Ecuaciones del movimiento. MRUA a = dv/dt = ax · i significa que la v varía con el tiempo siempre al mismo ritmo. dv = a dt. Integrando: v = ?dv = ?a · dt = a · t + v0 (v0 = constante) v = a · t + v0 Para obtener la posición se vuelve a integrar: r = ?dr = ?v · dt = ?(a · t + v0) · dt r = ½ a · t2 + v0 · t + r0 (r0 = constante) Si el movimiento transcurre a lo largo del eje “x” la ecuación vectorial se expresará como: r = x i = (½ ax · t2 + v0x· t + x0) i
Ejemplo: Sea un el movimiento definido por las siguientes constantes a = (5 i) m/s2 y v0 = 3 i m/s r0 = 4 i m. Determina las ecuaciones vectoriales de la velocidad y de la posición. v =? a · dt = ? (5 i) m/s2 dt v = (5 m/s2 · t + 3 m/s) i r = ? v · dt = ? (5 m/s2 · t + 3 m/s) i · dt r = (5/2 m/s2 · t2 + 3 m/s · t + 4 m) i
Ejercicio: Sea un movimiento cuya ecuación de velocidad es: v = (4· t +2 ) j m/s. Determinar la ecuación vectorial de la aceleración y de la posición. Suponiendo que para t = 0 su posición es r0 = 3 j m, ¿cuál será su posición en el instante t = 2 s? a = dv/dt = 4 j m/s2 r = ? dr = ? v · dt = ?(4· t + 2 ) j dt == (½ ·4 t2 + 2 t + 3) j m r = (2 t2 + 2 t + 3) j m r (t = 2 s) = [2 (2)2 + 2 ·2 + 3] j m == (8 + 4 + 3) j m r (t = 2 s) = 15 j m
Ecuaciones escalar del movimiento. Como el movimiento es rectilíneo, lo situaremos en uno de los ejes, por ejemplo el “x” con lo que: v = vx · i = a t + v0 = (ax · t + v0x) · i r = x · i = (x0 + v0x · t + ½ · ax · t2 ) · i Eliminando el vector unitario i quedan las ecuaciones escalares: vx = ax · t + v0x ; x = x0 + v0x · t + ½ ax · t2 Si el movimiento sucede en el eje “y” vertical (caída libre) y tomando g = 9’8 m/s2, ay = –g (sentido hacia abajo) y las ecuaciones serán: vy = v0y– g · t ; y = y0 + v0y · t – ½ g · t2
Ecuación vx = f(x). Despejando “t en la ecuación vx = ax · t + v0x : vx –vox t = ———— ax y sustituyendo en x = x0 + v0x · t + ½ ax · t2 vx –vox 1 (vx –vox)2x = x0 + v0x · ——— + — ax · ———— ax 2 ax2 2 ax( x – x0) = 2 vx·vox – 2 vox2 + vx2 + vox2 – 2 vx·vox Despejando vx: vx2 = vox2 + 2 ax( x – x0)
Ejercicio: Sea el movimiento anterior cuya ecuacionesdel movimiento eran: a = 4 j m/s2; v = (4· t +2 ) j m/s;r = (2 t2 + 2 t + 3) j m. Determinar sus ecuaciones escalares. vy = ay · t + v0y ; y = y0 + v0y · t + ½ ay · t2 Comparando con la ecuación general observamos que las constantes del movimiento son: ay = 4 m/s2 ; v0y = 2 m/s; y0 = 3 m Y las ecuaciones escalares: ay = 4 m/s2 vy = (4 t + 2) m/s y = (3 + 2 · t + 2 t2) m
Representación gráfica a/t Al representar “a” frente a “t” se obtiene una recta horizontal ya “a” es constante y no varía con “t”.
aX (m/s2) ax = k t(s)
Representación gráfica v/t Al representar “v” frente a “t” se obtiene una recta cuya pendiente es “ax” (ax = tg ?) y la ordenada en el origen es v0x. (Gp:) t(s) (Gp:) v0x (Gp:) vx = v0x + ax · t (Gp:) Vx (m/s) (Gp:) ? (Gp:) ?t (Gp:) ?vx
Representación gráfica x/t Al representar “x” frente a “t” se obtiene una parábola cuya pendiente “v” varía con el tiempo y que vale 0 cuando el movimiento cambia de sentido (v = tg ?) y la ordenada en el origen es x0. (Gp:) t(s) (Gp:) x(m) (Gp:) ? (Gp:) ?t (Gp:) ?x (Gp:) Vx= 0 (Gp:) x0
Ejercicio: Representar las gráficas ay/t, vy/t, y/t del movimiento anterior cuyas ecuaciones eran: a = 4 j m/s2;v = (4· t +2 ) j m/s; r = (½ ·4 t2 + 2 t + 3) j m . (Gp:) ay (m/s2) (Gp:) t(s) (Gp:) 5 (Gp:) t(s) (Gp:) 5
(Gp:) t(s) vy (m/s) (Gp:) 0 1 2 3 4
2 6 10 14 18 (Gp:) t(s) (Gp:) Vy (m/s) (Gp:) ? (Gp:) 3 s (Gp:) 12 m/s (Gp:) 10 (Gp:) 2 (Gp:) 4
tg ? = (12m/s)/3 s = 4 m/s2
Ejercicio: Representar las gráficas a/t, v/t, y/t del movimiento anterior cuyas ecuaciones eran: a = 4 j m/s2;v = (4· t +2 ) j m/s; r = (2 t2 + 2 t + 3) j m . (Gp:) t(s) y (m) (Gp:) 0 1 2 3 4
3 7 15 27 43 (Gp:) t(s) (Gp:) y (m) (Gp:) 20 (Gp:) 2 (Gp:) 4 (Gp:) 30 (Gp:) 10 (Gp:) 40
Composición de movimientos Se basan en dos principios: P. de Independencia: Cuando un móvil tiene dos movimientos simultáneos, su cambio de posición es independiente de considerarlos simultáneos o sucesivos. P. de superposición: La posición, velocidad y aceleración vienen dados por la sumas vectorial de los movimientos parciales. Si los movimientos transcurren en ejes distintos, se pueden considerar independientes. El tiempo es la única magnitud común para ambos.
Composición de dos movimientos uniformes perpendiculares. La ecuación de velocidad será:v = vx · i + vy · j , siendo vx y vy constantes. La ecuación de la posición será:r = x · i + y · j = (x0 + vx· t) · i + (y0 + vy· t) · j En la práctica se tienen dos ecuaciones independientes con el “tiempo” común: vx = k ; vy = k’ ; x = x0 + vx· t ; y = y0 + vy· t Despejando “t” en una ecuación y sustituyendo en la otra se obtiene la ecuación de la trayectoria: vy y = y0 + —– · (x – x0) Ec. de una recta vx
Ejemplo: Se desea cruzar un río de 50 m de ancho con una barca llevando un velocidad de 5 m/s. ¿Que dirección deberá tomar para cruzar justo enfrente si la velocidad del agua es de 3 m/s y qué tiempo tardará en conseguirlo? (Gp:) Vrío = –3 m/s i (Gp:) Vbarca = (5 ·cos ? i + 5 ·sen ? j) m/s (Gp:) 50 m (Gp:) ?
Ecuaciones escalares de velocidad: Vx= 5 m/s · cos ? – 3 m/s ; Vy= 5 m/s · sen ?
Ejemplo: Se desea cruzar un río de 50 m de ancho con una barca llevando un velocidad de 5 m/s. ¿Que dirección deberá tomar para cruzar justo enfrente si la velocidad del agua es de 3 m/s y qué tiempo tardará en conseguirlo? Ecuaciones escalares de posición: x = (5 m/s · cos ? – 3 m/s) · t Para cruzar justo enfrente x = 0 0 = 5 m/s · cos ? – 3 m/s ? cos ? = 3/5 ? ? =arc cos 3/5 = 53’13 º y = 5 m/s · sen ? · t = 5 m/s · 0,8 · t Para y = 50 m; 50 m = 4 m/s · t ? t = 12,5 s
Tiro parabólico Es una composición de dos movimientos: un MRU en el eje horizontal (de las “x”) y un MRUA (caída libre) en el eje vertical (de las “y”). Ecuaciones del movimiento: a = – g · j ; v = v0x · i + (v0y – g · t) · j r = (x0 + v0x · t) · i + (y0 + v0y · t – ½ g · t2) · j v0x = v0 · cos ? ; v0y = v0 · sen ? Normalmente tomaremos x0 = 0 e y0 = h con lo que: v = v0 · cos ? · i + (v0 · sen ? – g · t) · j r = v0·cos ? · t · i + (h + v0·sen ? · t – ½ g · t2)· j
Tiro parabólico (continuación). Ecuaciones escalares (paramétricas): vx = v0 · cos ? ; vy = v0 · sen ? – g · t x = v0 · cos ? · t; y = h + v0 · sen ? · t – ½ g · t2 Ecuación de la trayectoria (se obtiene eliminando “t” en las ecuaciones de posición): x x g x2 t = ———– ? y = h + v0 sen ? ———— – ————— v0 cos ? v0 cos ? 2 (v0 cos ?)2 g y = h + tg ? · x – —————— · x2 (parábola) 2 (v0 cos ?)2
Tiro horizontal (se cumple que: ? = 0 ? vx = v0 ; v 0y = 0 ? vy = – g · t) Se suele llamar “h” a la altura inicial (y0) Ecuaciones escalares (paramétricas): vx = v0 ; vy = – g · t x = v0 · t ; y = h – ½ g · t2 Ecuación de la trayectoria: g y = h – –—— · x2 2 v02 Tiempo de impacto con el suelo (y = 0): –—— 0 = h – ½ g · t2 ? t = ? 2 h/g
Tiro horizontal (continuación). Alcance (“x” para y = 0): –—— x = v0 · ? 2 h/g Velocidad de impacto con el suelo: ——– ——–vx = v0 ; vy = – g · ? 2 h/g = – ? 2 g h –——–—v = ? vx2 + vy2 ; –——–——— v = ? v02 + 2 g h
Ejemplo: Una persona lanza piedras horizontalmente desde lo alto de un acantilado de 25 m de altura. Si pretende que caigan a 30 m de la base del acantilado, calcula: a) la velocidad con que debe lanzar las piedras; b) el tiempo que tardan en caer éstas. a) De la ecuación del alcance [x = v0 · (2 h/g)½] despejamos “v0”: x 30 m v0 = ———— = ————————— = 13,28 m/s (2 h/g)½ (2 ·25 m/9,8 m/s2)½ b) De la ecuación [ x = v0 · t] despejamos “t”: x 30 m t = —— = ————— = 2,26 s v0 13,28 m/s
Tiro oblicuo (para simplificar, vamos a suponer que se lanza desde el suelo: y0 = h = 0). Ecuaciones escalares (paramétricas): vx = v0 · cos ? ; vy = v0 · sen ? – g · t x = v0 · cos ? · t; y = v0 · sen ? · t – ½ g · t2 Ecuación de la trayectoria (se obtiene eliminando “t” en las ecuaciones de posición): x x g x2 t = ———– ? y = v0 sen ? ———— – —————– v0 cos ? v0 cos ? 2 (v0 cos ?)2 g y = tg ? · x – —————— x2 2 (v0 cos ?)2
Tiro oblicuo Tiempo de impacto con el suelo (y = 0):
0 = v0 · sen ? · t – ½ g · t2 Sacando factor común “t”: 0 = (v0 · sen ? – ½ g · t) · t Cuyas soluciones son: t = 0 2 v0 · sen ? t = ——————— g
Tiro oblicuo. Alcance (x para y = 0):
Sacando factor común “x” de la ecuación de la trayectoria e igualando a 0: 0 = [tg ? – ½ g / (v0 cos ?)2 · x] · x Cuyas soluciones son: x = 0x = 2 v02 · cos2 ? · tg ? /g = 2 v02 sen ? · cos ? /g v02 · sen 2? x = —————— g A igualdad de velocidad de lanzamiento el valor máximo se obtendrá cuando ? = 45º
Tiro oblicuo. Velocidad de impacto con el suelo vx = v0 · cos ? ; vy = v0 · sen ? – g · t Sustituyendo “t” por ”2 v0 · sen ? / g” en vy que es la que varía se tendrá: vy = v0 · sen ? – g · ( 2 v0 sen ? / g) vy = – v0 · sen ? ; vx = v0 · cos ? ———— —————————————v = ? vx2 + vy2 = ?(v0 · cos ?)2 + (– v0 · sen ? )2 ————————— —— v = ? v02(cos2 ? + sen2 ?) = ? v02 = v0 Es decir, siempre que se lance desde el suelo, la velocidad de caída es igual a la de lanzamiento.
Tiro oblicuo. Altura máxima (y para vy = 0). 0 = v0 · sen ? – g · t De donde t = v0 · sen ?/ g (observa que es justo la mitad que el tiempo de impacto con el suelo) Sustituyendo “t” por “v0 · sen ?/ g” en la ecuación de posición “y” y = v0·sen ? ·(v0·sen ?/g) – ½ g·(v0·sen ?/ g)2= = v02· sen2 ?/ g – ½ (v02· sen2 ?/ g) v02 · sen2 ? y = 2 g
Ejemplo: Un futbolista chuta hacia puerta con una velocidad de 15 m/s. Calcula: a) el alcance para un ángulo de tiro de 30º, 45º y 60 º; b) el tiempo que el balón permanece en el aire en cada tiro; c) la altura máxima en cada caso. a) v02 · sen 2? (15 m/s)2 · sen 60º x(?= 30º) = —————— = ————————— = 19,9 m g 9,8 m/s2 v02 · sen 2? (15 m/s)2 · sen 90º x(?= 45º) = —————— = ————————— = 23,0 m g 9,8 m/s2 v02 · sen 2? (15 m/s)2 · sen 120º x(?= 60º) = —————— = ————————— = 19,9 m g 9,8 m/s2 b) 2 v0 · sen ? 2 · 15 m/s · sen 30º t (?= 30º) = ————— = ————————— = 1,53 s g 9,8 m/s2 Análogamente t (?= 45º) = 2,16 s; t (?= 60º) = 2,65 s
Ejemplo: Un futbolista chuta hacia puerta con una velocidad de 15 m/s. Calcula: a) el alcance para un ángulo de tiro de 30º, 45º y 60 º; b) el tiempo que el balón permanece en el aire en cada tiro; c) la altura máxima en cada caso. c) v02 · sen2 ? (15 m/s)2 · sen 2 30º y (?= 30º) = —————— = ————————— = 2,87 m 2 g 2 · 9,8 m/s2 v02 · sen2 ? (15 m/s)2 · sen 2 45º y (?= 45º) = —————— = ————————— = 5,74 m 2 g 2 · 9,8 m/s2 v02 · sen2 ? (15 m/s)2 · sen 2 60º y (?= 60º) = —————— = ————————— = 8,61 m 2 g 2 · 9,8 m/s2
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