Procesamiento Digital de señales (Powerpoint) (página 2)

Autocorrelación normalizada

Ejercicios Realice la correlación de las siguientes señales: Señales senoidales con frecuencia 10Hz, frecuencia de muestreo 360Hz, desfase 60°. Dos señales de distribución de probabilidad gausiana. La autocorrelación de una señal de distribución de probabilidad gausiana.

Transformada Z Ejemplos 1. x(n) = {1 2 -1 -8} X(z) = 1 + 2z-1 – z-2 – 8z-3; ROC: todo valor de z excepto z=0 x(n) = 0.5n u(n)

ROC: |0.5/z| < 1 => |z| > 0.5 z: variable compleja ROC

Transformada Z de primer orden h(n) = an u(n)

(Gp:) x (Gp:) x (Gp:) x (Gp:) x (Gp:) x (Gp:) x

Propiedades de la Transformada Z Linealidad: ax1(n) + bx2(n) – > aX1(z) + bX2(z)

Desplazamiento x(n-m) = z-mX(z)

Convolución Y(z) = X(z) H(z)

Ecuación en Diferencias y(n) = b0x(n) + b1x(n-1) + b2x(n-1) – a1y(n-1) Propiedades de Z Linealidad: ax1(n)+bx2(n) -> aX1(z)+bX2(z) Desplazamiento: x(n-m) = z-mX(z) Y(z) = b0X(z) + b1X(z) z-1+b2X(z) z-2-a1Y(z) z-1 Y(z) (1 + a1z-1) = X(z) (b0 + b1z-1 + b2z-2)

Ecuación en Diferencias Especifican la operación que debe realizar un sistema:

Para pasar a Z (propiedad del desplazamiento):

Un sistema descrito por E. D (coef constantes) es LTI

Transformadas Z del seno y el coseno sin(wnT)

cos(wnT)

Series de Fourier En 1822 Fourier descubrió las series de Fourier.

Las sen(nwot) y cos(nwot) conjunto ortogonal donde: wo: frecuencia fundamental o del primer armónico. nwo: armónicos

Expansión en series de Fourier: Series de Fourier: señales periódicas Transformada de Fourier: señales de energía finita

Exponencial y sinusoidal en tiempo discreto 1. Una senoidal discreta es periódicas solo si la frecuencia es racional: f0= k/N 2. Dos sinusoides separadas en Dw = 2p son idénticas

Exponenciales relacionadas armónicamente con f0=1/N, El conjunto de exponenciales: exp(j2pk f0n) está conformado solo por N exponenciales discretas: exp(j2pkn/N), k=0,1,2…N-1 son periódicas de periodo N.

DFT Transformada Discreta de Fourier x(n) se asume de periodo N X(k) es de periodo N. DFT

IDFT

Ejemplo DTF Ejemplo: x[n] = {1 0 0 1}:

Complejidad DFT Para calcular cada punto: 4 multiplicaciones complejas y 3 sumas.

Para N puntos: N2 multiplicaciones y N(N-1) sumas. Alta complejidad.

Hay redundancias, por ejemplo: Para k=1, n=2: WN2 Para k=2, n=1: WN2 WN = e-j2p/N Para x(n) con 3 valores:

FFT Peden aprovecharse las redundancias. El primer algoritmo fue el de Cooley y Tukey (1965).

Relación entre Fourier y Z La relación entre Fourier y Z: z = re jq = e jw Que es la transformada z alrededor del círculo unitario. Transformada de Fourier

Transformada Z

Ejemplo Un sistema con respuesta al impulso: h(n) = 0.5nu(n) Términos de la respuesta al impulso: h(n) = {1, 0.5, 0.25, 0.125….} Que tipo de filtro es (LPF, HPF, BPF)? (Gp:) x

Como implementar el filtro en un DSP?

Ejercicios Hallar los primeros 5 términos de la respuesta al impulso de un sistema con la siguiente función de transferencia: Hallar la ecuación en diferencias para un sistema que tiene los siguientes polos y ceros: z=0 z=0.5 p=-1 p=1

Relación señal a ruido Resultado de la precisión finita: SNR (ideal) = 6.02n + 1.76 dB Puede mitigarse el efecto de truncar la fase añadiendo a la fase una secuencia aleatoria removiendo la periodicidad en la fase reduciendo los espurios

Osciladores Tipos de osciladores Look-up-table CORDIC Transformada z Series de Taylor

Look-up-table Consiste en acumular incrementos de fase para emplearlos como dirección de una ROM. ROM completa: la ROM almacena los 360° de las señales seno y coseno. Emplea mucha memoria y pocos elementos lógicos. ROM pequeña: almacena solo una porción de los valores de las señales seno y coseno. Los demás valores son derivados.

Programa en Matlab – LUT clear all; fs = 2000; %frecuencia de muestreo fo = 20; %frecuencia de la señal N = 2048; %valores en la tabla paso = 2*pi/(N+1); tabl = sin(0:paso:2*pi-paso);

Nspcy = fs/fo; thpas = N/(Nspcy-1)

ang = 1; x = []; for k = 0:floor(Nspcy)-1, x = [x tabl(floor(ang))]; ang = ang + thpas; end

plot(x) res = paso*180/pi

Antes y después de añadir ruido – LUT

CORDIC Empleado cuando no se dispone de suficiente memoria para implementar una tabla. El algoritmo emplea multiplicaciones por 2, sumas, restas y una tabla de un tamaño pequeño.