = =1 + cot2 x csc2 x tan2 x sec2 x sin x(cscx -sin x)= cos2 x
tan 2 x -sin 2 x = tan 2 x·sin 2 x
secx -cosx = sinx·tanx
1+ cscx secx cosx(tanx +cotx)= cscx sinx·secx = tanx tan 2 x +1 2
sec2 x -1 2
sin x + tan x 1+ cosx
sin x -cosx tan x -1 sin x + cosx tan x +1
1+sin x cosx cosx 1+sin x =1+ tan x sin x + cosx cosx = sin 2 f sec f ·sin f tan f ·cot f = 2cscx 1+ cosx sin x + sin x 1+ cosx cosx = secx – tanx·sinx sec4 x – tan 4 x 1+ 2tan 2 x 7. Simplifique cada una de las siguientes expresiones trigonométricas.
60
secx·cot x·cos(90º-x) 1+ + – cos2 x + + + cot x Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 61 tan2 x·cos2 x·sec2(90º-x)
sinx·tan(90º-x)
2
tan x·sec x·cos 2 x 1 tan x cot x· ·cos2(90º-x) ( ) cot 2 x1+ tan 2 x tan 2 x·csc2 x·cot 2 x·sin 2 x sin x·secx -cotx sin x·cot 2 x cosx secx cscx sin x cosx + sin 2 x + cos 2 x + tan 2 x
cosx cscx tan x cot x
csc2-1 cot x
sec x·csc x·cot x
1 csc2 x
tan x·cos x
sin x·cosx·tan x secx·cscx·cot x tan 2 x +1 cot 2 x +1 sin x +sin x·cosx 1+ cosx
cot x tan x
tan x + cot x cscx cos x + cos x·tan 2 x sin x·tan x·csc2 x -sin x·tan x sinx +cosx·cotx sin x secx + sin x·tan x cscx sin 2 x·cosx + cos3 x -cosx +sin x cosx cosx·tan x·sin x tan x – tan x
cscx sin x secx sin x
cot x tan x tan x·csc x·cos x
1 1 1-cos(90º-x) 1+sin x
secx tan x
1+secx 1-secx 1+ cosx sin x + sin x 1+ cosx (cscx-1)(cscx +1)
sec2 x· (1-sin x)sec x – + csc2 x – (1-cos x)(1+ tan x) cot x + sin x +sin x·tan x cot x -cos x (1-cos x)sec x (1+ cot x)cos x sin x 1-cosx Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 62 cot x tan x
2 2
cscx -csc x·cos2 x (secx -tanx)(1+sinx) cosx(tanx +cotx) 1 cosx cosx 1+sin x – – tan x
– tan x
cscx sin x secx sin x
secx sin x
cot x tan x cosx secx sin x cscx + 1+ tan 2 x tan 2 x
sin x 1+cosx
sinx·cotx
2 2 2
2 2
cot 2 x
2 -cosx
cosx·tanx +sinx·cotx -cosx sin(90º-x)·cot(90º-x) sinx·cos(90º-x)+cosx·sin(90º-x)
cosx·tanx·tan(90º-x)·csc(90º-x)
sinx·cotx·cot(90º-x)·sec(90º-x)+2
sec(90º-x)-cotx·cos(90º-x)·tan(90º-x)-sinx
sin x·cot 2 x cosx 1-cos2 x +sin 2 x 1-sin 2 x
cscx secx sin x cosx
cot x tan x
2 2 cot x·csc x sec x·cot x
cotx·secx·sinx
tan x·csc x·cos x
2 2
2 2
1- tan cscx
1-cscx cot x sinx·cot(90º-x)·sec(90º-x)
1- tan x secx
+ + cosx ?p ? 2sin x -cos x =1 cos2 x +sin 2 x = sin x + 63 Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
cos(90º-x)·cotx cscx·cot(90º-x) tanx·sinx +cosx
cscx-cosx csc x -cot x·cos x sinx +cosx·cotx
sec x -sec x·sin 2 x sin 2 x cosx
tan x·csc x -cos x cscx·cot(90º-x) 1 1 1-cos(90º-x) 1+sin x secx sin x – tan x cscx sin x cot x tan x – 1 1-cosx – 1 1+ cosx (1+sinx)(secx- tanx)
cosx·sin? – x? ? 2 ?
cosx(tanx +cotx) tan x·csc x·cos x 8. Halle el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones trigonométricas. 4sinx = cscx
2sin 2 x = -3cos x
2sin 2 x = -sin x
4tan 2 x = 3sec2 x
2 3sin x = 6
sec2 x -1= -sec x +1
2sinx = sin x
6+ 3 ·tan x = 5
2
( 3 – cot x)cscx = 0
3sin 2 x = cos 2 x 2cotx·cosx -cotx = 0
2 3sin x = 6
2cos 2 x = -cos x
tan 2 x +1= -2tan x
2sin 2 x = -sin x
4tan 2 x = 3sec2 x
1 2 (1+cosx)(1-cosx)=1-cosx
2cosx = 3cot x
2sin 2 x = sin x sinx(tanx +1)= 0
?p – x? = -2 64 3 -cosx = 0
3tan x + 3 = 0
2 3sin x -3 = 0
1+ 3tan x = 0
2cosx+1= 0
3 -cosx = cosx (2cosx – 3)(secx – 2)= 0
2+ 3tan x = 3
3cscx +2 = sinx (cscx + 2)(sin 2 x -1)= 0
cosx = 0.5
sin x = 0.5
1- 2cosx = 0
2sinx = -1
3 tan x =1
2+ 3tan x = 3
-1+ 3cot x = 0 4cos2 x -3 = 0
sinx·tanx = sinx Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
4-cscx = 2 2tan x = 3 + tan x
3tan x +1= 0
4sin 2 x -3 = 0
cosx = 2 -cosx
sinx·tanx = sinx
2sinx·cosx = sinx
sinx =1-sinx
2sinx = -1
2+ 3tan x = 3
(1-2cosx)sin x = 0
3tanx+1= 0
cosx = 2 -cosx
sin 2 x + sin x = 0 (2cosx – 3)(secx – 2)= 0
2 3sin x = 6
sec2 x -1= -sec x +1
2sinx·cotx -2 2 = – 2 ? ? 2tan? ? 2
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