Regresión Potencial mediante el Método de los Mínimos Cuadrados

La regresión examina la relación entre dos variables, pero restringiendo una de ellas con el objeto de estudiar las variaciones de una variable cuando la otra permanece constante. En otras palabras, la regresión es un método que se emplea para predecir el valor de una variable en función de valores dados a la otra variable.

En todos los casos de regresión existe una dependencia funcional entre las variables. En el caso de dos variables, siendo una de ellas (X) variable independiente y la otra (Y) la dependiente, se habla de regresión de Y sobre X; Por ejemplo, los ingenieros forestales utilizan la regresión de la altura de los árboles sobre su diámetro, lo cual significa que midiendo el diámetro (variable independiente) y reemplazando su valor en una relación definida según la clase de árbol se obtiene la altura, y aun sin necesidad de cálculos aprecian la altura utilizando gráficas de la función de dependencia, altura = función del diámetro.

La regresión potencial tiene por ecuación predictora:

Y la regresión recíproca es:

Para el primer caso los valores siguen una ley potencial. Si la ecuación predictora está dada por: tomando logaritmos en ambos miembros, queda:

Donde las constantes y quedan fijadas al resolver simultáneamente las ecuaciones:

Para el segundo caso, si la ecuación predictora está dada por entonces invirtiendo, la misma expresión se puede escribir o sea:

Donde las constantes y quedan fijadas al resolver simultáneamente las ecuaciones:

Ejemplos ilustrativo N° 1

Sea el siguiente conjunto de valores, las lecturas de un experimento donde X es el volumen (variable independiente) e Y es la presión de una masa dada de gas (variable resultante).

1.1) Elaborar el diagrama de dispersión.

1.2) Ajustar una curva exponencial aplicando el método de mínimos cuadrados.

1.3) Calcular la ecuación predictora.

1.4) Graficar la ecuación predictora.

1.5) Estimar la presión de la masa de gas de volumen 9.

Solución:

1.1) El diagrama de dispersión elaborado en Excel se presenta en la siguiente figura:

El diagrama de dispersión elaborado en Graph se presenta en la siguiente figura:

1.2) Para ajustar una curva exponencial aplicando el método de mínimos cuadrados se llena la siguiente tabla:

Reemplazando valores en el sistema de ecuaciones se obtiene:

Al resolver el sistema se obtiene: log a = 0,819; ß = 2,351

Reemplazando valores en la ecuación predictora expresada en logaritmos se tiene:

1.3) Para calcular la ecuación predictora, primero se calcula el valor de a de la siguiente manera:

Reemplazando en la ecuación predictora se obtiene:

1.4) Graficando la ecuación predictora mediante Excel se muestra en la siguiente figura:

Empleando Graph se obtiene la siguiente figura:

1.5) Para estimar la presión de la masa de gas de volumen 9 se reemplaza el valor X = 9 en la ecuación predictora

Ejemplo ilustrativo N° 2

Sea el siguiente conjunto de valores, las lecturas de un experimento donde X es la variable independiente e Y la variable resultante.

2.1) Elaborar el diagrama de dispersión.

2.2) Calcular las constantes y aplicando el método de mínimos cuadrados.

2.3) Calcular la ecuación predictora.

2.4) Graficar la ecuación predictora.

2.5) Estimar el valor de Y para X = 9

Solución:

2.1) El diagrama de dispersión elaborado en Excel se muestra en la siguiente figura:

El diagrama de dispersión elaborado en Graph se muestra en la siguiente figura:

2.2) Para calcular las constantes y aplicando el método de mínimos cuadrados se llena la siguiente tabla:

Reemplazando valores en el siguiente sistema se obtiene:

Al resolver el sistema se obtiene:

a = 0,5271; ß = 0,2160

2.3) Para calcular la ecuación predictora se reemplaza los valores encontrados de a y ß, y se obtiene:

2.4) La gráfica la ecuación predictora elaborada en Excel se muestra en la siguiente figura:

La gráfica la ecuación predictora elaborada en Graph se muestra en la siguiente figura:

2.5) Para estimar el valor de Y para X = 9 se reemplaza el valor de X en la ecuación predictora.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BENALCÁZAR, Marco, (2002), Unidades para Producir Medios Instruccionales en Educación, SUÁREZ, Mario Ed. Graficolor, Ibarra, Ecuador.

DAZA, Jorge, (2006), Estadística Aplicada con Microsoft Excel, Grupo Editorial Megabyte,

Lima, Perú.

SUÁREZ, Mario, (2004), Interaprendizaje Holístico de Matemática, Ed. Gráficas Planeta,

Ibarra, Ecuador.

SUÁREZ, Mario, (2011), Interaprendizaje de Estadística Básica

TAPIA, Fausto Ibarra-Ecuador.

Autor:

Mario Orlando Suárez Ibujes