Son similares a la mediana en que también subdividen una distribución de mediciones de acuerdo con la proporción de frecuencias observadas. Mientas que la mediana divide a una distribución en mitades, los cuartiles (Q) la dividen en cuartos, los deciles (D) la dividen en décimos y los puntos percentiles (P) la dividen en centésimos.
Colectivamente, cuartiles, deciles y percentiles se denominan cuantiles. Puesto que sirven para ubicar datos particulares dentro de ciertas porciones de una distribución de datos, toman el nombre de medidas de posición.
Cuartiles
Son cada uno de los 3 valores Q1, Q2, Q3 que dividen a la distribución de los datos en 4 partes iguales.
1.1) Propiedades
Los cuartiles son un caso particular de los percentiles. Hay 3 cuartiles:
Primer cuartil: Q1=P25, segundo cuartil: Q2=D5 =P50=Mediana, tercer cuartil: Q3=P75
1.2) Métodos de Cálculo
a) Para Datos No Agrupados
La posición o ubicación de los cuartiles se encuentra aplicando la siguiente ecuación:
Qk=Xn·k4+12=Xn·k+24
Donde:
n = número total de datos
k = número del cuartil
Ejemplo ilustrativo:
Encuentre los cuartiles dada la siguiente distribución, y represéntelos gráficamente mediante un diagrama de caja y bigotes: 6, 9, 9, 12, 12, 12, 15 y 17
Solución:
Para calcular los cuartiles se ordena los datos de menor a mayor
Aplicando la ecuación para el cuartil uno se obtiene:
Qk=Xn·k+24
Q1=Xn+24=X8+24=X104=X2,5
Como la posición del cuartil 1 es 2,5, su valor es el promedio de los datos segundo y tercero
Q1=X2,5=x2+x32=9+92=9
O también la posición 2,5 dice que el cuartil 1 está ubicado al 50% del trayecto comprendido entre el segundo dato, que es 9 y el tercer dato que es 9, es decir, Q1= 9+0,5(9-9) = 9
Interpretación: Este resultado indica que el 25% de los datos es inferior a 9
En Excel se calcula de la siguiente manera:
a) Se inserta la función CUARTIL.INC y se pulsa en Aceptar. En Matriz, seleccionar las celdas (rango A1:A8). En Cuartil, escribir 1
b) Pulsar en Aceptar.
Aplicando la ecuación para el cuartil dos se obtiene:
Qk=Xn·k+24
Q2=Xn·2+24=X2n+24=X2·8+24=X16+24=X4,5=x4+x52=12+122=12
O también la posición 4,5 dice que el cuartil 2 está ubicado al 50% del trayecto comprendido entre el cuarto dato, que es 12 y el quinto dato que también es 12, es decir,
Q2= 12+0,5(12-12) = 12
Interpretación: Este resultado indica que el 50% de los datos es inferior a 12
En Excel se calcula de la siguiente manera:
Repetir los pasos para el cuartil 1, y en la opción de cuartil escribir 2
Aplicando la ecuación para el cuartil tres se obtiene:
Qk=Xn·k+24
Q3=X3n+24=X3·8+24=X24+24=x264=X6,5=x6+x72=12+152=13,5
O también la posición 6,5 dice que el cuartil 2 está ubicado al 50% del trayecto comprendido entre el doceavo dato, que es 12 y el quinceavo dato que 15, es decir, Q3= 12+0,5(15-12)
Q3= 12+0,5(3)=12+1,5=13,5
Interpretación: Este resultado indica que el 75% de los datos es inferior a 13,5
En Excel se calcula de la siguiente manera:
Repetir los pasos para el cuartil 1, y en la opción de cuartil escribir 3. Pulsar en Aceptar.
Nota: Para elaborar un diagrama de caja y bigotes es necesario saber:
Un diagrama de caja y bigotes es una representación gráfica que ayuda a visualizar una distribución de datos: caja desde Q1 a Q3 (50% de los datos), y bigotes el recorrido (distancia desde valor mínimo hasta el valor máximo).
Para elaborar un diagrama de caja se procede de la siguiente manera:
a) Se marca los valores de la serie de datos sobre el eje horizontal o vertical.
b) Se ubica sobre el eje el valor mínimo, primer cuartil, mediana o segundo cuartil, tercer cuartil y el valor máximo.
c) Se construye un rectángulo (caja) paralelo al eje, de longitud desde Q1 a Q3 y anchura arbitraria.
De acuerdo al ejemplo ilustrativo se tiene:
Valor mínimo = 6
Q1 = 9
Q2 = 12
Q3 = 13,5
Valor máximo = 17
b) Para Datos Agrupados en Tablas de Frecuencias
Se aplica la misma ecuación empleada para el cálculo en los datos no agrupados
Ejemplo ilustrativo: Calcular el cuartil 2 dada la siguiente tabla:
x | f | |
6 | 1 | |
9 | 2 | |
12 | 3 | |
15 | 1 | |
17 | 1 | |
Solución:
1) Cálculo del cuartil 2
Aplicando la primera ecuación para el cuartil dos se obtiene:
Qk=Xn·k+24
Q2=Xn·2+24=X2(n+1)4=Xn+12=X8+12=X92=X4,5
Como la posición del cuartil 2 es 4,5, su valor es el promedio de los datos cuarto y quinto
Para observar con claridad cuáles son los datos cuarto y quinto se aconseja calcular la frecuencia acumulada
x | f | fa | |||
6 | 1 | 1 | |||
9 | 2 | 3 | |||
12 | 3 | 6 | |||
15 | 1 | 7 | |||
17 | 1 | 8 | |||
Se observa que el cuarto dato es 12 y el quinto dato es 12, por lo tanto
Q2=X4,5=x4+x52=12+122=12
Calculando la fra(%) se obtiene:
x | f | fa | fr | fra | fra(%) | ||||||||||||||
6 | 1 | 1 | 0,125 | 0,125 | 12,5 | ||||||||||||||
9 | 2 | 3 | 0,25 | 0,375 | 37,5 | ||||||||||||||
12 | 3 | 6 | 0,375 | 0,75 | 75 | ||||||||||||||
15 | 1 | 7 | 0,125 | 0,875 | 87,5 | ||||||||||||||
17 | 1 | 8 | 0,125 | 1 | 100 | ||||||||||||||
n | 8 | ||||||||||||||||||
c) Para Datos Agrupados en Intervalos
Se emplea la siguiente ecuación:
Qk=LiQ+nk4-FafQ·c
Donde
Lip= Límite inferior del intervalo de clase del cuartil
n = número total de datos
Fa = Frecuencia acumulada del intervalo de clase que antecede al intervalo de clase del cuartil
fQ = Frecuencia absoluta del intervalo de clase del cuartil
c = Ancho del intervalo de clase del cuartil
Ejemplo ilustrativo: Dado los siguientes datos sobre pesos de un grupo de 50 personas:
Intervalos | f |
45- 55 | 6 |
55- 65 | 10 |
65- 75 | 19 |
75- 85 | 11 |
85- 95 | 4 |
1) Calcular los cuartiles empleando la ecuación
2) Calcular los cuartiles empleando un histograma para fra(%) (Frecuencia relativa acumulada mediada en porcentajes)
Solución:
1) Cálculo de los cuartiles empleando la ecuación
1.1) Cálculo del primer cuartil
Primero se calcula nk/4 y después se averigua el intervalo en el que está el cuartil, este intervalo recibe el nombre de intervalo o clase del primer cuartil. Para averiguar el intervalo en el que están los cuartiles se aconseja calcular la frecuencia acumulada
Intervalos | f | fa | |
45- 55 | 6 | 6 | |
55- 65 | 10 | 16 | |
65- 75 | 19 | 35 | |
75- 85 | 11 | 46 | |
85- 95 | 4 | 50 | |
n | 50 | ||
Por lo tanto en este ejemplo:
El intervalo del segundo cuartil es 55-65.
El número total de datos es n=10
Se observa que 6 valores están por debajo del valor 55, es decir Fa=6.
La frecuencia absoluta (fQ) del intervalo del cuartil es 10
El ancho del intervalo del cuartil es c=65-55=10.
Al aplicar la ecuación se obtiene:
Qk=LiQ+nk4-FafQ·c
Q1=55+50·14-610·10=55+504-610·10=55+1320·10=55+6,5
Q1=61,5
1.2) Cálculo del segundo cuartil
Primero se calcula nk/4 y después se averigua el intervalo en el que está el cuartil, este intervalo recibe el nombre de intervalo o clase del cuartil.
Por lo tanto para el segundo cuartil se tiene:
Intervalo: 65-75
n=10
Fa=16
fQ =19
c =75-65 =10
Al aplicar la ecuación se obtiene:
Qk=LiQ+nk4-FafQ·c
Q2=65+50·24-1619·10=65+1004-1619·10=65+919·10=65+4,737
Q2=69,737
1.3) Cálculo del tercer cuartil
Primero se calcula nk/4 y después se averigua el intervalo en el que está el cuartil, este intervalo recibe el nombre de intervalo o clase del cuartil.
Por lo tanto para el segundo cuartil se tiene:
Intervalo: 75-85
n=10
Fa=35
fQ =11
c=85-75=10
Al aplicar la ecuación se obtiene:
Qk=LiQ+nk4-FafQ·c
Q3=75+50·34-3511·10=75+1504-3511·10=75+522·10=75+2,273
Q3=77,273
2) Cálculo de los cuartiles empleando un histograma para fra(%)
2.1) Calculando la fra(%) se obtiene:
Intervalos | f | fa | fr | fra(%) | ||||
45- 55 | 6 | 6 | 0,12 | 12 | ||||
55- 65 | 10 | 16 | 0,20 | 32 | ||||
65- 75 | 19 | 35 | 0,38 | 70 | ||||
75- 85 | 11 | 46 | 0,22 | 92 | ||||
85- 95 | 4 | 50 | 0,08 | 100 | ||||
n | 50 | |||||||
2.2) Elaborando el histograma en Excel y en Paint se obtiene la siguiente figura:
Histograma para la fra(%)
2.3) Cálculo del primer cuartil
Observando en gráfico tenemos que el Q1 = 55 + AE
Los triángulos ABC y AED son semejantes, por lo que se cumple:
ABCB=AEDE
65-5532-12=AE25-12?1020=AE13
Despejando AE se obtiene:
1020·13=AE?AE=6,5
Entonces, Q1 = 55 + 6,5 = 61,5
2.3) Cálculo del segundo cuartil
Observando en gráfico tenemos que el Q2 = 65 + CI
Los triángulos CFG y CIH son semejantes, por lo que se cumple:
CFFG=CIHI
75-6570-32=CI50-32?1038=CI18
Despejando CI se obtiene:
1038·18=AE?AE=4,737
Entonces, Q2 = 65 + 4,737 = 69,737
2.3) Cálculo del tercer cuartil
Observando en gráfico tenemos que el Q3 = 75 + GM
Los triángulos GJK y GML son semejantes, por lo que se cumple:
GJJK=GMML
85-7592-70=CI75-70?1022=CI5
Despejando CI se obtiene:
1022·5=CI?CI=2,273
Entonces, Q3 = 75 + 2,273 = 77,273
Deciles
2.1) Definición
Son cada uno de los 9 valores D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, D9 que dividen a la atribución de los datos 10 partes iguales.
El primer decil es igual al décimo percentil (D1=P1), el segundo decil es igual a veinteavo percentil (D2=P20), y así sucesivamente.
2.2) Métodos de Cálculo
a) Para Datos No Agrupados
La posición o ubicación de los deciles se encuentra aplicando la siguiente ecuación:
Dk=Xn·k10+12=Xn·k+510
Donde:
n = número total de datos.
k = número del decil.
Ejemplo ilustrativo:
Calcular el quinto decil de la siguiente distribución: 6, 9, 9, 12, 12, 12, 15 y 17
Solución:
Para calcular los deciles se ordena los datos de menor a mayor.
6 | 9 | 9 | 12 | 12 | 12 | 15 | 17 | ||||||||||||||||
x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | ||||||||||||||||
Aplicando la ecuación para el quinto decil se obtiene:
Dk=Xn·k+510
D5=Xn·5+510=X5n+510=X5·8+1010=X40+510=X4,5=x4+x52=12+122=12
O también la posición 4,5 dice que el decil 5 está ubicado al 50% del trayecto comprendido entre el cuarto dato, que es 12 y el quinto dato que también es 12, es decir,
D5= 12+0,5(12-12) = 12
En Excel se calcula de la siguiente manera:
Como D5 es igual a P50 se introduce la función PERCENTIL.INC(A1:A8;0,5) como se muestra en la siguiente figura:
b) Para Datos Agrupados en Tablas de Frecuencia
Se emplea la misma ecuación utilizada en el cálculo de los deciles para datos sin agrupar.
c) Para Datos Agrupados en Intervalos
Se emplea la siguiente ecuación:
Dk=LiD+nk10-FafD·c
Donde:
LiD = Límite inferior del intervalo de clase del decil.
n = número total de datos.
Fa = Frecuencia acumulada del intervalo de clase que antecede al intervalo de clase del decil.
fD = Frecuencia absoluta del intervalo de clase del decil.
c = Ancho del intervalo de clase del decil.
Percentiles o centiles
3.1) Definición
Son cada uno de los 99 valores P1, P2, P3,……..P99 que dividen atribución de los datos en 100 partes iguales.
3.2) Métodos de Cálculo
a) Para Datos No Agrupados
La posición o ubicación de los percentiles se encuentra aplicando la siguiente ecuación:
Pk=Xn·k100+12=Xn·k+50100
Donde:
n = número total de datos
k = número del percentil
Ejemplo ilustrativo:
Calcular los percentiles de orden 20 y 33 del peso de diez personas que pesan (en kg)
80, 78, 65, 73, 65, 67, 72, 68, 70 y 72
Solución:
Se ordena los datos de menor a mayor se tiene:
65 | 65 | 67 | 68 | 70 | 72 | 72 | 73 | 78 | 80 | |||||||||||||
x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | x9 | x10 | |||||||||||||
1) Cálculo del percentil de orden 20 se obtiene:
Pk=Xn·k+50100
P20=Xn·20+50100=X10·20+50100=X250100=X2,5=x2+x32=65+672=66
En Excel se obtiene un valor aproximado insertando la función PERCENTIL(A1:A10:0,2)
2) Cálculo del percentil de orden 33 se obtiene:
Pk=Xn·k+50100
P33=Xn·33+50100=X10·33+50100=X380100=X3,8=x3+x42=67+682=67,5
En Excel se obtiene un valor aproximado insertando la función PERCENTIL.INC(A1:A10:0,33)
b) Para Datos Agrupados en Tablas de Frecuencia
Se emplea la misma ecuación utilizada en el cálculo de los percentiles para datos sin agrupar.
c) Para Datos Agrupados en Intervalos
Se emplea la ecuación:
Pk=LiP+nk100-FafP·c
Donde:
Lip= Límite inferior del intervalo de clase del percentil.
n = número total de datos.
Fa = Frecuencia acumulada del intervalo de clase que antecede al intervalo de clase del percentil.
fp = Frecuencia absoluta del intervalo de clase del percentil.
c = Ancho del intervalo de clase del percentil.
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WEBSTER, Allen, (2000), Estadística Aplicada a los Negocios y a la Economía, Ed. McGraw Hill.
Interamericana Editores S.A. Bogotá, Colombia
Autor:
Mario Orlando Suárez Ibujes