TEORÍADECONJUNTOS Podemos entender por conjunto a la agrupación, asociación, colección, reunión, unión de integrantes homogéneos y heterogéneos, los cuales pueden ser naturaleza real o imaginaria. En conclusión pueden estar integrados por letras, números, meses de un año, astros, países mares etc., a los integrantes en general se les llama elementos del conjunto. Presentamos a continuación otros ejemplos. Conjunto formado por los libros de un estante. Conjunto formado por los juguetes de un niño. Conjunto formado por los países del África. Conjunto formado por los elementos químicos. I.- NOTACIÓN DE CONJUNTO La notación la podemos realizar de la siguiente manera: El conjunto formado por los cinco primeros números naturales A={2,4,6,8,10} se lee:”A es el conjunto formado por los elementos 2,4,6,8,10” B= {m,n,r,o,p} se lee:” B es conjunto formado por los elementos m,n,r,o,p”. C= {sódio, lítio, potasio} se Lee C es conjunto formado por los elementos químicos, sódio, lítio, potasio. “Los elementos siempre se separan por comas o puntos y comas, y son encerrados entre llaves ({ }). Los conjuntos siempre se denotan o son representados por letras Mayúsculas como A, B, C, D…” Si en un conjunto se repite el mismo elemento se considera solo una vez. Ej. : R= {a, a, a} = {a} un solo elemento. II.- RELACIÓN DE PERTENENCIA (?) Se dice que todo elemento de un conjunto pertenece a dicho conjunto si forma parte del conjunto en mención y para indicar esto lo representamos de la siguiente manera ?y en contrario de no pertenencia ?
Ej.: A= {d, u, r, o} De donde: d ?A Se lee “d pertenece al conjunto A “ u?A Se lee “u pertenece al conjunto A” s?A Se lee “s no pertenece al conjunto A”
III.- CARDINALIDAD Y ORDENALIDAD
1. Número Cardinal.- Nos referimos al número de elementos que tiene un conjunto. Car (D)= n (D)= número de elementos. Ej.: El número Cardinal del conjunto D= {a, e, i, o, u} Es = 5 a e i o u 1 2 3 4 5 ?número Cardinal del conjunto D ? Nos dice que: D tiene 5 elementos ? 2. Número Ordinal.- Nos referimos al número natural que corresponde a cada uno de los elementos del conjunto al contarlos. Ej.: B= {p, r, s, t} ? p r s t
1 2 3 4 p es primer elemento.
r es segundo elemento. s es tercer elemento, etc.
IV.- DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
Los conjuntos se determinan de dos formas: a) Por Extensión.- Llamado también por modo explicito, enumerativo o de forma tabular, donde cada elemento del conjunto es nombrado individualmente. Ej.: P= {Tierra, Marte, Neptuno, Júpiter} Q= {Juan, Iván, Jorge} Car (D)=n (D)=5 Si A= {6, 8, 10,12} A tiene 4 elementos.
Car (A) =n(A)= 4
R= {Rebeca, Mercedes, Victoria} b) Por Comprensión.- Llamado también modo implícito, descriptivo o de forma constructiva, es cuando los elementos que forman el conjunto, enuncian una propiedad que los caracteriza a todos. Ej.: P= {x/x es un planeta} Se lee El conjunto P formado por los elementos x tal que x es un planeta Q= {x/x es un elemento químico} Se lee El conjunto Q formado por los elementos x tal que x es un elemento químico. V.- CLASIFICACIÓN DE CONJUNTO Por el número de elementos que poseen los conjuntos pueden clasificarse en: Conjunto Vació.- Es aquel que carece de elementos, también llamado nulo y se denota por el símbolo ( Ø ). Ej.: A= {x/x es un perro que tiene alas} B= {x/ x3= 27 donde x es par} C= {x/x ? N; 12< x< 13} Conjunto Unitario.- Es aquel conjunto que esta formado por un solo y único elemento. Ej.: P= {x/x esta formado por satélites de la tierra} Q= {x/x + 2 =7} R= {2, 2, 2, 2} “ojo tiene un solo elemento”. Conjunto Universal.- Se denota por la letra U; contiene, comprende o dentro del cual están todos los demás conjuntos. Ej.: Si consideramos U como el conjunto de todos los Elementos Químicos, entonces dentro de U existirán subconjuntos de elementos sólidos, líquidos, gaseosos, radiactivos, metales, etc. Conjunto Finito.- Es aquel cuyo elemento se puede contar en forma usual desde primero hasta el último. Ej.: A= {El número computadoras del salón de clase} B= {275 paginas del libro}
C= {números impares de 5 al 21} Conjunto Infinito.- Es aquel cuyo elemento al contarlos no se llega a un último elemento del conjunto, es llamado también indeterminado. Ej.: A= {x?Z; x >2}
B= {x/x Es un número real}
VI.- RELACIÓN ENTRE CONJUNTO 1. Inclusión (?).- Se dice que un conjunto “A” esta incluido en otro “B”,
cuando todo elemento de A, pertenece a B, matemáticamente se define: Ej.: ? A ? B (A esta incluido en B) B= {Artefactos eléctricos}
Sean los conjuntos: P= {6, 7, 8, 9,10}
Q= {6, 8,10}
R= {6,10} R ? PoP ? R Q ? PoP ? Q R ? QoQ ? R Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos su forma es: A=B además se cumple: 2. Subconjunto Propio.- B es un subconjunto propio de A, si en primer lugar B es un subconjunto de A, ó B esta incluido en A, y en segundo lugar B no es igual a A, en todo caso no existe por lo menos un elemento de A que no esta en B es decir: A= {1, 2, 3, 4,5} B= {2,4} B ? A subconjunto Nota: Todo conjunto es subconjunto de si mismo, pero no es propio de si mismo. Ej.: Si: A= {r, s, t}, Entonces: A ? B ? x?A ? x ?B
A= {radio, televisor, refrigeradora} ? Se lee “……esta incluído……” ? Se lee “……..incluye a……” A ? B y B ? A
n[P(A)]= 2 Subconjuntos de A P(A)= {Ø, {r} ;{s} ;{t} ;{r, s} ;{s, t} ;{r, s, t}} Subconjunt
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