Análisis real : resolución de problemas según Polya (página 2)

Partes: 1, 2

SEGUNDO PASO: CONCEBIR UN PLAN

Punto A) Problema semejante :

Un tanque de agua tiene la forma de un cono circular invertido, con base de un radio de 2 m y altura de 4 m . S i se bombea agua a razón de 2 m 3 / min , encuentre la razón a la cual sube el nivel del agua cuando ésta tiene una profundidad de 3 m .

Punto B) Buscamos relaciones entre los datos y la incógnitas

TERCER PASO : EJECUTAR EL PLAN

V = 3 / 4 πy 3 esta expresión es la delación entre V e y derivamos ambos miembros con respecto al tiempo :
dv/ dt = 9/4 π y 2 dy/dt despejamos la incógnita y reemplazamos los datos
dy/ dt = 7,4 pies/h en 1 hora la altura del cono aumenta 7,4 pies (razón de cambio)
Como nos faltan 40 pies para llegar a 100 pies que es la altura de la parte superior del silo por regla de tres simple tenemos
Respuesta: Tardará en llegar a la parte superior del silo cuando la pila tiene 60 pies , 5 hs 24 minutos.
Si , en cierto tiempo t, la pila tiene 60 pies de alto ¿ cuánto tiempo tardarán en llegar a la parte superior del silo?
1)La gerencia quiere saber cuánto lugar quedara en el área del piso del silo cuando la pila tenga 60 pies de alto ¿ Con cuanta rapidez aumenta el área del piso de la pila cuando ésta tiene esa altura?

Tenemos que calcular el área de la corona circular para y = 60 pies.

Si la altura del cono es de 60 pies , por la proporcionalidad de los triángulos semejantes teníamos que :

El área de la corona circular es : π ( a 2 – x 2 ) = π [(200 pies ) 2 – (90 pies )2]

= π (40.000 pies 2 – 8100 pies 2) = π 31.900 pies 2 = 100.166 pies 2

Respuesta : El área del piso sin cubrir cuando la pila tiene 60 pies es de aproximadamente 100.166 pies 2

2) Rapidez con la cual aumenta el área le piso cuando la pila tiene 60 pies.

Partimos de la relación entre el volumen ,el radio y la altura

V= 1/3 π x2 y como y = 2/3 x reemplazamos y tenemos :

dx/dt = 11, 1 pies / h este resultado indica que el radio aumenta por 11,1 pies por hora (razón de cambio)

Como queremos saber como aumenta el área del piso y dijimos que es una corona circular reemplazamos en la ecuación y tenemos :

Área de la corona circular = π a 2 – π (x + rc)2 reemplazamos la razón de cambio

Tenemos : π a 2 – π (x + 11, 1 pies/h) 2

Respuesta: La rapidez con la cual aumenta el área del piso cuando la pila tiene 60 pies esta dada por la función x(t)

c) Suponga que un cargador empieza a extraer el mineral a razón de

20.000 π pies 3 / h cuando la altura de la pila alcanza 90 pies . Suponga también que la pila conserva su forma. En estas condiciones ¿ Cuanto tardara la pila en alcanzar la parte superior del silo?

Relacionamos los datos con la incógnita que es dy/dt

si y= 90 pies entonces por la relación entre x e y tenemos : X = 3/2 y

reemplazando en la ecuación

V = 1/3 π x2 y entonces V = 1/3 π (3/2 .y) 2 y resolviendo :

V= 3 / 4 π y 3 derivamos ambos miembros con respecto del tiempo

dV/ dt = ¾ π 3 y 2 . dy/dt resolvemos

dV/dt = 9/4 π y 2 dy/dt despejamos la incógnita

dy/dt = ——— dV/dt reemplazamos los datos

9 π y 2

dy/dt = ————— 40.000 π pies3 / h resolviendo las operaciones

9 π (90 pies) 2

Y(t)= 2,195 pies / h este valor nos indica que la altura aumenta 2, 195 pies en una hora .

Pero como queremos saber la rapidez con que llegara a la parte superior del silo o sea alcanzar 10 pies ya que la pila tiene 90 pies ,se resuelve con una regla de tres simple:

2,195 pies

10 pies

Respuesta : Alcanzará la parte superior del silo o sea los 100 pies a las 4hs 33 min cuando la pila tiene 90 pies.

PUNTO 4: VISIÓN RETROSPECTIVA SOBRE LOS RESULTADOS OBTENIDOS

1hora —– 7,4 pies ——11,1 pies
Formamos proporciones tomando varios valores :
Como se forman triángulos semejantes sabemos que sus lados son proporcionales donde su constante de proporcionalidad es de 1,5 o 3/2, verificamos si se cumple esta relación con los valores que hallamos de razon de cambio.
90 pies 3
Si utilizamos la tg α = ———= — por lo tanto podemos calcular el αngulo α
60 pies 2
α= tag -1 1,5 entonces α= 62 Ί 33’ 59,73’’
Como sabemos la tangente de un ángulo es la razón entre el lado opuesto del ángulo y el lado adyacente.
101,1 pies
Tg 62º 33’ 59,73’’ = —— des pejando y resolviendo tenemos que A = 67,4 pies
A
B
Tg 62º 33’ 59,73’’ = —— entonces B= tg 62º 33’ 59,73’’ . 67,4 pies B= 101,1pies
67,4
Podemos verificar los resultados utilizando la delación con uno de los ángulos ya que sabemos que son triángulos semejantes sus ángulos son iguales :
APLICACIÓN DEL MÉTODO A OTRO PROBLEMA :

Se descarga grava desde un transportador de banda, a razón de 30 pies 3 / min y su grosor es tal que forma una pila a manera de un cono cuyo diámetro en la base y su altura siempre son iguales ¿ Con qué rapidez aumenta la altura de la pila cuando ésta tiene 10 pies de alto?