Ej.: Hallar el número de subconjuntos y el número de subconjuntos propios en: B= {f, g, h, i} P(B)={Ø;{f};{g};{h};{i}:{f,g};{f,h};{f,i};{g,h};{g,i};{h,i};{f,g,h};{f,h,i};
{g, h, i};{f, g, i};{f, g, h, i,}}
El número de elementos de B: n(B)=4
El número de conjuntos potencia de B será: n[P(B)]= 2n =16
El número de Subconjuntos de B: 16 n
VII.- REPRESENTACIÓN GRAFICA DE CONJUNTO
1.- Diagrama de VENN Los conjuntos pueden ser representados haciendo uso de gráficas como: círculos, elipses, rectángulos u otras figuras geométricas de áreas plana, dentro de los cuales se ubican los elementos que le pertenecen y fuera a los elementos que no pertenecen al conjunto.
A continuación representamos algunos conjuntos: A={a,e,i,o,u} y B={a,m,n,o,u} ?AUB={a,e,i,o,u,m,n} ? A n B= {a, o, u} Nota: “U” es el conjunto universal de todas las letras del alfabeto.
VIII.- OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Las operaciones de conjuntos son: la unión, la intersección, la diferencia, la complementación, el conjunto producto y la diferencia simétrica.
1. UNIÓN DE CONJUNTO.- La unión de conjunto A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos, se simboliza por: AUB, y se lee “A” unión “B” Notación: 1) 2) 3) 4) a o u i e m n A B b r U t 1 2 3 A B A B A B 1.-Cuando los conjuntos tienen algo en común. 2.-Cuando los conjuntos no tienen nada en común .
Propiedades: Los más importantes son:
A U B = B U A (conmutativa) A U A = A (Idempotencia) A U Ø =A A U U = U; U: universo A U B = {x/x ? A ? x ? B}
Gráficamente es:
2.- Intersección (n): Dados lo conjuntos A y B, se llama intersección al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y B a la vez; es decir es el conjunto formado por los elementos comunes a A y B Notación:
Gráficamente: Propiedades:
i) An B = Bn A ii) An A = A iii) A n Ø = Ø iv) An U = A; U: universo
3.- Diferencia (-): Dados 2 conjuntos A y B, se llama diferencia de A y B, al conjunto formado por todos los elementos de A y que no pertenecen a B; es decir, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen exclusivamente a A. Notación: A B A B A B .
Ej.: Sean los conjuntos:
A = {1, 2, 3, 6} B = {2, 4, 6, 7, 8} C = {4, 7, 8}
? A – B = {1, 3} B – C = {2, 6} A – C = {1, 2, 3, 6} Graficamente: Gráficamente: A–B A–B A–B
C A–B= n B A n B = {X/X ? A Y X ? B} A – B = {x/x ? A y x ? B}
A U Propiedades: i) A – A = Ø ii) A – Ø = A iii) Ø – A = Ø iv) A – B = B – A ? A = B
4. Complemento de un conjunto (C(A), AC ): Dado un conjunto A que está incluido en el universo U, se denomina complemento del conjunto A, a todos los elementos que estén fuera de A, pero dentro del universo.
Notación: C
Ejem: Sean:
U = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8} A = {1, 3, 4, 7, 8} AC = {2, 5, 6}
Gráficamente: A
Propiedades:
i) (AC) C = A ii) Ø C = U iii) U C = Ø iv) A U AC = U v) A n AC = Ø
5.- Diferencia Simétrica (?).- Se llama diferencia simétrica de los conjuntos A y B, al conjunto de elementos de A y B, excepto los que pertenecen a la intersección. Esto es, que pertenecen a A o a B
A ? B = {x/x ? A y x ? B} v {x/x ? B y x ? A}
NOTA: PUEDE DECIRSE TAMBIÉN QUE “A ? B” ES EL CONJUNTO DE TODOS LOS ELEMENTOS DE A B QUE NO PERTENECEN AL CONJUNTO A n B. EN OTRAS PALABRAS “A ? B” ES EL CONJUNTO FORMADO POR LOS ELEMENTOS “EXCLUSIVOS” DE A O DE B.
Gráficamente: A ? B A ? B A ? B • • A ? B = (A U B) – (A n B) A ? B = AC ? BC Nota: “Leyes de Morgan”
(A U B)C =ACn BC .
(A n B)C =ACU BC
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