Algunas aplicaciones de los números complejos en la geometría plana
Puesto que
La distancia de de los puntos A y B se calcula por la fórmula:
Introduciendo las notaciones
, de donde resulta que la tercera propiedad de las distancias se puede escribir también en la forma siguiente:
Entonces, según la geometría analítica,
Así,
En efecto,
Utilizando el lema 1, resulta que:
Teorema 1:
Teorema 2:
Teorema 3 (de Pitágoras):
De los cálculos anteriores resultan todas las afirmaciones del teorema.
Teorema 4:
Por permutación circular se obtienen las otras dos igualdades de las fórmulas (19).
Teorema 5 (del coseno):
Las otras igualdades de (20) se obtienen por permutación circular.
Observación 1:
Teorema 6:
Teorema 7:
Teorema 8:
Observación 2:
Teorema 9:
Observación 3: Las rotaciones conservan las distancias. En efecto, si
Teorema 10:
Observación 4:
Teorema 11:
Así, según el teorema 3,
De las relaciones (31) se deduce que:
Para demostrar la equivalencia (28), hay que observar que la fracción siguiente:
La demostración de la relación (29) es análoga: El cociente
Observación 5:
Observación 6:
Observación 7:
Teorema 12:
Sean
Así, según el teorema 9,
De las relaciones (41) se deduce que:
Finalmente, de las relaciones (42) resulta que:
La demostración de (38) y (39) es idéntica con la demostración de (28) y (29).
Observación 8:
Teorema 12 (de Napoleón):
Luego, teniendo en cuenta las relaciones (48), resulta que
Eligiendo el sistema de referencia en el plano tal que
Observación 9: Sumando las igualdades (46) resulta que
Teorema 13 (de Napoleón): Los centros de gravedad de los triángulos equiláteros construidos sobre los lados de un triangulo cualquiera ABC (hacía el interior) forman un triángulo equilátero.
Así, según la relación (24),
Luego, teniendo en cuenta las relaciones (34), resulta que
Eligiendo el sistema de referencia en el plano tal que
A continuación se va a exponer una demostración del teorema de Napoleón basada en el teorema del coseno y del seno:
Si R es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC, según el teorema del seno y coseno, respectivamente,
, y el teorema de Napoleón queda demostrado.
Teorema 14:
Entonces,
Si el sistema de referencia orto-normal se elige tal que
Luego
Puesto que las translaciones conservan los ángulos, según la fórmula (63) resulta que
Las afirmaciones (66) y (67) son equivalentes puesto que el cociente de dos números complejos de argumentos iguales tiene el argumento cero, y así es un número real positivo.
En el segundo caso,
Luego, teniendo en cuenta que si dos números complejos tienen el mismo módulo y el mismo argumento entonces son iguales, resulta que (70) y (71) son equivalentes a las igualdades siguientes:
Observación 10: Los triángulos directamente semejantes son también semejantes, pero al revés no.
Ejemplo 1:
, implica solo la semejanza de los triángulos y son directamente semejantes si y solamente si tienen la misma orientación.
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
Cualquier triángulo ABC es directamente semejante con sigo mismo, puesto que un determinante con dos filas iguales es nulo.
Ejemplo 4:
Ejemplo 5:
Ejemplo 6:
Observación 11: Si la transformación t es una composición de traslaciones rotaciones y homotecias La imagen de un triángulo por t es directamente semejante con el triángulo inicial.
Observación12:
, donde x, y, z son números reales o complejos.
Observación 13: Si
De manera análoga se puede ver que si el segundo factor es nulo, entonces el primer factor es no nulo.
Teorema 15: Un triángulo ABC es directamente semejante con el triángulo BCA si, y solamente si,
, y la propiedad queda demostrada.
Observación 14: En particular, un triángulo equilátero es siempre directamente semejante con sí mismo y con aquellos triángulos que se deducen de el por permutación circular de los vértices (que conserva la orientación). Por tanto, si ABC es un triángulo equilátero, ABC es directamente semejante con cualquiera de los triángulos ABC , BCA, y CAB, y puesto que la segunda igualdad de (77) se deduce de la primera por permutaciones circulares de los vértices, se cumple siempre la igualdad:
Teorema 16:
Teorema 17:
Tenemos:
Dado que
Observación 15:
Teorema 18 (de Euler):
Teorema 19 (teorema de Napoleón ampliado):
Sumando las igualdades (90) resulta que
Luego, combinando (94) con (95) se obtiene que:
Teorema 20: Si ABCD es un cuadrilátero, entonces los segmentos que unen los puntos medios de loa lados opuestos y el segmento que une los puntos medios de las diagonales (cuyo soporte es la recta de Gauss) son concurrentes en el centro de gravedad del cuadrilátero. Luego
En efecto,
Por otra parte,
Finalmente,
Utilizando las relaciones anteriores y las igualdades (101) y (102), y calculando las expresiones
Teorema 21:
Así, teniendo en cuenta las relaciones (105) y (106), resulta que
Teniendo en cuenta las relaciones (107), (108) y (109), de (111) resulta (104).
Lema de Ptolomeo:
Teorema 22 (de Ptolomeo)
Si el cuadrilátero convexo ABCD es cíclico entonces el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos:
Así de (110) y (112) resulta que
Observación 17:
Teorema 23 (de Ptolomeo): Si el cuadrilátero convexo ABCD es cíclico, entonces
En efecto, conservando el sistema de referencia y las notaciones del teorema 19, se considera la identidad siguiente:
Observación 18:
Si el cuadrilátero cíclico es cruzado (ver figura 13), aplicando el segundo teorema de Ptolomeo en el cuadrilátero cíclico convexo CADE se obtiene que
Si se conocen los lados del cuadrilátero cíclico cruzado y tiene sentido la fórmula (124), las fórmulas (114) y (124) permiten calcular los diagonales externos.
Teorema 24:
Según lo visto en los teoremas 17 y 18, los afijos de los centros de estas cuatro circunferencias de Euler son
Teorema 25: Si ABCD es un cuadrilátero cíclico entonces las rectas que pasan por el punto medio de un lado y son perpendiculares sobre el lado opuesto, son concurrentes en un punto E. Las perpendiculares sobre una diagonal que pasan por el punto medio de otro, también pasan por el mismo punto E.
De la misma manera, las rectas que pasan por los puntos medios de los lados BC, CD, y DA y son ortogonales sobre los lados opuestos, tienen las ecuaciones:
En el aparatado (86) ya se ha visto que la ecuación de una circunferencia. Las ecuaciones de las rectas y todos los problemas afines, también se pueden transcribir utilizando los números complejos. En la geometría analítica se establece que la ecuación general de la recta es:
, y así, la ecuación de la recta se puede escribir de la manera siguiente:
Dos rectas, de ecuaciones
En efecto, si las dos rectas de las ecuaciones (132) corresponden a las ecuaciones cartesianas siguientes:
La condición del paralelismo de las rectas (132) queda demostrada.
Las rectas (132) son perpendiculares si
, la condición (133) queda demostrada.
Por consiguiente la ecuación (137) se transforma en:
Teorema 26 (de Simpson):
Las proyecciones ortogonales de un punto M de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC sobre los lados, están alineados (Ver [1]).
La justificación se dará solo en el caso de la recta (AB).
Por otra parte la ecuación de la recta que pasa por los puntos X e Y se puede escribir de las dos siguientes maneras equivalentes:
Por tanto, la ecuación de la recta de Simpson se puede escribir de la manera siguiente:
Así la ecuación (151) se transforma en:
Observación 19:
Observación 20:
Teorema 27 de [3]:
Por permutación circular se obtienen las otras tres rectas de Simpson:
Por definición,
Por tanto,
Cuando el punto U es interior a la circunferencia (figura 15)
Teorema 28:
Así los puntos que tienen la misma potencia respecto a las circunferencias mencionadas es la recta
Según la relación (135), las rectas (162) y (164) son ortogonales, puesto que:
Si las dos circunferencias son tangentes (externas o internas) el punto de tangencia y los centros de las circunferencias están alineados (en cada circunferencia los radios que unen el centro con el punto de tangencia son perpendiculares al tangente común y hay una sola recta perpendicular a la tangente en el punto de tangencia). La tangente común es el eje radical puesto que contiene un punto del eje radical (el punto de tangencia, que tiene potencia nula respecto a las dos circunferencias) y es ortogonal a la recta determinada por los centros.
Para hallar el afijo de la intersección entre el eje radical y la recta determinada de los centros hay que resolver el sistema formado por las ecuaciones (162) y (164):
Restando de la primera ecuación la segunda, resulta que:
Luego,
Observación 21:
Si las ecuaciones de dos circunferencias son
Observación 22:
Teorema 29:
Por tanto,
Así, restando de (170) a (171) resulta que:
Teorema 30 (de Newton):
De manera análoga resulta que:
Luego,
Teorema 31:
Los afijos de los puntos medios de las diagonales del cuadrilátero ABCD, siendo:
Teorema 32 (de Newton):
Puesto que,
, y teniendo en cuenta las factorizaciones
, se obtiene que:
De manera análoga,
, y teniendo en cuenta las factorizaciones
Teorema 33:
Primero se escriben las ecuaciones de los lados (ver fórmulas (142)- (144))
Las ecuaciones de las tangentes en los vértices del cuadrilátero son:
Luego,
Para averiguar si F , H, G están alineados, los cálculos son las siguientes:
Bibliografía
[1] N. Mihaileanu: Utilizarea numerelor complexe in geometrie, Editura Technica, Bucure?ti, 1968
[2] Betuker János ?i Veres Zoltán, Gaz. Mat. Fiz.B, 14, 1963, p.1
[3] I. Iaglom Números Complejos, Moscova, 1963
[4] D. Pompeiu, Revista Matematica, Timisoara,22, 1942, pagina 67
[5] N.N. Mihailenu, Complemente de geometrie sintetica, Editura Didactica si Pedagogica, 1965
Autor:
Aladar Peter Santha