Un matemático es algo mas que alguien que sólo tiene el conocimiento y dominio de las técnicas, para considerarse matemático no vasta con saber matemáticas, hay que poseer una mente creadora, dar algún aporte a tan portentosa ciencia. Paul Erdos, matemático húngaro, decía que un matemático es una máquina que convierte café en teoremas.
A lo largo de la historia, ha habido toda clase de matemáticos, algunos muy conocidos otros no tan conocidos, pero todos tienen algo en común y es el hecho que en mayor o menor medida han aportado un granito de arena (en algunos casos playas enteras) a las ciencias matemáticas.
En esta ocasión quiero hablarles de un matemático que quizás no sea muy conocido pero que su nombre ha quedado aunado a un postulado muy interesante, el cual trataremos más adelante.
Breve Biografía
Joseph Louis Bertrand: nació en París, Francia, el 11 de marzo de 1822.
Fue un matemático que perteneció a la academia de ciencias de París.
En 1845 conjeturó que existe por lo menos un número primo entre n y 2n – 2, para valores enteros de n mayores que tres. Tiempo mas tarde la conjetura fue probada por otro matemático llamado Pafnuty Chebyshev, hoy en día a tal prueba se le conoce como postulado de Bertrand. También hizo contribuciones en el campo de la probabilidad, con su paradoja conocida como la paradoja de Bertrand.
Joseph Bertrand murió en París el 5 de abril de 1900.
Postulado de Bertrand
Como vimos, en un principio Bertrand conjeturó que: n < p < 2n – 2, tal que n > 3; aunque confirmó su autenticidad para ciertos valores, no pudo encontrar una prueba matemática que aseverara su conjetura. Existe otra versión del postulado de Bertrand, que aunque es más débil que el primero es más refinado, existe un primo (p) entre n y 2n, para valores de n mayores que 1.
n < p < 2n, tal que n > 1
Ahora nos surge la pregunta, ¿Por qué el postulado de Bertrand no se conoce con el nombre de postulado de Chebyshev, si fue este último quien lo demostró?
La verdad es que el postulado se conoce con el nombre de Bertrand-Chebyshev, pero es el apellido de Bertrand que aparece de primero, y con el respeto que merece Chebyshev, considero que es justo el nombre del postulado ya que hay que disponer de un gran ingenio, al igual que quien lo demuestra, para venir y salir con una conjetura matemática de cualquier índole, Julio Verne lo expresó de mejor forma cuando dijo: lo que uno puede imaginar, otros lo harán realidad.
Pero, ¿Dónde está la importancia del postulado de Bertrand?
Pues en lo personal pienso que todo lo que tiene que ver con números primos es interesante, recordemos que los números primos son para las matemáticas lo que los átomos son para la materia, todos los números naturales pueden ser representados a partir de los números primos. Existe cierto velo de misterio que arropa a los números primos, hay muchas cosas que aún hoy, pese a los avances matemáticos alcanzados, ignoramos de ellos, por lo tanto hay mucha tela por donde cortar, eso los hace atractivos para los estudiosos de los números. Estos han sido tema de estudio de muchos matemáticos, que se han dejado seducir por las propiedades matemáticas intrínseca de ellos, y es que gran parte de la teoría de números tiene que ver con tan fascinantes guarismos. El postulado de Bertrand nos da un indicio de cómo están distribuidos tales números, y es ahí donde radica su importancia.
Existen un sin número de conjeturas que involucran a los números primos, son muchas las que podríamos citar, sin embargo, en vez de citar las existentes, hemos querido exponer la nuestra, la cual consideramos verdadera (común de nominador en todas las conjeturas), pero en matemáticas considerar verdadera una conjetura no es demostrarla, por lo que no debemos cometer el error de pensar que es cierta hasta no haberla demostrado.
Como nuestra conjetura no es más que una generalización del ya mencionado postulado de Bertrand (tanto la versión fuerte como la débil), que mejor nombre que el de Conjetura Generalizada del Postulado de Bertrand para denominarlo.
Conjetura Generalizada del Postulado de Bertrand
Sea (m, x) números enteros mayores 0, se cumple entonces que:
2m < p1 < m(x + 2) < p2 < 2m(x + 1)
Donde:
P1 y p2 son números primos, tales que:
P1 + p2 = 2m(x + 1) + 2m
Si sustituimos a x por 1, notaremos que nuestra conjetura se convierte en la versión débil del postulado de Bertrand, esto es:
2m < 3m < 4m
Por dicho postulado sabemos que existe por lo menos un número primo entre 2m y 4m, pero eso no convierte en verdadera nuestra conjetura ya que para que la misma sea verdadera deben existir dos primos tales que: 2m < p1 = 3m y 3m = p2 < 4m. En otras palabras lo que hemos conjeturado es que existen por lo menos dos números primos entre 2m y 4m.
La versión mas fuerte del postulado de Bertrand afirma que existe por lo menos un número primo entre n y 2n – 2, veamos lo que sucede con la conjetura generalizada cuando sustituimos a m por 1.
2m < p1 < m(x + 2) < p2 < 2m(x + 1)
Haciendo m =1, tenemos:
2 < p1 < (x + 2) < p2 < 2(x + 1)
2(x + 1) = 2x + 2
2x + 2 = 2(x + 2) – 2, sustituyendo este valor en la conjetura original, tenemos:
2 < p1 < (x + 2) < p2 < 2(x + 2) – 2
Haciendo x + 2 igual a n, nos queda:
2 < p1 < n < p2 < 2n – 2
Donde claramente podemos notar la presencia de la versión fuerte del postulado de Bertrand.
Para este último caso en particular, se hace casi evidente la veracidad de nuestra conjetura, y no se requiere de mucho esfuerzo demostrar que es verdadera para este individual.
Según lo que hemos expuesto, para números pares, deben existir por lo menos dos números primos entre n y 2n, observemos algunos ejemplos:
(8,16)
Por el postulado de Bertrand, sabemos que existe por lo menos un primo entre 8 y 16, mas la conjetura generalizada afirma que existen dos, por lo que debe existir un primo entre 8 y (8 + 16)/2 y un segundo primo entre (8 + 16)/2 y 16.
(8 +16)/2 = 12
8 9 10 11 12
12 13 14 15 16
Efectivamente podemos notar la existencia de dos primos, tal cual lo afirma la conjetura generalizada. Ojo, ojo, esto no demuestra la veracidad de la conjetura, sólo ha sido un ejemplo (bastante sencillo por cierto) para poder ilustrar mejor lo que se ha dicho.
En los ejemplos podemos observar que cuando m = 1, entonces x tiene que ser mayor que 1, puesto que sólo tendríamos un número primo entre 2m y 2m(x + 1).
2 3 4
Este último es un caso particular de la conjetura generalizada del postulado de Bertrand.
Autor:
José Acevedo Jiménez