1. INTRODUCCIÓN
No cabe duda que la "Teoría de Conjuntos" de G. Cantor es la candidata a ser el pilar fundamental de la matemática. Sin embargo, el fundamento de una disciplina como la matemática no debe poseer errores en su seno. Por ello, el objetivo principal de este trabajo es tratar de subsanar algunos errores que, desde su creación, han permanecido ocultos en tan hermosa teoría.
El primer error que se va a considerar es el de llamar conjunto a la reunión de varios conjuntos. En efecto, si decimos que:
Conjunto: es una colección de objetos bien determinados (obd).
Entonces, una agrupación de conjuntos no puede ser un conjunto. Aceptar que un grupo de conjuntos es un conjunto conduce a barbaridades cuando efectuamos operaciones con ellos; como veremos más adelante. Por otra parte, podemos efectuar operaciones entre conjuntos (unión, intersección, etc.) pero no podemos efectuar operaciones entre los objetos que forman a dichos conjuntos; como por ejemplo, si A = {a, b, c}, no se debe efectuar la operación: a b = c. Es decir, no debemos inferir que la unión de dos sillas es una silla; o que la unión de dos estudiantes es un estudiante; o que la intersección de dos personas es una persona; etc.
El segundo error que se considerará es la veracidad de la comúnmente llamada hipótesis del continuo, la cual nos dice que N, Z y Q tienen la misma cardinalidad, lo cual probaremos que no es cierto. La mencionada hipótesis es una camisa de fuerza que no permite a los matemáticos descubrir la verdadera naturaleza del número real. Otro aspecto que no queda claro, por culpa de la bendita hipótesis del continuo, es la correcta definición de cardinalidad de un conjunto.
Algunos matemáticos, los topólogos más que todos, dicen que aun cuando Z y N tienen la misma cardinalidad, no tienen la misma cantidad de elementos. Otros, en cambio, dicen que existen tantos naturales como enteros, es decir, que N y Z tienen igual cantidad de elementos. Ahora bien, si N y Z tienen igual cardinalidad pero diferente cantidad de elementos, ¿qué se entiende entonces por cardinal de un conjunto infinito? Sin entrar en detalles y discusiones estériles, la demostración formal de que dicha hipótesis es falsa pone fin a este caos, pues al demostrarse que #N < #Z < #R, se estará demostrando que Z tiene más elementos que N; que es lo correcto. Veamos entonces un intento de proyecto el cual persigue corregir los errores, arriba esbozados, de esta hermosa teoría de conjuntos. Se supone conocidos por el lector todos los conceptos y definiciones concernientes a dicha teoría.
2. LOS CONJUNTOS DE CONJUNTOS Y SUS OPERACIONES
Un conjunto de conjuntos es una colección, no de objetos bien determinados, sino de conjuntos. Veamos algunas barbaridades al tomarlas como conjuntos. Sean
A = {{1}, {2}, {3}, {4}}; B = {{1, 2}, {3}, {1, 2, 3}, {2, 4}}, P(N), P(Z), etc.
1) Si los conjuntos anteriores son aceptados como conjuntos normales, entonces ellos aceptan las operaciones corrientes entre dos conjuntos cualesquiera. En particular, existirá una biyección entre A y B por ser equipotentes, ya que #A = 4 = #B. Esto es así, porque la definición de equipotencia nos dice que dos conjuntos son equipotentes si, y sólo si, existe entre ellos al menos una biyección. Pero entre los conjuntos A y B dados no es posible hallar una biyección que no nos conduzca a una barbaridad. Veamos una posible biyección entre A y B y analicemos sólo una de las cuatro posibles imágenes.
Sea f: A B / f({1}) = {1, 2}. (1)
Como la imagen de un conjunto es el conjunto formado por las imágenes de sus elementos, entonces
f({1}) = {f(1)}. (2)
Ahora, por (1) y (2) se tiene el absurdo (un conjunto unitario igual a un binario)
{f(1)} = {1, 2}. ¿?
2) Veamos otra barbaridad ocasionada por la existencia de conjuntos de conjuntos y las operaciones con ellos.
Sea f: P(N) N / A P(N), f(A) = mín. (A). (1) Por (1) se tiene que
f({1, 3}) = 1; f({1}) = 1; f({3}) = 3. (2) Además
f({1, 3}) = f({1} {3}) = f({1}) f({3}). (3) Sustituyendo (2) en (3) se tiene la barbaridad
1 = 1 3. (4)
Según (4), 1 y 3 son conjuntos y, según las propiedades de la unión, 3 es subconjunto de 1 (3 1); lo cual es un perfecto disparate.
3) Veamos ahora una barbaridad ocasionada por la definición de equipotencia de conjuntos. Si A = {{0}, {0, 3}} y B = {{0}, {1, 2}} son conjuntos, entonces entre ellos existe una biyección por ser equipotentes (#A = #B = 2). Ahora bien, entre estos dos conjuntos no puede existir una biyección. Expliquemos por qué.
Si existe f: A B, no puede ser f({0}) = {1, 2} porque ocurriría que un conjunto unitario es igual a uno binario; como vimos anteriormente. Por lo tanto, tiene que ser
f({0}) = {0} y f({0, 3}) = {1, 2}. (1) De donde se obtiene
f({0}) = {f(0)} = {0} y f({0, 3}) = {f(0), f(3)} = {1, 2}. (2) Por (2) se tiene
f(0) = 0 y f(0) = 1 ó f(0) = 2. (3)
Y por (3) se tiene la barbaridad
0 = 1 ó 0 = 2 ¿?
4) Veamos una cuarta y última barbaridad. Sean los conjuntos
A = {1, 2, 3}; B = {{1}, {1, 2}}
Los elementos del conjunto A son objetos bien determinados (en este caso números). Por otra parte, los elementos de B son conjuntos. Pero como A y B son dos conjuntos cualesquiera, se puede efectuar la unión de ellos y se obtiene la siguiente mutación
A B = C = {1, 2, 3, {1}, {1, 2}}
La pregunta ahora es ¿qué cosas son los elementos del conjunto C? ¿Son objetos bien determinados? ¿Son conjuntos? O ¿acaso C es un mutante? Sabemos que C es la unión de dos conjuntos, pero no sabemos qué cosas son sus elementos. No son objetos bien determinados (obd) porque {1} y {1, 2} no son obd sino conjuntos. Tampoco son conjuntos porque 1, 2 y 3 no son conjuntos. En consecuencia, C no es un conjunto.
Reflexionemos un poco sobre todo lo anterior. ¿Cómo se pueden subsanar las barbaridades halladas anteriormente? Como opinión muy particular del autor, lo más sabio y sensato sería no tomar como conjuntos a los conjuntos de conjuntos, sino llamarlos simplemente agrupaciones de conjuntos (AC). Así, la definición de tales agrupaciones sería: Una agrupación de conjuntos (AC) es un grupo cuyos elementos son conjuntos y su nomenclatura podría ser A(AC) = {{…}}; B(AC) = {{…}, {…}}, etc.
3. CARACTERÍSTICAS DE UNA AGRUPACIÓN DE CONJUNTOS (AC)
Veamos cuáles serían las características de cada agrupación de conjuntos y cómo serían las operaciones entre ellos así como la aplicación de funciones.
1) Cada A(AC) es una partición de algún conjunto, y se podría llamar A al conjunto mínimo-genérico (término del autor). Ejemplo: Si A(AC) = {{0}, {1}, {1, 2}}, entonces su mínimo-genérico (m-g) es: m-g(A(AC)) = A = {0, 1, 2}. Se tendrá así, A(AC) P(A) y la agrupación de partes P(A) es la partición completa de A.
Observe que se ha llamado mínimo-genérico al conjunto A, porque cualquier otro conjunto que contenga a A es un generador de A(AC).
2) Dos AC, A(AC) y B(AC), son equipárticas (término inventado por el autor) si tienen la misma cantidad de conjuntos n-arios. Ejemplo: A(AC) = {{1}, {2}, {3}, {2, 4}} y B(AC) = {{0}, {2}, {4}, {0, 2}}. Acá, ambas agrupaciones tienen tres conjuntos unitarios y uno binario, luego son equipárticas.
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