Método del centro de gravedad (página 2)

El punto que arroja las expresiones de [5] no es necesariamente el punto eficiente en el que se deba ubicar la nueva instalación. Para encontrar el punto eficiente utilizando la expresión anterior, se deben realizar muchas iteraciones que arrojan posibles soluciones a nuestro problema, pero que no se consideran soluciones finales. De este modo, la última solución, luego de variar las coordenadas x* y y* iniciales, es aquella que arroje menor valor en el CTT.

DETERMINACIÓN DEL PUNTO ÓPTIMO DE LOCALIZACIÓN

Distancias rectangulares: modelo de la mediana simple

Para hallar el punto óptimo de localización de una instalación, usando las coordenadas rectangulares, se realiza el siguiente procedimiento:

• 1. Hallar el valor medio de las cantidades desplazadas ponderadas por sus costes:

• 2. Se ordenan los puntos según su ordenada y según su abscisa en forma creciente. Se hace un acumulado del producto ci vi de todos los datos.

• 3. La ordenada y la abscisa que en el acumulado de los datos fueron los primeros en sobrepasar el valor medio

calculado determinan el punto óptimo de localización.

Distancias euclídeas: centro de gravedad con distancias euclídeas

Para el caso de utilizar las distancias euclídeas, se requiere de un proceso que, dependiendo de la exactitud deseada, puede resultar arduo. De este modo, se hace lo siguiente:

• 1. Se ubica el centro de gravedad, ( x*, y*), a partir de las ecuaciones [5]

• 2. Según las coordenadas anteriores del punto correspondiente al Centro de Gravedad, se halla la distancia euclídea

di, del Centro de Gravedad a cada punto i del plano, a través de la ecuación [4]. Esto es,

• 3. Se halla el Coste Total de Transporte por elemento, CTTi. Este se calcula multiplicando el peso del elemento i, wi

por la distancia entre el elemento i y el centro de Gravedad di , obtenida del paso 2. Esto es:

Finalmente, se halla el Coste Total de Transporte CTT realizando la suma de los CTTi

• 4. El punto resultante en el paso 1 y la distancia di del paso 2, se reemplazan en la siguiente ecuación, obtenida a partir de la derivada parcial igualada a cero del CTT respecto a la abscisa y la ordenada:

Esto nos arroja las coordenadas (X*, Y*) del punto óptimo de localización correspondiente a dicho CTT.

Si se desea una exactitud muy grande, el punto óptimo se encuentra realizando repetidas veces este procedimiento. Se varía el Centro de Gravedad del paso 1 hacia el Norte, Sur, Oriente y Oeste, y se comparan todos los resultados con respecto al CTT obtenido para cada punto. El punto óptimo es aquel que arroje el menor valor del CTT. Para este caso, generalmente se utiliza un software como ayuda, que realiza las suficientes iteraciones hasta que ubica el punto óptimo de localización. Estas pueden ser hasta de 50 o más iteraciones, algo que es muy dispendioso para realizar.

Si el anterior no es nuestro caso, si se desea un valor estimado, se realiza el cálculo por encima y por debajo de las coordenadas del Centro de Gravedad, obtenidas anteriormente. Para esto, se procede:

• Calculo por encima: Los valores arrojados por el paso 1, para el Centro de Gravedad, se aproximan hacia cierto valor por encima de ellos. Es decir, si se escoge un rango de 0.5, se le suma a la abscisa y a la ordenada este valor.

• Cálculo por debajo: Similar al anterior. El Centro de Gravedad se halla en cierto valor por debajo del original.

Finalmente, el valor óptimo entre el cálculo por encima/debajo es aquel que arroje el menor valor del CTT (Costo Total de Transporte)

Todo lo explicado anteriormente queda más claro si se observa el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2: Una empresa necesita ubicar una nueva instalación para ampliar la cobertura en ventas; para ello, realiza un estudio en el que determina los costos de transporte y el volumen a transportar. Estos se anotan en la tabla 1. Ubicar de la manera más efectiva el sitio óptimo donde debe ubicarse la nueva instalación. El diagrama de distribución de la empresa es el siguiente:

Solución:

• Método de la distancia media – Coordenadas rectangulares

• 1. Hallamos la importancia media

2

• 2. Ordenamos los puntos según la abscisa y la ordenada. Hacemos el producto ci vi acumulado

• 3. Hallamos el punto óptimo de localización

Para x: Se toma el punto D, el primero en sobrepasar el valor medio, donde 8900 > 6700

Para y: Se toma el punto C, donde 10400 > 6700

De este modo, se toma la abscisa y la ordenada de dichos puntos y ese es el punto óptimo de localización:

(X, Y) = (10, 4)

• Método para distancias euclídeas

En este caso, ubicamos el punto óptimo realizando el cálculo por encima/debajo del Centro de Gravedad

• 1. Hallamos el Centro de Gravedad.

• (A) Usando el cálculo por encima del Centro de Gravedad. Aumentamos 0.1 Por encima, el nuevo Centro de Gravedad es:

(x*, y*) = (10.5, 4)

• 2. Hallamos la distancia di entre cada punto i y el Centro de Gravedad:

• 3. Hallamos CTT:

• 4. Obtenemos las coordenadas del punto que hace que se obtenga un CTT=61016. Este es:

Por tanto, el punto óptimo para el cálculo por encima será:

(X*, Y*) = (10.8, 3.22)

• (B) Usando el cálculo por debajo del Centro de Gravedad. Disminuimos 0.5 Por encima, el nuevo Centro de Gravedad es:

(x*, y*) = (10, 3.5)

• 2. Hallamos la distancia di entre cada punto i y el Centro de Gravedad:

• 3. Hallamos CTT:

• 4. Obtenemos las coordenadas del punto que hace que se obtenga un CTT=60630. Este es:

Así, el punto óptimo para el cálculo por debajo será:

(X*, Y*) = (10.59, 2.960)

Como la suma del Coste Total de Transporte en el cálculo por encima es mayor que el cálculo por debajo, se toma a este último como punto óptimo.

.: P = (10.59, 2.960)

EJERCICIOS – MÉTODO DEL CENTRO DE GRAVEDAD

Ejercicio 1: Una empresa cuyas sedes están localizadas en las ciudades de Ibagué, Neiva, Cali y Pasto, desea agregar una nueva instalación de Almacenamiento y distribución de materiales. ¿Cuál sería la mejor ubicación para dicha instalación si los datos son los siguientes?:

Cada punto representa a una ciudad. I: Ibagué, N: Neiva, P: Pasto, y C: Cali.

Desarrolle este ejercicio mediante el método de la distancia euclídea, sin tener en cuenta el análisis por encima y por debajo del Centro de Gravedad.

Ejercicio 2: Utilizando el método de la mediana simple realice el siguiente ejercicio:

La idea consiste en buscar la mejor ubicación para un Centro Comercial en Popayán. Para ello, se deben minimizar los costos de transporte de mercancías hacia este, desde el Centro de Acopio de la Ciudad, localizado en el Centro de Popayán – coordenadas A(1, 14); también, debe quedar cerca de la Unidad de Bodega de Electrodomésticos que se ubica en otra sucursal de la misma franquicia – coordenadas B(1, 1). Adicionalmente, como se trata de un Centro Comercial muy grande, su capacidad en el servicio de parqueo puede saturarse en altas temporadas, por lo que debe de quedar cerca de 2 parqueaderos privados – coordenadas: P1(7,8) y P2(13,8). Cada parqueadero ofrece su servicio al Centro Comercial, cada uno con una tarifa diferente por auto. La idea consiste en ubicarse cerca del parqueadero de aquel que menos cobre por auto parqueado.

Los datos de costos y volumen son los siguientes:

Ejercicio 3: Una empresa productora de prótesis de mano, en el sur del país, debido a la demanda creciente en el mercado, decide construir una instalación que permita distribuir los productos en esta zona de manera más eficiente. Para dicho efecto, la nueva instalación debe tener la capacidad de abastecer toda la demanda local y nacional.

Los almacenes de la empresa están distribuidos de la siguiente forma:

Hallar la mejor ubicación para dicha instalación teniendo en cuenta que la distribución de esta zona es a campo abierto.

Autor:

Carolina Solano

Daniel Victoria

Edilson Quiñonez

Rowinson Gallego