Cónicas y sus aplicaciones

Introducción

Cuando nos referimos a las cónicas, usualmente pensamos solo en la parte matemática, vale decir, las ecuaciones y los conceptos de éstas. Sin embargo, desde los tiempos antiguos tenían utilidades prácticas (ya sea medio legendarios como la hazaña de Arquímedes, al destruir naves romanas con un espejo gigante o reales, como la creación de espejos pequeños, importantes más adelante en la óptica)

En la Edad Moderna y Contemporánea, adquirieron mayor relevancia para el ser humano en ámbitos tanto matemáticos como físicos, inclusive llegando más allá, sobrepasando las expectativas que se tenían, como el uso en telecomunicaciones e industria.

Quizá, cuando la tecnología siga avanzando tal como lo hace ahora en el siglo XXI, tendremos que recurrir a las ideas de las cónicas, con propósito de mejorar lo preexistente.

Cónicas y Aplicaciones

Para poder hablar en si sobre las cónicas, debemos remontarnos a la Antigua Grecia, sobre los años 350 A.C con el descubrimiento de éstas por parte del matemático griego Menecmo y la descripción detallada por parte del matemático Apolonio (262-190 A.C.) de Perga, quien estudió las propiedades de las curvas cónicas.

SECCION CONICA: También conocida como curva cónica, está engendrada por el giro de una recta g, generatriz (recta situada en el cono), alrededor de otra recta e, eje, con el cual se corta en un punto V, vértice a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por este. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (a) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (ß), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.

Asimismo, Apolonio, proveniente de la escuela alejandrina y guiado por el sabio Arquímedes, clasifico las secciones cónicas en tres tipos:

• Elipses.

• Hipérbolas.

• Parábolas.

ELIPSES: Proviene del término elipsis, que significa una deficiencia, se utilizaba cuando un rectángulo dado debía aplicarse a un segmento dado y resultaba escaso en un cuadrado (u otra figura dada).

Su definición actual señala que la elipse es el conjunto de puntos en un plano, tales que la suma de sus distancias desde dos puntos fijos es constante, denominando foco al punto fijo. Se obtienen a partir de una sección cónica si el plano cortante no es paralelo a ninguna generatriz, además, existe un caso especial denominado circunferencia, la cual se forma si el plano cortante interseca a cada generatriz y también es perpendicular al eje del cono.

Tenemos primero el punto T(x, y), siendo cualquier punto de la elipse si y sólo si: Recta TF + Recta TF`= 2a.

HIPERBOLAS: En el griego antiguo significaba "avanzar más allá", se adoptó en términos de las cónicas para el caso en que el área excedía el segmento dado.

Actualmente se le denomina hipérbola al conjunto de puntos en un plano, tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es una constante, los cuales se llaman focos. Se obtiene cuando un plano cortante interseca los dos mantos de un cono y es paralelo a dos generatrices.

La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola. El punto donde se cortan ambos ejes (que es el punto medio de los focos) se llama centro de la hipérbola.

PARABOLAS: La palabra parábola en los tiempos de Apolonio tenía como significado "colocar al lado" o "comparar" indicando que no había ni deficiencia ni exceso.

Su definición actual afirma que es el conjunto de todos los puntos situados en un plano que equidistan de un punto y una recta fijos. El punto fijo se denomina foco y la recta fija, directriz.

La distancia entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola (suele denotarse por p). Dada una parábola, se llama eje de la misma la recta que contiene al foco y es perpendicular a la directriz. Se llama vértice de la parábola al punto donde ésta corta a su eje.

A partir de la definición, podemos derivar la ecuación de una parábola. Para ello, se elige el eje y como recta perpendicular, la directriz, conteniendo así el foco.

Aplicaciones

Historia y aplicaciones generales: Desde la época en que Apolonio demostraba las propiedades que poseen las curvas cónicas, descubrió que se destacaba la creación de espejos con forma de sección cónica aplicando las propiedades de reflexión, obteniendo así los llamados espejos elípticos, parabólicos o hiperbólicos.