Elasticidad de Materiales Sólidos (página 2)

Relación Esfuerzo-Deformación Ley de Hooke Para materiales sometidos a esfuerzos tensionantes, a relativamente bajo niveles, esfuerzo y deformación son proporcionales

La constante E es conocida como el módulo de elasticidad, o módulo de Young. Es medida: unidades de fuerza/unidades de área (en MPa y puede valer de ~4.5×104 a 40×107 Mpa)

Esfuerzo y Deformación en Cortante Esfuerzo cortante y la deformación se relacionan de manera similar, pero con una constante de proporcionalidad diferente

La constante G es conocida como el módulo de corte y relaciona el esfuerzo cortante en la region elastica.

Coeficiente de Poisson Cuando un cuerpo es colocado bajo un esfuerzo tensionante, se crea una deformación acompañante en la misma dirección. Como resultado de esta elongación, habrá constricciones en las otras dos direcciones. El coeficiente de Poisson n, es la relación de las deformaciones lateral o transversal con la axial.

Coeficiente de Poisson Teoricamente, los materiales isotropicos tienen un valor de coeficiente de Poisson de 0,25. El maximo valor de n es 0,5 no hay cambio de volumen durante el proceso. La mayoría de metales presentan valores entre 0,25 y 0,35 Se usa ademas para relacionar los módulos elástico y de corte

Deformación La deformación elástica está alrededor de los 0,005. Después de este punto, ocurre la deformación plástica (no recuperable), y la ley de Hooke no es válida.

FORMA GENERAL DE LA LEY DE HOOKE Sub Hemos visto la Ley de Hooke de la forma:

En el caso mas general cuando un elemento está sometido a tres tensiones normales perpendiculares entre sí acompañadas de tres deformaciones respectivamente.

Superponiendo las componentes de la deformación originada por la contracción lateral debido al efecto de Poisson (deformación lateral) a las deformaciones directas, obtenemos la expresión general de la Ley de Hooke:

Deformación plástica

Elasticidad Después de liberar una carga sometida, el objeto recupera su forma original.

Durante este proceso, la curva traza una línea recta de elasticidad

Paralela a la porción elástica de la curva

Elasticidad

Ejemplo Una barra de acero uniforme está suspendida verticalmente y soporta una carga de 2 500 kg en su extremo inferior como se indica en la figura. Si la sección recta de la barra es 6 cm², el módulo de elasticidad E=2,1×106 kg/cm2. Determinar el alargamiento total de la barra. DSL R=5 000 kg

La barra está afectada en tres porciones: superior, media e inferior; la deformación de cada porción se calcula con la relación: Solución

Las tres porciones de la barra se alargan, entonces el alargamiento total es:

Ejemplo Dos barras prismáticas están unidas rígidamente y soportan una carga de 5 000 kg como se indica en la figura. La barra superior es de acero con una densidad de 0,0078 kg/cm³, una longitud de 10 m y una sección recta de 60 cm². La barra inferior es de bronce de densidad 0,0080 kg/cm³, una longitud de 6 m y una sección de 50 cm². Para el acero E=2,1×106 kg/cm2 y para el bronce E=9×105 kg/cm2. Determinar los esfuerzos máximos en cada material. Solución: Se debe calcular primero el peso de cada parte de la barra. Peso = (peso específico)(volumen)

El peso de la barra de bronce es: Wb=0,008 kg/cm³(50 cm²)(600 cm)=240 kg El peso de la barra de acero es: Wa=0,0078 kg/cm³(60 cm²)(1000 cm)=468 kg El máximo esfuerzo en la barra de bronce ocurre inmediatamente debajo de la sección BB. El máximo esfuerzo en la barra de acero tendrá lugar inmediatamente por debajo de la sección AA.

Ejemplo 2. – Una grua esta alzando un objecto de 20,000 N. – Caracteristicas del cable diámetro=1.0 m, longitud previa al alzado =50 m 1) ¡Esfuerzo Normal en el cable? 2) ¿Deformación?

Ejemplo 3 F = 30.0 kg * 9.81 m/s2 = 294 N A = (? /4)*(5.00mm)2 = 19.6 mm^2

? = F/A = 294 N / 19.6 mm2 = 15.0 N/mm2 = 1.5 x 107 Pa = 15 MPa 2.50 m 30.0 kg 5.00 mm

Ejemplo 4 ? = 15.0 MPa

? = ?/E = 15.0 MPa/210000 MPa = 7.14 x 10^-5 mm/mm = 0.0000714 mm/mm = 0.0000714 m/m

?L = ?L = (0.0000714 m/m) * 2.50 m = 0.000178 m = 0.178 mm E = 21 x 10^4 MPa (varilla de acero) 2.50 m 30.0 kg 5.00 mm

Ejemplo 5 Una barra de 10 mm de diámetro de un acero al carbono 1040 (E = 200 x 109 Pa) es sometida a una carga de tracción de 50 000 N. Calcule la recuperación elástica que tendría lugar tras retirar la carga de tracción. Datos: E = 200 x 109 Pa; ?o= 10 mm; T = 50 000 N Fórmulas: ? = F/A; ?= ?/E Desarrollo: ? = F/A = 50 000N/ (?(5×10-3 m)2)= 6.37 x 106 N/m2= 6.37 MPa ?= ?/E = 6.37 x106 Pa/(200x 109 Pa) = 3.18 x 10 -3 (Gp:) T (Gp:) T

Ejemplo 6 Una barra de 10 mm de diámetro de un aluminio (E = 70 x 109 Pa) es sometida a una carga de tracción de 6 kN. a) Calcule el diámetro final de la barra. b) calcule de diámetro final de la barra si se somete a una carga de compresión de 6 kN. Relación de Poisson ? = 0.33. Datos: E = 70 x 109 Pa; ?o= 10 mm; T = 6 kN Fórmulas: ? = F/A; ?= ?/E; ?= (df – do)/do Desarrollo: a) ? = F/A = 6 000N/ (?(5×10-3 m)2)= 76.4 x 106 N/m2= 76.4 MPa ?= ?/E = 76.4 x106 Pa/(70x 109 Pa) = 1.09 x 10 -3 ??= –??z= – 0.33(1.09 x 10-3) = – 3.6 x 10 -4. ?? = (df – do)/do? df= do(?? +1)=10mm( -3.6 x 10-3 +1)= 9.9964 mm b) ??= + 3.6 x 10-4 df= do(?? +1)=10mm( +3.6 x 10-3 +1)= 10.0036 mm

Ejemplo 7 Una barra de 10 mm de diámetro de un acero al carbono 1040 (E = 200 x 109 Pa) es sometida a una carga de tracción de 50 000 N. Calcule la recuperación elástica que tendría lugar tras retirar la carga de tracción. Datos: E = 200 x 109 Pa; ?o= 10 mm; T = 50 000 N Fórmulas: ? = F/A; ?= ?/E Desarrollo: ? = F/A = 50 000N/ (?(5×10-3 m)2)= 6.37 x 106 N/m2= 6.37 MPa ?= ?/E = 6.37 x106 Pa/(200x 109 Pa) = 3.18 x 10 -3 (Gp:) T (Gp:) T

Ejemplo 8 Una pelota de 15 kg y de 4 cm de radio está suspendida de un punto localizado a 2.94 m sobre el piso por medio de un alambre de hierro cuya longitud es de 2.85 m y de diámetro de 0.090 cm, siendo su módulo de Young de 180 GPa. Si la pelota se pone a oscilar de tal manera que su centro pase por el punto más bajo de su trayectoria a 5 m/s, ¿a qué distancia del piso pasará la pelota? Datos: Alambre E= 180 GPa, ?= 0.09 cm, Lo = 2.85 m pelota m= 15 kg, r = 4 cm; Altura del piso = 2.94 m. Fórmulas: Fc= T – mg ? T = Fc+mg = mg + mv2/R R = Lo+r+?L = 2.85+0.04 + ?L= 2.89 + ?L ? ?L ?0 R ?= E?= E ?L/L ? ?L= Lo ?/E= LoT/EA ? T= 15(9.81+52/2.89) =277 N ? ?L= (277×2.85)/(?x(4.5×10-4)2x(180x 109)= 6.9×10-3 m ? ?h = 2.94-(2.85+0.08+6.9×10-3)=0.0031 m ?h

Ejemplo 9 Un alambre vertical de 5 m de largo y 0.0088 cm2 de área de sección transversal, tiene un módulo de Young E=200 GPa. Un objeto de 2 kg se sujeta a su extremo y alarga el alambre elásticamente. Si ahora se tira de objeto hacia abajo un poco y se suelta, el objeto experimentará un MAS vertical. Encuentre el periodo de vibración. Datos: alambre Lo= 5 m, A= 0.088 cm2, E = 200GPa.; masa m= 2 kg Formulas: Ley de Hooke F = k.?L ?k= F/ ?L y ?= E?? F/A =E (?L /L) ?k= AE/Lo= (8.8×10-7 m2)(2x1011Pa)/(5 m) = 35 kN/m ? T= 2? (m/k)½ = 2?(2/35000) ½ = 0.047 s

Ejemplo 10 La placa de acero que se muestra en la figura tiene 12 mm de espesor, su ancho varía uniformemente desde 50 mm en el lado izquierdo hasta 100mm en el lado derecho, la longitud de la placa es de 450 mm. Si se aplica en cada extremo una fuerza axial de tracción de 5 000 kg, determinar el alargamiento de la placa. Considerar el módulo de elasticidad del acero

Solución: Datos: carga aplicada P= 5 000 kg (tracción), espesor e= 12 mm, longitud L=450 mm, ancho menor 50 mm, ancho mayor 100 mm Fórmula: Solución: teniendo en cuenta la fórmula dada y expresándola en forma diferencial se tendrá: , entonces;

Luego: para expresar de forma explícita la integral anterior y poderla integrar debemos expresar el área del elemento diferencial en función de la variable x, entonces, si “e” es el espesor “y” la altura, el área del elemento diferencial será: A=ey=

Donde “a” es el ancho menor y A el ancho mayor, simplificando y reemplazando en la expresión integral tenemos:

Reemplazando los datos queda: la misma que

integrando ( ) y reemplazando valores

resulta: ?L=0,0124 cm.

Resultado: el alargamiento de la placa por acción de las cargas de tracción es: ?L=0,0124 cm.

?L=0,0124 cm

Módulo de Corte: G ó S Esfuerzo cortante = Fuerza tangencial/ área que se corta ?S = Ft/A Deformación cortante = distancia que se corta/distancia entre las superficies ?S=?x/h ?S = G ?S

Ejemplo 10 Una barra de acero (G = 12 x 106 lb/plg2) de una pulgada de diámetro sobresale 1.5 pulgadas fuera de la pared. Si en el extremo de la barra se aplica un esfuerzo cortante de 8000 libras, calcular la deflexión hacia abajo. Datos: F= 8000 lb, ? = 1 plg, l = 1.5 plg Formula: G = (F/A)/(d/l)? d=Fl/AG d = [(8000lb)(1.5 plg)]/[(?(1plg)2x12x106 lb/plg2] d = 1.27 x 10-3 plg.

Ejemplo 11 Una gelatina con forma de caja tiene un área en su base de 15 cm2 y una altura de 3 cm. Cuando se aplica una fuerza cortante de 0.5 N en la cara superior, ésta se desplaza 4 mm en relación a la cara inferior. ¿ Cuáles son el esfuerzo cortante, la deformación al corte y el módulo de corte para la gelatina? Datos: F= 0.5 N, A= 15 cm2, h = 3 cm, ?x= 4 mm Formulas: t = Ft/A ; ?=?S=?x/h; G = t /?S t=?S = 0.5 N/(15 x 10 -4 m2)= 0.33 kPa ?=?S= 0.4 cm/0.3 cm = 0.13 G = 330 Pa/0.13 = 2.5 kPa

Ejemplo 12 En la figura se muestra un punzón para perforar placas de acero, suponga que se usa un punzón con diámetro de 0.75 plg para perforar un agujero en una placa de ¼ plg como muestra la vista de perfil. Si se requiere una fuerza P = 28000 lb ¿cuál es el esfuerzo cortante promedio en la placa y el esfuerzo de compresión promedio en el punzón? Datos: d= 0.75 plg, P= 28000 lb, t = ¼ plg Formula: AS= 2?rt= ?dt = ?(0.75 plg)(0.25 plg)= 0.589 plg2 ?S = P/AS= 28000lb/0.589 plg2 = 47500 lb/plg2 ?C = P/AC= P/(?d2/4)= 28000lb/ (?(0.75 plg)2/4)= 63400 lb/plg2

Módulo volumétrico: elasticidad de volumen B = esfuerzo de volumen/deformación de volumen B = – (?F/A)/ (?V/V) B = – ?P/ (?V/V)

Ejemplo 13 Una esfera sólida de latón cuyo módulo volumétrico es B,( B = 6.1 x 1010 N/m2) inicialmente está rodeada de aire, y la presión del aire ejercida sobre ella es igual a 1 x 105 N/m2 (Presión atmosférica). La esfera se sumerge en el océano a una profundidad a la cual la presión es 2 x 107 N/m2. EL volumen de la esfera en el aire es de 0.5 m3. ¿ En cuánto cambiará este volumen una vez que la esfera este sumergida? B = – ?P/ (?V/V) ? ?V= – ?P V/B = – (2 x 10 7 N/m2)(0.5 m3)/ (6.1x 10 10 N/m2) ? ?V= -1.6 x 10 -4 m3

Ejemplo 14 El módulo volumétrico para el agua es 2.1 GPa. Calcule la contracción volumétrica de 100 ml de agua cuando se someten a una presión de 1.5 MPa. B = – ?P/ (?V/V) ? ?V= – ?P V/B = – (1.5 x 10 6 N/m2)(100 ml)/ (2.1x 10 9 N/m2) ? ?V= -0.071 ml

SISTEMAS HIPERESTÁTICOS O ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS Un sistema se dice que es hiperestático cuando las fuerzas que actúan sobre un cuerpo no pueden determinarse solo por las ecuaciones de la estática, porque hay mas fuerzas desconocidas que ecuaciones de equilibrio. Para solucionar los sistemas hiperestáticos es necesario suplementar las ecuaciones del equilibrio con ecuaciones de las deformaciones; esto es, debemos disponer de n ecuaciones independientes para hallar los valores de n incógnitas. En los ejemplos siguientes se ilustra la forma de solucionar problemas hiperestáticos o estáticamente indeterminados. Los sistemas anteriormente estudiados, se denominan sistemas Isostáticos o estáticamente determinados.

Ejemplo Una barra de sección recta cuadrada de 5 cm de lado, está sujeta rígidamente entre dos muros indeformables y cargada con una fuerza axial de 20 000 kg como se ve en la figura. Determinar las reacciones en los extremos de la barra y el alargamiento de la parte derecha. Considerar E=2,1×106 kg/cm2 DSL de la barra Ra+Rb=20 000 kg

Como la barra está fija a muros indeformables, entonces la deformación de la porción izquierda de la barra será igual a la deformación de la porción derecha; entonces: Entonces: Luego:

Ejemplo: Considerar la barra AB de la figura, absolutamente rígida y horizontal antes de aplicar la carga de 20 000 kg, articulada en A y soportada por la varilla de acero EB y por la varilla de cobre CD. La longitud de CD es 90 cm y la de EB es 150 cm. Si la sección de CD es de 5 cm² y la de EB 3 cm², determinar el esfuerzo en cada varilla vertical y el alargamiento de la de acero. Despreciar el peso de AB y considerar para el cobre E=1,2×106 kg/cm2 y para el acero E=2,1×106 kg/cm2

DSL de la barra AB: Como se puede ver las ecuaciones del equilibrio del sistema no son suficientes para solucionar el problema; debemos entonces suplementar estas ecuaciones con otras provenientes de la deformación ocurrida en el sistema.

El efecto de la carga aplicada deformará las barras verticales por lo que la barra AB dejará la posición horizontal y aparecerá inclinada como el esquema de la figura: Teniendo en cuenta que: Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos: