Funciones de dos y más variables, dominio y rango, y curva de nivel (página 2)

Ejemplo: Supongamos que tenemos una placa metálica de grandes dimensiones. La temperatura (en grados centígrados) de la placa es función de las coordenadas de cada uno de sus puntos y viene dada por:

T(x, y) = 500 – 0,6×2 – 1,5y2

Representación grafica de la función T(x, y)

Método para hallar el dominio

Para hallar el dominio despejamos (y) y analizamos el comportamiento de (x). Al hacer este despeje podemos considerar tres casos:

• i. La (x) hace parte del denominador de una fracción. Dé un ejemplo.R: Sea la relación R = {(x, y) / 2xy - 3y – 5 = 0} definida en los Reales.

• ii. Despejar(y)

• 

  ¿Qué valores debe tomar (x) (en el denominador) para que sea diferente de cero?

  R/:

  

  Cómo se halla el dominio de una relación, cuando la (x) queda en el denominador al despejar (y).R: Si al despejar (y) en una expresión (en una relación), encontramos que la (x) hace parte del denominador de una fracción, entonces para determinar el dominio de dicha relación hay que hacer que el denominador sea diferente de cero y se despeja la (x).

  Método para hallar el Rango

  Como ya se dijo el rango es el conjunto formado por aquellos elementos del conjunto de llegada que están relacionados con algún elemento del conjunto de partida. Para encontrar el Rango de una relación en los reales, despejamos (x), analizamos el comportamiento de (y) y hacemos un análisis similar al que hicimos para encontrar el dominio.

  • Sea la relación R = {(x, y) / 3×2 + 4y2 = 12}, para ésta hallar el dominio y rango.Con sólo observar la ecuación diga ¿qué clase de relación real representa? ¿Por qué?

  R: Representa una elipse. Porque los coeficientes de x2 y de y2 son positivos y diferentes.

  Hallar el dominio.

  

  Vemos que la (x) hace parte de un radical par

  

  Solucionamos una desigualdad cuadrática

  

  Hallar el rango.R:

  La "y" hace parte de un radical par. Por lo tanto: 

  

  Curvas de nivel

  Cuando tenemos una función z = f(x, y) de dos variables reales y valor real, la gráfica de dicha función corresponde al conjunto gr (f):= {(x, y, f(x, y)): (X, y) ,¬ Dom (f)}. Al ubicar dichos puntos en el espacio R3, obtenemos una superficie en dicho espacio.

  Una forma de estudiar dicha superficie, aunque en dos dimensiones, es considerar la intersección de dicha superficie con el plano z = k, donde k ,¬ Recorrido (f). De esta manera, obtenemos el conjunto {(x, y, k): f(x, y) = k}, el cual corresponde a la curva de nivel de la superficie z = f(x, y) con z = k. Al proyectar dicha intersección en el plano

  x,y, obtenemos lo que se denomina curva de nivel.

  Cuando comparamos una superficie z = f(x, y) con una montaña, el estudio de las curvas de nivel corresponde a lo que acontece de manera análoga cuando dicha montaña es representada en dos dimensiones por medio de un mapa, donde se dibujan los contornos de dicha montaña indicando cual es la altura en las coordenadas (x, y) de dicho contorno.

  

  Ejemplo 1. Consideremos la función z = x2 + y2. Tomando k > 0, la curva de nivel correspondiente a z = k es la circunferencia x2 + y2 = k y tomando k = 0 la curva de nivel corresponde a la descrita por los puntos (x, y) tales que x2 + y2 = 0 (que corresponde únicamente al punto (0, 0))

  

  Sea g(x, y) = vxy la media geométrica de los números x e y. La curva de nivel 4 está formada por todos los pares de ordenados (x, y), la media geométrica de los cuales es 4.

  Por ejemplo, (4, 4), (2, 8) y (8, 2) están todos sobre esta curva de nivel. A continuación mostramos la gráfica de vxy y sus curvas de nivel en el plano xy.

  

  Consideramos ahora la función f(x, y) = x2 + y2. La curva de nivel 4 está formada por

  todos los pares (x, y) que cumplen:

  f (x, y) = x2 + y2 = 4.

  Puede que algunos de vosotros hayáis visto antes que la ecuación describe la circunferencia de radio 2(2 =v4) centrada en el origen de coordenadas.

  A continuación mostramos la gráfica de x2 + y2, así como diferentes curvas de nivel de la función.

  

  Así pues, podemos resumir:

  Dada una función f con dominio en R2 y un número cualquiera c, la curva de nivel c de la función f está formada por el conjunto de puntos que satisfacen f(x1, x2) = c.

  Bibliografía

  • 1. Calculo leithold, Luois leithold, 7 edición, 1998, GRUPO MEXICANO MAPASA S.A.

  • 2. CURVAS DE NIVEL PEDRO H. ZAMBRANO R, Departamento de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá (Colombia) , E-mail address:

  • 3. Stewart, James. Cálculo Multivariable. Cuarta edición. Thomson Learning.2002.

  • 4.  FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (), 2008

  • 5. CALCULO CON GEOMETRIA ANALITICA, segunda edición, Earl Swokowski, Marquette university, Grupo Editorial Iberoamérica, 1998.

  • 6. Calculo de varias variables, McCullan, Editorial Mc Graw Hill, New Jersey, 1992.

  • 7. http://www.math.iupui.edu/contour1.html.

  • 8. http://www.math.iupui.edu/contour2.html.

  • 9. http://www.math.iupui.edu/levelsurf.html

   

   

   

   

   

   

  Autor:

  Marlon Fajardo Molinares

  2009