En esta UNIDAD comenzamos a introducirnos en los: MÉTODOS NUMÉRICOS Situación REAL NO SIEMPRE se requiere una RESPUESTA EXACTA MODELO MATEMÁTICO para describir y analizar APROXIMACIÓN SOLUCIÓN ANALÍTICA: Puede NO tener Puede ser DIFÍCIL o COSTOSA (objetivos) MÉTODOS NUMÉRICOS Una SOLUCIÓN APROXIMADA al PROBLEMA ORIGINAL
MÉTODO NUMÉRICO Resolver problemas numéricos COMPLEJOS utilizando operaciones aritméticas SIMPLES. OBJETIVO (Gp:) Conjunto FINITO de reglas o instrucciones bien definidas, tal que, siguiéndolas paso a paso se obtiene la solución a un dado problema. (Gp:) ALGORITMO (Gp:) RECORDEMOS
(Gp:) MÉTODO NUMÉRICO (Gp:) Es un (Gp:) ALGORITMO (Gp:) diseñado para dar respuesta (Gp:) problema con una PRECISIÓN prescripta. (Gp:) NUMÉRICA (Gp:) a un (Gp:) DIREMOS
(Gp:) CÁLCULO NUMÉRICO (Gp:) EVALÚA los (Gp:) MÉTODOS NUMÉRICOS (Gp:) diseñados. (Gp:) OBJETIVO
El CÁLCULO de un dado MÉTODO NUMÉRICO dará NÚMEROS que se APROXIMAN a los que se obtendrían aplicando la SOLUCIÓN ANALÍTICA de un problema, en el caso que existiera. DIREMOS ¿Qué tan PRECISOS (próximos a la solución “exacta”) son los resultados? O ¿Qué tanto ERROR se ha introducido? (Gp:) NOS PREGUNTAMOS (Gp:) Si el cálculo aproxima a la solución “exacta”:
(Gp:) TRATAMIENTO INFORMACIÓN (Gp:) RESUMIMOS
(Gp:) ENTRADA INFORMACIÓN (Gp:) PROCESO INFORMACIÓN (Gp:) SALIDA INFORMACIÓN
NOCIONES BÁSICAS DE ERRORES (Gp:) DATOS (Gp:) MÉTODO NUMÉRICO (Gp:) RESULTADOS
FUENTES DE ERROR Distintos ERRORES en cada ETAPA. (Gp:) ERROR
(Gp:) ERROR
(Gp:) ERROR
Los ERRORES se PROPAGAN dando el ERROR TOTAL. ¿Cómo MEDIMOS el ERROR?
MAGNITUD DEL ERROR CUANTIFICAMOS el ERROR: Siendo VA una aproximación de VV, y VV el valor real, entonces: e = | VA – VV | eR = | ( VA – VV ) / VV | con la condición VV ? 0 ERROR PORCENTUAL ABSOLUTO ERROR ABSOLUTO ERROR RELATIVO ABSOLUTO eP = 100.| ( VA – VV ) / VV |(%) con la condición VV ? 0
CIFRAS SIGNIFICATIVAS EJEMPLOS MEDIR la CONFIABILIDAD de un VALOR NUMÉRICO (Gp:) Siendo VA una aproximación de VV (de la definición de ERROR RELATIVO) (Gp:) Si d es el mayor número natural tal que | ( VA – VV ) / VV | < 10-d/2
VA es una aproximación a VV con d CIFRAS SIGNIFICATIVAS (Gp:) VA = 3.14 y VV = 3.141592 ? (Gp:) |(VA – VV)/VV| = 0.000507 < 10-2/2
VA es una aproximación a VV con 2 cifras significativas. (Gp:) VA = 999 996 y VV = 1 000 000 ? (Gp:) |(VA – VV)/VV| = 0.000004 < 10-5/2
VA es una aproximación a VV con 5 cifras significativas. (Gp:) VA = 0.000012 y VV = 0.000009 ? (Gp:) |(VA – VV)/VV| = 0.25 < 10-0/2
VA es una aproximación a VV con 0 cifras significativas.
(Gp:) PROCESO (Gp:) MÉTODO NUMÉRICO (Gp:) ALGORITMO COMPUTACIONAL
FUENTES DE ERROR ERRORES ERROR DE TRUNCAMIENTO (tiempo). (Gp:) Tiempo
ERROR DE REDONDEO (espacio). ERRORES en el CÁLCULO al implementar en MÁQUINA el MÉTODO. Es decir: TIEMPO FINITO (ALGORITMO) ESPACIO FINITO (COMPUTADORA) (Gp:) INTENCIONALMENTE al usar un ALGORITMO COMPUTACIONAL (Gp:) Introducimos restricciones:
(Gp:) Espacio
RIGUROSAMENTE: FINITO no alcanza. FINITO debe entenderse como RAZONABLE.
FUENTES DE ERROR EN EL ALGORITMO COMPUTACIONAL ERROR DE TRUNCAMIENTO
SURGEN debido a la limitación en TIEMPO. Debemos realizar un número finito de acciones.
EJEMPLOS: Evaluar funciones con la Serie de Taylor. Proceso iterativo convergente. Evaluar por intervalos. Faltará evaluar (ERROR) términos, iteraciones o intervalos TRUNCADOS. NO PODEMOS IMPLEMENTAR EL LÍMITE ANALÍTICO TRUNCAR
FUENTES DE ERROR EN EL ALGORITMO COMPUTACIONAL ERROR DE REDONDEO
SURGEN debido a la limitación en ESPACIO (la memoria ocupa espacio). Los números reales se representan por una INFINIDAD de dígitos. En MÁQUINA sólo podemos tener un representación FINITA.
X = ± 0, d1 d2 d3 …. dm x 10n , 1=d1=9 y 0=di=9
d1 d2 d3 …. dm: mantisa n: exponente
Trabajamos con: fl(x) = ± 0, d1 d2 d3 …. dk x 10n
Tenemos almacenado un REDONDEO del número real que difiere (ERROR) del número real.
El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operación al número de cifras significativas que se estén utilizando. Por ejemplo sí redondeamos 7/9 a 4 cifras significativas tenemos 0.7777 Errores REDONDEO TRUNCADO REDONDEO SIMÉTRICO El redondeo simétrico consiste en aumentar en uno la última cifra retenida si la primera cifra descartada está entre 5 y 9, o dejarla igual si la primera cifra descartada está entre 0 y 4. Ejemplo: 1/3 + 2/3 = 1, su resolución mediante la calculadora puede llevarnos a un resultado diferente. Si realizamos la suma empleando únicamente 4 cifras significativas se obtiene
ERROR NUMÉRICO TOTAL ERROR NUMÉRICO TOTAL Agregando términos, iteraciones o disminuyendo el intervalo. DISMINUIR UNA COMPONENTE DE ERROR CONDUCE A UN INCREMENTO EN LA OTRA ERROR DE TRUNCAMIENTO ERROR DE REDONDEO Error de truncamiento Significa número de operaciones Error de redondeo
There are 10 types of people in the world:
those who understand binary
and
those who don't. 2
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