Figura 1.1
Figura 1.2
Una representación grafica de la figura 1.1 se muestra en la figura 1.2 en donde todas las dimensiones L se muestran encadenadas vectorialmente el espacio restante entre 
es el claro de tolerancia que se obtiene con la acumulación de tolerancias. En este caso llamado G.
Como se hacía referencia anteriormente los valores nominales de 
podrían variar de los valores de 
y si hay mucha variación en los valores de se podría tornar difícil el llegar a G>0 en este caso seria prudente limitar las variaciones mediante tolerancias.
Estas tolerancias llamadas 
representan el "límite máximo" en la diferencia de los valores nominales y los valores actuales de la parte en mención. Por ejemplo 
El valor nominalγe G usualmente se encuentra al reemplazar en la ecuación (1) el actual 
por el valor nominal correspondiente y así tenemos
Si el objetivo es conseguir un espacio G que sea positivo y no muy grande (por razones de servicio) se puede diseñar el ensamble de una manera que el valor nominal deγcumpla con los requerimientos de esta manera la resultante de G – γ es un valor de nuestro interés y puede explicarse como
Donde 
es la diferencia entre el valor actual y el valor requerido de variación.
Si tenemos:
Entonces
Hemos visto un ejemplo de seis partes en las cuales una contribución positiva y las demás tienden a tener contribuciones negativas, esto obviamente puede ser generalizado a n número de partes con contribuciones positivas y negativas en cualquier número
Donde los coeficientes "a" pueden tener valores de ±1.
APLICACIONES
FORMULAS PARA LA ACUMULACION DE TOLERANCIAS
En esta sección se presentaran algunas formulas para la acumulación de tolerancias. Por acumulación de tolerancias nos referimos a una regla que combina las tolerancias de cada pieza en un total de las tolerancias de un ensamblaje 
Normalmente es una función creciente de todos los existentes en este ensamble De esta manera si el resultante de es muy grande se puede solucionar reduciendo algunos de los O en el caso de que el resultante de sea demasiado pequeño se puede solucionar dándole más holgura a el valor de algún
Para que necesitamos más de una formula o varias formulas para la acumulación de toleranciasγLa respuesta a esta pregunta se da en el hecho de que estos métodos se encuentran evolucionando constantemente, la razón de ello es en parte las mejoras en los costos de producción y otra parte se debe a la naturaleza del problema.
Con un buen conocimiento de los procesos de manufactura uno puede aceptar varias suposiciones de ensamblaje, quizás estas tengan tolerancias más reducidas o, al contrario, sus tolerancias acepten rangos mayores en sus valores.
Es muy importante estar consciente de las consecuencias de las suposiciones que hagamos detrás de los varios métodos a continuación se dará una breve introducción a dos métodos de acumulación de tolerancias:
Worst case (peor caso) o Método Aritmético.
Método Estadístico.
El Método aritmético tiende a ser más conservador utilizando técnicas que, aunque viejas, siguen siendo útiles en la práctica, mientras que el Método Estadístico se basa en estadísticas de diseño siendo así un método más optimista.
WORST CASE (PEOR CASO) O MÉTODO ARITMETICO
Suponiendo que 
para i=1,2,3…n podemos limitar la ecuación G –γde tal manera tenemos:
Suponiendo que a=1 en todos los casos esto se simplifica de manera que tenemos:
La validez de esto gira solamente respecto a la suposición que hicimos del valor de a. De esta manera, no importa que tanto se desvíen los valores de 
dentro de la restricción 
la diferencia G –γesta garantizada de quedar dentro de los limites de 
La principal debilidad de este método es el hecho que crece casi linealmente con respecto a n esto se nota principalmente cuando todas las contribuciones de tolerancia de la pieza de detale 
son iguales tenemos que 
por lo tanto:
Despejando
Lo cual nos dice como especificar tolerancias de detalle desde las tolerancias de ensamble. El crecimiento lineal de nos hace suponer que la diferencia de G yγes la mas grande posible y esta es la razón por la cual el nombre de este método es.
MÉTODO ESTADISTICO
Bajo este método de acumulación de tolerancias un elemento nuevo muy importante es adherido al estudio: este nuevo elemento o factor se refiere a el hecho que las variaciones de las tolerancias de las piezas son al azar y a su vez difieren de pieza en pieza de cierta manera este método es una reacción a el Método Aritmético que la gente considera conservador.
El Método Estadístico utiliza dos formas de trabajar:
Distribución normal centrada
Variación del detalle independiente
DISTRIBUCION NORMAL CENTRADA
Antes que pensar que el valor 
puede estar en cualquier parte del intervalo de tolerancias 
asumimos que el valor de puede variar entre cualquier variables normales al azar. Asumiendo que el 99.7 por ciento de las veces tendremos valores dentro de este intervalo:
La naturaleza de la distribución normal es de que los valores caerán con ms frecuencia cerca del valor de 
VARIACION DEL DETALLE INDEPENDIENTE
La suposición independiente del detalle probablemente es lo mas esencial en la acumulación de tolerancias estadística, esta permite cancelar algunas variaciones nominales.
Tratando los valores como valores variables, aquí también se requiere que esos valores sean estadísticamente independientes, Esto, a grandes rasgos, significa que la desviación 
no tiene que ver nada con la desviación 
y en este caso las desviaciones no serán en su mayoría positivas o negativas.
Bajo el efecto de independencia en todos los valores mencionados se espera que haya una mezcla de variaciones positivas y negativas de varios tamaños que nos pudieren llevar a cancelación de tolerancias nominales.
Normalmente la suposición independiente se da cuando las piezas de un ensamblaje vienen de diferentes procesos de manufactura o maquinado, aunque de igual manera se puede adoptar este criterio cuando las suposiciones sean cuestionables. Bajo las suposiciones de valores normales centrales y valores independientes podemos deducir la siguiente formula:
Normalmente el valor de 
difiere muy poco de para valores de n=3
CONCLUSIONES
La acumulación de tolerancias es un proceso conformado por varios métodos los cuales con la tecnología y estudios más recientes sirven en cuestión de ingeniería de diseño y de procesos para la mejora y obtención de resultados al momento de diseño, fabricación, maquinado.
El utilizar la acumulación de tolerancias permite a la empresa ofrecer productos con procesos reales de calidad los cuales a su vez ayudan a reducir los costos de procesos de creación de cualquier producto ya que se reducen las piezas defectuosas (scrap) dándole así a la empresa la imagen de un negocio responsable de con toda la seguridad cubrirá todas las necesidades del cliente
GLOSARIO
Termino | SIGNIFICADO
| |||||
G | Criterio de interés, normalmente es una función de L | |||||
? | Valor nominal de la parte de interés | |||||
? | Valor de holgura de la parte de interés | |||||
? | Diferecia de valores actuales y nominales de la parte de interés | |||||
a | Coeficiente de la pieza de interés en la acumulación lineal | |||||
T | Valor de tolerancia de la pieza de interés | |||||
L | Valor de la longitud de detalle de la pieza de interés. | |||||
BIBLIOGRAFIA
Referencias traducidas de:
Altschul, R.E. and Scholz, F.W. (1994). "Case study in statistical
tolerancing." Manufacturing Review of the AMSE 7, 52-56.
ASME Y14.5.1M-1994, Mathematical Definition of Dimensioning and Tolerancing Principles, The American Society of Mechanical Engineers
Bates, E.L. (1949). "Specifying design tolerances." Machine Design, March.
www.wikipedia.com
Bender, A. Jr. (1962). "6 × 2.5= 9, Benderizing tolerances–a simple practical probability method of handling tolerances for limit-stack-ups." Graphic Science, 17-21.
Scholz, F.W. (1995). "Tolerance stack analysis methods, a critical review." ISSTECH-95-021 Boeing Information & Support Services.
Autor:
Héctor Leonardo Pacheco Almanza
Catedrático: Ing. Pedro Zambrano
Instituto Tecnológico de Chihuahua
4 de mayo de 2009
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