Mecánica clásica alternativa III

° ° . ° ° ° ° ° ° ° Mecánica Clásica Alternativa III Alejandro A. Torassa Licencia Creative Commons Atribución 3.0 (2014) Buenos Aires, Argentina [email protected] – versión 1 – Este trabajo presenta una mecánica clásica alternativa que establece la existencia de una nueva fuerza universal de interacción (denominada fuerza cinética) y que puede ser aplicada en cualquier sistema de referencia sin necesidad de introducir fuerzas ?cticias. Sistema de Referencia Universal En este trabajo, el sistema de referencia universal S es un sistema de referencia ?jo al universo, cuyo origen coincide con el centro de masa del universo. La posición universal ra , la velocidad universal va y la aceleración universal aa de una partícula A respecto al sistema de referencia universal S, son como sigue: . ra = (ra ) . va = d(ra )/dt aa = d2 (ra )/dt 2 donde ra es la posición de la partícula A respecto al sistema de referencia universal S. Nueva Dinámica [1] Una fuerza siempre es causada por la interacción entre dos partículas. [2] La fuerza neta Fa que actúa sobre una partícula A es siempre cero (Fa = 0) [3] Si una partícula A ejerce una fuerza Fb sobre una partícula B entonces la partícula B ejerce sobre la partícula A una fuerza -Fa igual y de sentido contrario (Fb = -Fa ) 1

° ° ° ° ° ° ° ° Fuerza Cinética La fuerza cinética FKab ejercida sobre una partícula A de masa ma por otra partícula B de masa mb , causada por la interacción entre la partícula A y la partícula B, está dada por: FKab = – ma mb M (aa – ab ) donde M es la masa del universo, aa es la aceleración universal de la partícula A y ab es la aceleración universal de la partícula B. Desde la ecuación anterior se deduce que la fuerza cinética neta FKa que actúa sobre una partícula A de masa ma , está dada por: FKa = – ma aa donde aa es la aceleración universal de la partícula A. [2] Principio El [2] principio de la nueva dinámica establece que la fuerza neta Fa que actúa sobre una partícula A es siempre cero. Fa = 0 Si la fuerza neta Fa es dividida en las siguientes dos partes: la fuerza no cinética neta FNa ( fuerza gravitatoria, fuerza electromagnética, etc. ) y la fuerza cinética neta FKa , entonces: FNa + FKa = 0 Ahora, sustituyendo (FKa = – ma aa ) y reordenando, ?nalmente se obtiene: FNa = ma aa Esta ecuación ( similar a la segunda ley de Newton ) será usada a lo largo de este trabajo. Por otro lado, en este trabajo un sistema de partículas es aislado cuando el sistema está libre de fuerzas no cinéticas externas. 2

. ° . ° . ° ° ° ° . 1 2 ° ° . 1 2 ° . 1 2 ° . ° ° ° v ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° . ° ° De?niciones Para un sistema de N partículas, las siguientes de?niciones son aplicables: Masa Momento Lineal Momento Angular M = ?i mi P = ?i mi vi L = ?i mi ri × vi Trabajo W = ?i Fi · dri = 0 Energía Cinética Energía Potencial Lagrangiano ? K = ?i – ? U = ?i – L = K – U FKi · dri = ?i ? 1/2 mi (° i )2 FNi · dri Principios de Conservación Si un sistema de N partículas es aislado entonces el momento lineal P del sistema de partículas permanece constante. P = constante d(P)/dt = ?i mi ai = ?i FNi = 0 Si un sistema de N partículas es aislado entonces el momento angular L del sistema de partículas permanece constante. L = constante d(L)/dt = ?i mi ri × ai = ?i ri × FNi = 0 Si un sistema de N partículas está sujeto sólo a fuerzas conservativas entonces la energía mecánica E del sistema de partículas permanece constante. E = K + U = constante ? E = ? K + ? U = 0 3

. . . . . . . ° ° ° ° ° ° i i i i i i Transformaciones La posición universal ra , la velocidad universal va y la aceleración universal aa de una partícula A respecto a un sistema de referencia S, están dadas por: ra = ra – R va = va – ? ×(ra – R) – V aa = aa – 2 ? ×(va – V) + ? ×[? ×(ra – R)] – a ×(ra – R) – A donde ra , va y aa son la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula A respecto al sistema de referencia S. R, V y A son la posición, la velocidad y la aceleración del centro de masa del universo respecto al sistema de referencia S. ? y a son la velocidad angular y la aceleración angular del universo respecto al sistema de referencia S. La posición R, la velocidad V y la aceleración A del centro de masa del universo respecto al sistema de referencia S, y la velocidad angular ? y la aceleración angular a del universo respecto al sistema de referencia S, son como sigue: M = ?all mi R = M-1 ?all mi ri V = M-1 ?all mi vi A = M-1 ?all mi ai ? = I-1 · L . a = d(? )/dt I = ?all mi [|ri – R|2 1 – (ri – R) ? (ri – R)] L = ?all mi (ri – R) × (vi – V) donde M es la masa del universo, I es el tensor de inercia del universo (respecto a R) y L es el momento angular del universo respecto al sistema de referencia S. 4

° ° Observaciones Generales La mecánica clásica alternativa de partículas presentada en este trabajo es invariante bajo transformaciones entre sistemas de referencia y puede ser aplicada en cualquier sistema de referencia sin necesidad de introducir fuerzas ?cticias. Este trabajo considera que si todas las fuerzas no cinéticas obedecen la tercera ley de Newton (en su forma fuerte) entonces el sistema de referencia universal S es siempre inercial. Por lo tanto, un sistema de referencia S es también inercial cuando ? = 0 y A = 0. Sin embargo, si una fuerza no cinética no obedece la tercera ley de Newton (en su forma fuerte o en su forma débil) entonces el sistema de referencia universal S es no inercial y el sistema de referencia S es también no inercial cuando ? = 0 y A = 0. Por lo tanto, si una fuerza no cinética no obedece la tercera ley de Newton (en su forma fuerte o en su forma débil) entonces la nueva dinámica y los principios de conservación son falsos. Sin embargo, este trabajo considera, por un lado, que todas las fuerzas no cinéticas obedecen la tercera ley de Newton (en su forma fuerte) y, por otro lado, que todas las fuerzas son invariantes bajo transformaciones entre sistemas de referencia (F = F) Bibliografía D. Lynden-Bell and J. Katz, Classical Mechanics without Absolute Space (1995) J. Barbour, Scale-Invariant Gravity: Particle Dynamics (2002) R. Ferraro, Relational Mechanics as a Gauge Theory (2014) A. Torassa, Sobre La Mecánica Clásica (1996) A. Torassa, Mecánica Clásica Alternativa (2013) A. Torassa, Una Reformulación de la Mecánica Clásica (2014) A. Torassa, Un Nuevo Principio de Conservación de la Energía (2014) 5

° . r ° v ° ° . 1 2 r ° ° . 1 2 ° . 1 2 ° . ° ° r ° v ° r ° 2 2 ° ° ° ° . ° ° ° ° ° ° . ° ° ° r ° a ° r ° v ° r ° a ° ° r ° v ° ° . ° ° v ° r ° Apéndice Para un sistema de N partículas, las siguientes de?niciones son también aplicables: Momento Angular L = ?i mi (°i – rcm ) × (° i – vcm ) Trabajo W = ?i Fi · d(°i – rcm ) = 0 Energía Cinética Energía Potencial Lagrangiano ? K = ?i – ? U = ?i – L = K – U FKi · d(°i – rcm ) = ?i ? 1/2 mi (° i – vcm )2 FNi · d(°i – rcm ) donde rcm y vcm son la posición universal y la velocidad universal del centro de masa del sistema de partículas. ?i 1 mi ai · d(° i – rcm ) = ?i 1 mi (° i – acm ) · d(° i – rcm ) = ?i ? 1/2 mi (° i – vcm )2 Si un sistema de N partículas es aislado entonces el momento angular L del sistema de partículas permanece constante. L = constante d(L)/dt = ?i mi (°i – rcm ) × (° i – acm ) = ?i mi (ri – rcm ) × ai = ?i ri × FNi = 0 L = ?i mi (°i – rcm ) × (° i – vcm ) = ?i mi (ri – rcm ) × [ vi – ? ×(ri – rcm ) – vcm ] Si un sistema de N partículas es aislado y está sujeto sólo a fuerzas conservativas entonces la energía mecánica E del sistema de partículas permanece constante. E = K + U = constante ? E = ? K + ? U = 0 ? K = ?i ? 1/2 mi (° i – vcm )2 = ?i ? 1/2 mi [ vi – ? ×(ri – rcm ) – vcm ]2 ? U = ?i – 12 FNi · d(°i – rcm ) = ?i – 12 FNi · d(ri – rcm ) = ?i – 12 FNi · dri donde rcm y vcm son la posición y la velocidad del centro de masa del sistema de partículas respecto a un sistema de referencia S y ? es la velocidad angular del universo respecto al sistema de referencia S. 6

° ° ° ° ? ° ? Mecánica Clásica Alternativa III – versión 1 – Todas las fuerzas no cinéticas obedecen la tercera ley de Newton (en su forma fuerte) El sistema de referencia universal S es un sistema de referencia ?jo al universo, cuyo origen coincide con el centro de masa del universo. Por lo tanto, el sistema de referencia universal S es siempre inercial y un sistema de referencia S es también inercial cuando ? = 0 y A = 0. – versión 2 – Todas las fuerzas obedecen la tercera ley de Newton (en su forma fuerte o en su forma débil) El sistema de referencia universal S es un sistema de referencia no rotante (?S = 0) cuyo origen coincide con el centro de masa del universo. Por lo tanto, el sistema de referencia universal S es siempre inercial y un sistema de referencia S es también inercial cuando ?S = 0 y A = 0.

° ° . ° ? ° ° ° ° ° ° ° Mecánica Clásica Alternativa III Alejandro A. Torassa Licencia Creative Commons Atribución 3.0 (2014) Buenos Aires, Argentina [email protected] – versión 2 – Este trabajo presenta una mecánica clásica alternativa que establece la existencia de una nueva fuerza universal de interacción (denominada fuerza cinética) y que puede ser aplicada en cualquier sistema de referencia sin necesidad de introducir fuerzas ?cticias. Sistema de Referencia Universal En este trabajo, el sistema de referencia universal S es un sistema de referencia no rotante (?S = 0) cuyo origen coincide con el centro de masa del universo. La posición universal ra , la velocidad universal va y la aceleración universal aa de una partícula A respecto al sistema de referencia universal S, son como sigue: . ra = (ra ) . va = d(ra )/dt aa = d2 (ra )/dt 2 donde ra es la posición de la partícula A respecto al sistema de referencia universal S. Nueva Dinámica [1] Una fuerza siempre es causada por la interacción entre dos partículas. [2] La fuerza neta Fa que actúa sobre una partícula A es siempre cero (Fa = 0) [3] Si una partícula A ejerce una fuerza Fb sobre una partícula B entonces la partícula B ejerce sobre la partícula A una fuerza -Fa igual y de sentido contrario (Fb = -Fa ) 1

° ° ° ° ° ° ° ° Fuerza Cinética La fuerza cinética FKab ejercida sobre una partícula A de masa ma por otra partícula B de masa mb , causada por la interacción entre la partícula A y la partícula B, está dada por: FKab = – ma mb M (aa – ab ) donde M es la masa del universo, aa es la aceleración universal de la partícula A y ab es la aceleración universal de la partícula B. Desde la ecuación anterior se deduce que la fuerza cinética neta FKa que actúa sobre una partícula A de masa ma , está dada por: FKa = – ma aa donde aa es la aceleración universal de la partícula A. [2] Principio El [2] principio de la nueva dinámica establece que la fuerza neta Fa que actúa sobre una partícula A es siempre cero. Fa = 0 Si la fuerza neta Fa es dividida en las siguientes dos partes: la fuerza no cinética neta FNa ( fuerza gravitatoria, fuerza electromagnética, etc. ) y la fuerza cinética neta FKa , entonces: FNa + FKa = 0 Ahora, sustituyendo (FKa = – ma aa ) y reordenando, ?nalmente se obtiene: FNa = ma aa Esta ecuación ( similar a la segunda ley de Newton ) será usada a lo largo de este trabajo. Por otro lado, en este trabajo un sistema de partículas es aislado cuando el sistema está libre de fuerzas no cinéticas externas. 2

. ° . ° . ° ° ° ° . 1 2 ° ° . 1 2 ° . 1 2 ° . ° ° ° v ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° . ° ° De?niciones Para un sistema de N partículas, las siguientes de?niciones son aplicables: Masa Momento Lineal Momento Angular M = ?i mi P = ?i mi vi L = ?i mi ri × vi Trabajo W = ?i Fi · dri = 0 Energía Cinética Energía Potencial Lagrangiano ? K = ?i – ? U = ?i – L = K – U FKi · dri = ?i ? 1/2 mi (° i )2 FNi · dri Principios de Conservación Si un sistema de N partículas es aislado entonces el momento lineal P del sistema de partículas permanece constante. P = constante d(P)/dt = ?i mi ai = ?i FNi = 0 Si un sistema de N partículas es aislado entonces el momento angular L del sistema de partículas permanece constante. L = constante d(L)/dt = ?i mi ri × ai = ?i ri × FNi = 0 Si un sistema de N partículas está sujeto sólo a fuerzas conservativas entonces la energía mecánica E del sistema de partículas permanece constante. E = K + U = constante ? E = ? K + ? U = 0 3

. . . . . 1/2 ° ° ° ° ?° ? ? ? ?° ? ? ? ? i i i i ? ? ? ? Transformaciones La posición universal ra , la velocidad universal va y la aceleración universal aa de una partícula A respecto a un sistema de referencia S ?jo a una partícula S, están dadas por: ra = ra – R va = va + ?S × (ra – R) – V aa = aa + 2 ?S × (va – V) + ?S × [?S × (ra – R)] + aS × (ra – R) – A donde ra , va y aa son la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula A respecto al sistema de referencia S. R, V y A son la posición, la velocidad y la aceleración del centro de masa del universo respecto al sistema de referencia S. ?S y aS son la velocidad angular dinámica y la aceleración angular dinámica del sistema de referencia S. La posición R, la velocidad V y la aceleración A del centro de masa del universo respecto al sistema de referencia S, y la velocidad angular dinámica ?S y la aceleración angular dinámica aS del sistema de referencia S, son como sigue: M = ?all mi R = M-1 ?all mi ri V = M-1 ?all mi vi A = M-1 ?all mi ai ?S = ± (FN1 /ms – FN0 /ms ) · (r1 – r0 )/(r1 – r0 )2 . aS = d(?S )/dt donde FN0 y FN1 son las fuerzas no cinéticas netas que actúan sobre el sistema de referencia S en los puntos 0 y 1, r0 y r1 son las posiciones de los puntos 0 y 1 respecto al sistema de referencia S y ms es la masa de la partícula S (el punto 0 es el origen del sistema de referencia S y el centro de masa de la partícula S) (el punto 0 pertenece al eje de rotación dinámica y el segmento 01 es perpendicular al eje de rotación dinámica) (el vector ?S es colineal con el eje de rotación dinámica) (M es la masa del universo) 4

° ° ? ? Observaciones Generales La mecánica clásica alternativa de partículas presentada en este trabajo es invariante bajo transformaciones entre sistemas de referencia y puede ser aplicada en cualquier sistema de referencia sin necesidad de introducir fuerzas ?cticias. Este trabajo considera que si todas las fuerzas obedecen la tercera ley de Newton (en su forma fuerte o en su forma débil) entonces el sistema de referencia universal S es siempre inercial. Por lo tanto, un sistema de referencia S es también inercial cuando ?S = 0 y A = 0. Sin embargo, si una fuerza no obedece la tercera ley de Newton (en su forma débil) entonces el sistema de referencia universal S es no inercial y el sistema de referencia S es también no inercial cuando ?S = 0 y A = 0. Por lo tanto, si una fuerza no obedece la tercera ley de Newton (en su forma débil) entonces la nueva dinámica y los principios de conservación son falsos. Sin embargo, este trabajo considera, por un lado, que todas las fuerzas obedecen la tercera ley de Newton (en su forma fuerte o en su forma débil) y, por otro lado, que todas las fuerzas son invariantes bajo transformaciones entre sistemas de referencia (F = F) Bibliografía D. Lynden-Bell and J. Katz, Classical Mechanics without Absolute Space (1995) J. Barbour, Scale-Invariant Gravity: Particle Dynamics (2002) R. Ferraro, Relational Mechanics as a Gauge Theory (2014) A. Torassa, Sobre La Mecánica Clásica (1996) A. Torassa, Mecánica Clásica Alternativa (2013) A. Torassa, Una Reformulación de la Mecánica Clásica (2014) A. Torassa, Un Nuevo Principio de Conservación de la Energía (2014) 5

° . r ° v ° ° . 1 2 r ° ° . 1 2 ° . 1 2 ° . ° ° r ° v ° r ° 2 2 ° ° ° ° . ° ° ° ° ° ° . ° ° ° r ° a ° r ° v ° r ° a ° ° ?r ° v ° ° . ° ° ?v ° r ° ? Apéndice Para un sistema de N partículas, las siguientes de?niciones son también aplicables: Momento Angular L = ?i mi (°i – rcm ) × (° i – vcm ) Trabajo W = ?i Fi · d(°i – rcm ) = 0 Energía Cinética Energía Potencial Lagrangiano ? K = ?i – ? U = ?i – L = K – U FKi · d(°i – rcm ) = ?i ? 1/2 mi (° i – vcm )2 FNi · d(°i – rcm ) donde rcm y vcm son la posición universal y la velocidad universal del centro de masa del sistema de partículas. ?i 1 mi ai · d(° i – rcm ) = ?i 1 mi (° i – acm ) · d(° i – rcm ) = ?i ? 1/2 mi (° i – vcm )2 Si un sistema de N partículas es aislado entonces el momento angular L del sistema de partículas permanece constante. L = constante d(L)/dt = ?i mi (°i – rcm ) × (° i – acm ) = ?i mi (ri – rcm ) × ai = ?i ri × FNi = 0 L = ?i mi (°i – rcm ) × (° i – vcm ) = ?i mi (ri – rcm ) × [ vi + ?S × (ri – rcm ) – vcm ] Si un sistema de N partículas es aislado y está sujeto sólo a fuerzas conservativas entonces la energía mecánica E del sistema de partículas permanece constante. E = K + U = constante ? E = ? K + ? U = 0 ? K = ?i ? 1/2 mi (° i – vcm )2 = ?i ? 1/2 mi [ vi + ?S × (ri – rcm ) – vcm ]2 ? U = ?i – 12 FNi · d(°i – rcm ) = ?i – 12 FNi · d(ri – rcm ) = ?i – 12 FNi · dri donde rcm y vcm son la posición y la velocidad del centro de masa del sistema de partículas respecto a un sistema de referencia S y ?S es la velocidad angular dinámica del sistema de referencia S. 6