Definición de Cinemática Es la ciencia que estudia el movimiento sin preocuparse de las causas que lo producen, es decir, de las fuerzas. Las únicas magnitudes que se usan son, pues, la posición y el tiempo y las derivadas de ambas, es decir, la velocidad y la aceleración. Para medir el espacio definiremos un sistema de referencia y el vector posición r (r).
Tipos de movimientos Según sean “”at “y “an” los movimientos se clasifican en: Variación en “at” at = 0; ?v = 0, es decir, la rapidez es constante ? Mov. Uniforme. at = k; es decir, la rapidez varía proporcionalmente al tiempo ? Mov. Uniformemente acelerado. at ? k; es decir, la rapidez no es directamente proporcional al tiempo? Mov. Variado.
Tipos de movimientos (cont.) Variación en “an” an = 0 (porque R= ?); no hay variación en la trayectoria ? Mov. Rectilíneo. an ? 0 y R = k; la trayectoria es circular? Mov. Circular. an ? 0 y R ? k ; la trayectoria cambia continuamente de radio? Mov. Curvilíneo.
Movimiento Rectilíneo UniformeM.R.U. Sub Se cumple que a = 0 at = 0 an = 0
Ecuación del movimiento. Si a = dv/dt = 0, significa que v es constante y no depende del tiempo (no cambia ni el módulo ni la dirección), ya que sólo la derivada de una constante da 0. dv = a · dt. Integrando: v = ? dv = ? a · dt = k Ejemplo: Sea v = 3 i m/s ? a = 0 Para obtener la posición se vuelve a integrar: r = ? dr = ? v ·dt = v · t + r0 Ecuación (r0 = constante) vectorial Ejemplo: Sea r = ? (3 i) m/s · dt = = (3 t + k) · i m
Ejercicio: Sea un movimiento cuya ecuación de velocidad es: v = (3 i + 4 j –6 k) m/s. Determinar la ecuación vectorial de la posición suponiendo que para t = 0 su posición es r0 = (2 i + k) m, ¿cuál será su posición en el instante t = 2 s? r = ?dr = ? v · dt = v · t + r0 == [(3 i + 4 j –6 k) · t + (2 i + k)] m r = [(3 t + 2) i + 4 t j + (–6 t + 1) k] m r (t = 2 s) = [(3 · 2 + 2) i + 4 ·2 j + (–6 ·2 + 1) k] m= (8 i + 8 j– 11 k) m r (t = 2 s) = (8 i + 8 j – 11 k) m
Ecuación escalar del movimiento. Como el movimiento es rectilíneo, lo más sencillo es situarlo en el eje de las “x” con lo que: v = vx · i = k · i r = x · i = (x0 + vx · t) · i Eliminando i de ambas miembros de las ecuaciones nos queda: vx = k ; x = x0 + vx· t que se les denomina ecuaciones escalares.
Ecuaciones escalares del MRU en tres dimensiones. Si no está situado en el eje “x” v = vx · i + vy · j + vz · k en donde vx, vy, vz son tres constantes. Entonces r = x · i + y · j + z · k == (x0 + vx · t) · i + (y0 + vy · t) · j + (z0 + vz · t) · k Y las ecuaciones escalares quedarían: vx = k1 ; x = x0 + vx· t vy = k2 ; y = y0 + vy· t vz = k3 ; z = z0 + vz· t
Ejercicio: Escribir las ecuaciones escalares del movimiento anterior cuya ecuación de velocidad era: v = (3 i + 4 j –6 k) m/s, y su posición inicial venía determinada por r0 = (2 i + k) m. Ecuaciones escalares de velocidad de posición vx = 3 m/s ; x = (2 + 3 t) m vy = 4 m/s ; y = 4 t m Vz = –6 m/s ; z = (1 – 6 t) m
Representación gráfica x/t. Al representar “x” frente a “t” se obtiene una recta cuya pendiente es “v” (v = tg ?) y la ordenada en el origen es x0. (Gp:) x(m) (Gp:) t(s) (Gp:) ? (Gp:) ?t (Gp:) ?x (Gp:) x0 (Gp:) x = v · t + x0
Representación gráfica v/t Al representar “v” frente a “t” se obtiene una recta horizontal ya “v” es constante y no varía con “t”. (Gp:) v(m/s) (Gp:) t(s) (Gp:) vx = k
Movimiento Rectilíneo Uniformemente aceleradoM.R.U.A Sub Se cumple que a = k · ut at = k = a an = 0 Como la dirección no varía ut puede coincidir con cualquier vector unitario i, j o k.
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