- Introducción
- Procedimiento
- Propiedades
- Ejemplos ilustrativos
- Ejercicios de refuerzo
- Referencias bibliográficas
Introducción
Para comprender que son los números enteros es necesario saber la clasificación de los números. Los números se agrupan en conjuntos o estructuras diversas; cada una contiene a la anterior y es más completa que ella y con mayores posibilidades en sus operaciones.
El siguiente gráfico muestra la clasificación de los números
Estos números se detallan a continuación:
Números Naturales (N)
Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.
Los números naturales son cardinales, pues sirven para contar los elementos de un conjunto. El conjunto de los números naturales es infinito.
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9……}
Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto: 1º (primero), 2º (segundo), 16º (decimosexto).
Números Enteros (Z)
Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por Z:
Z = {….,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ,4, 5,…}
Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo, etc.)
Números Racionales (Q)
Son los que se pueden expresar como cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción.
Ejemplo:
El conjunto Q de los números racionales está compuesto por los números enteros y por los fraccionarios. Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios.
Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario.
Al expresar un número racional, no entero, en forma decimal se obtiene tres clases de números decimales:
Números Irracionales (I)
Son aquellos que no son racionales, generalmente tienen una cantidad de cifras ilimitadas (no periódicas).
Ejemplo:
Números Reales (R)
El conjunto formado por todos los números racionales y los irracionales es el de los números reales, de modo que todos los números mencionados hasta ahora (naturales, enteros, racionales, irracionales) son reales. Estos números ocupan la recta numérica punto a punto, por lo que se llama recta real.
Números Imaginarios
Son aquellos que provienen de extraer la raíz con índice par de un número negativo.
Ejemplo:
Números Complejos (C)
Se denomina número complejo a la unión de los números reales con los números imaginarios.
Ejemplo:
5+3i
Procedimiento
Para sumar o restar números enteros (Z) se procede del siguiente modo:
– Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos, y al resultado se le pone el signo que tenían los sumandos, es decir, signos iguales se suma y se conserva el signo de los sumandos.
Ejemplos: 5 + 7= 12 ; -5 –7 = -12
– Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro negativo, se restan sus valores absolutos y se le pone el signo del mayor, es decir, signos diferentes se resta y se conserva el signo del número de mayor valor absoluto.
Ejemplos:
7 – 5 = 2 ; 5- 7 = -2 ; -7 + 5 = -2 ; -5 + 7= 2
Propiedades
Clausurativa: La suma o resta de dos o más números Z es otro Z: 5+7=12? a + b = c, siendo a, b, c elemento de los números Z.
Asociativa: (5+7)+2=5+(7+2)? (a+b)+ c = a+(b+c)
Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma total, 7- 5 = -5 + 7 ? a + b = b + a
Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma, 7 + 0 = 7? a + 0 = a
Elemento opuesto: todo número entero a, tiene un opuesto –a, 7 + (-7) = 0 ? a + (-a) = 0
Ejemplos ilustrativos
1.- Resuelva numérica y gráficamente las siguientes operaciones:
a) 2+5 b)-2-5 c)5-2 d)2-5 e)-2+5 f)-6+2
Solución:
2.- Resuelva los siguientes ejercicios siguiendo el proceso afirmaciones-razones.
a) 5-{2+[2-5]} b)3-{-4+[5-(4-8) ]}
Solución:
Afirmaciones | Razones |
a) 5-{2+[2-5]} | |
=5-{2+[-3]} | Restando y porque el –5 tiene mayor valor absoluto |
=5-{2-3} | Cuando está el + antes de un signo de agrupación, el número sale sin cambiar de signo |
=5-{-1} | Restando y porque el –3 tiene mayor valor absoluto |
=5+1 | Cuando está el – antes de un signo de agrupación, el número sale cambiando de signo |
=6 | Signos iguales se suma y se conserva el signo de los sumandos. |
b) 3-{-4+[5-(4-8) ]} | Datos del ejercicio b) |
=3-{-4+[5-(-4) ]} | El-8 tiene mayor valor absoluto |
=3-{-4+[5+4 ]} | El –4 sale cambiando de signo |
=3-{-4+[9 ]} | Se conserva el signo de los sumandos. |
=3-{-4+9} | El + está antes de [ ] |
=3-{5} | El 9 tiene mayor valor absoluto |
=3-5 | El – está antes de { } |
= -2 | El –5 tiene mayor valor absoluto |
Ejercicios de refuerzo
1.- Resolver numérica y gráficamente las siguientes operaciones:
a)7-4 | b)7+4 | c)-7-4 | d)4 -7 | e)-4+7 |
f)-3+6 | g)-3-6 | h)3-6 | i)6-3 | j)-3+6 |
2.- Resolver los siguientes ejercicios aplicando el proceso afirmaciones-razones.
a) 2+{3-5} | R=0 | |||||||||||
b) 3+{1-9} | R=-5 | |||||||||||
c) 7-{2-7} | R=12 | |||||||||||
d) 4 -{5-8} | R=7 | |||||||||||
e) 6-{5+[2-5]} | R=4 | |||||||||||
f) 6-{5+[5-2]} | R=4 | |||||||||||
h) 8+{7-[5+(2-8)]} | R=16 | |||||||||||
i) 9+{2-[4 -(3-2)]} | R=8 | |||||||||||
j) 3-(5-{2-[3-(2-1)]}) | R=-2 | |||||||||||
k)2-[1-(5+{-3 +[5 -(6-8)]})] | R=10 | |||||||||||
l) 1-[3-(4 -{2 -[-5 -(-8+6)]})] | R=-3 | |||||||||||
m) –2+[-2+(-5+{6-[4 -(-2+4)]})] | R=-5 | |||||||||||
Referencias bibliográficas
SUÁREZ, Mario, (2004), Interaprendizaje Holístico de Matemática,
Ed. Gráficas Planeta, Ibarra, Ecuador.
SUÁREZ, Mario, (2004), Hacia un interaprendizaje Holístico de Algebra y Geometría,
Ed. Gráficas Planeta, Ibarra, Ecuador.
Autor:
Mario Suarez