La transformada (unilateral) de Laplace de la función f(t) definida en [0, 8) esta dada por: Transformada de Laplace La variable s se denomina variable frecuencia compleja. F(s), es una función en el dominio de la frecuencia compleja, o, más brevemente, en el dominio frecuencial.
Para que f(t) sea transformable, debe ser seccionalmente continua y de orden exponencial. Si f(t) contiene solo un número finito de discon-tinuidades finitas aisladas, es seccionalmente continua. La mayoría de las funciones asociadas con los circuitos reales son L-transformables.
A continuación calcularemos las transformadas de Laplace de las señales que aparecen con mayor frecuencia en los circuitos electricos. Algunas Transf. de Laplace Importantes Función escalón
Función Impulso
Función Exponencial
Función Coseno
Algunas Transf. de Laplace Importantes (cont) Función Seno
Todos estos pares transformados y otros se encuentran en la Tabla de Transformadas de Laplace. La misma nos permite pasar rápidamente del dominio temporal al dominio frecuencial y viceversa. Como no es objeto del curso el cálculo propio de las trasformadas de señales sino la utilización de la transformada de Laplace como una herramienta, utilizaremos la tabla cuando: a) Debamos transformar las fuentes de tensión o corriente (señales independientes) al dominio transformado. b) Debamos volver una señal al dominio temporal, una vez que la expresemos como una composición de señales conocidas (ubicadas en la columna derecha de la tabla).
Veremos ahora algunas propiedades de la Transformadas de Laplace: Propiedades de la Transformada de Laplace Linealidad
Transformada de la derivada de primer orden
Transformada de la integral simple
Estas 3 propiedades serán las que nos posibiliten extender las LK al dominio transformado y las relaciones V-A en cada uno de los elementos circuitales conocidos ( R, L y C )
La Transf. de Laplace y la leyes de Kirchhoff En el dominio temporal, las leyes de Kirchhoff de tensión y corriente son:
Por la propiedad de linealidad anteriormente vista, en el dominio transformado resultan:
La Transf. de Laplace y las relaciones VA a) Resistencia R (Gp:) R
b) Inductancia (Gp:) L
(Gp:) L s
La Transf. de Laplace y las relaciones VA (cont) c) Capacidad d) Inductancias acopladas C (Gp:) 1 / C s
(Gp:) L1 (Gp:) L2 (Gp:) M
Ejercicio !!!
La Transf. de Laplace para resolver circuitos Conociendo entonces como transformar las fuentes independientes, como se transforman la relaciones VA de cada elemento y las leyes de Kirchhoff, podemos operar con las diferentes magnitudes en el circuito transformado.
La ventaja de realizar esto es que los operadores “integral” y “derivada” desaparecen y vemos a todos los elementos pasivos como “resistencias”. Las resistencias siguen valiendo R, las inductancias tienen un valor Ls y los capacitores tienen un valor 1/Cs, pero no hablaremos de “parte real” o “parte imaginaria”.
Por lo tanto los circuitos transformados se resolverán de manera sencilla operando algebraicamente. Una vez despejada la magnitud de interés (una tensión Vi(s) o una corriente Ij(s) ), deberemos llevarla a alguna forma conocida de la tabla (o una combinación lineal) y volver al dominio temporal. A este proceso se lo denomina antitransformación, y para ello resultará muy útil el Método de las Raíces y la Descomposición en Fracciones Simples.
La Transf. de Laplace para resolver circuitos Ejemplo 1: Para el siguiente circuito, se sabe que iS(t) = 10 ?(t) y que las condiciones inciales son nulas. Calcular IR(s) para valores genéricos de R, L y C.
La Transf. de Laplace para resolver circuitos Otras herramientas que ya conocemos y que podemos seguir utili-zando en el dominio transformado son: Métodos de resolución de circuitos (Mallas, Bucles y Nudos) Las ecuaciones de Mallas serán:
La Transf. de Laplace para resolver circuitos Conexión serie y paralelo de impedancias Divisor de Tensión y Corriente
Función Transferencia Como vimos anteriormente, la función transferencia nos permitirá relacionar la tensión y la corriente en un par de terminales (entrada) con la tensión y la corriente en otro par (salida). Más aún, Vemos así que hay cuatro posibles combinaciones de variables: En cualquier caso, terminara siendo el cociente de dos polinomios en s : donde los ci son las raíces del polinomio N(s) (ceros) y los pj son las raíces del polinomio D(s) (polos). Al grado del polinomio denominador, D(s) se lo llama orden de la función transferencia y generalmente, n ? m.
Función Transferencia Ejemplo 2: Hallar la expresión de VC(s) para las diferentes entradas y considerando el capacitor inicialmente descargado.
Antitransformada Una vez que hayamos encontrado la expresión de cualquier vble del circuito, calculamos sus polos (raíces del denominador). Suponiendo que sean todos reales y distintos y n ? m tendremos: Si revisamos la tabla de pares transformados veremos que cada uno de los sumandos es fácilmente antitransformable (aún si alguno de los pj fuera cero). A esta forma de antitransformar se la conoce como desarrollo en fracciones simples. La mayor dificultad de este método es cómo determinar las constantes K1, K2, … , Kn. a) Método por igualación de polinómios Sacando factor común De esta forma puedo igualar con el polin. original (conocido) Una vez calculados los polos queremos llegar a esta forma
Antitransf. por método de igualación de polinomios Ejemplo 3: Luego de transformar un circuito, aplicar las leyes de Kirchhoff y trabajar se llega a que la tensión en un elemento es: Calcular la evolución v(t). Como primer paso analicemos las raíces del denominador: Lo primero que se ve es que tiene un polo en s =0 por lo que reescribimos: Entonces quisieramos escribir V(s) como: Terminar !!!
Antitransf. por método de los residuos El método anterior es útil cuando las raices son reales distintas y no más de tres o cuatro, ya que genera un sistema de ecuaciones de n x n para determinar las n constantes. A su vez podríamos tener raíces multiples ( s – pj )k y el método se vuelve más complicado. b) Método de los residuos: Este método se basa en el Teorema integral de Cauchy-Riemann y nos permite calcular las constantes según el tipo de polo. Siendo, Para los polos simples: Para los polos múltiples:
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