3) Derivada: Sea F(s) la TL de f (t), y f (0) el límite de f (t) cuando t tiende a 0. La TL de la derivada con respecto al tiempo de f (t) es: (Gp:) L
y, para derivadas de orden superior: (Gp:) L
Teoremas importantes
4) Integración La TL de la integral de f (t) respecto del tiempo es la transformada de f (t), F(s), dividida por “s”, es decir: (Gp:) L
Para integración de orden ¨n¨: (Gp:) L
Teoremas importantes
5) Traslación en el tiempo La TL de la función f (t) retrasada un tiempo T, es decir: f(t-T), es igual a la transformada de f (t) multiplicada por e-sT; esto es: en donde us(t-T) denota la función escalón unitaria aplicada en el tiempo T (desplazada T unidades de tiempo a la derecha). Teoremas importantes L
6) Teorema del Valor Inicial Si la TL de la función f (t) es F(s), entonces se cumple: 7) Teorema del Valor Final Si la TL de la función f (t) es F(s), y si sF(s) es analítica sobre el semiplano derecho del plano ¨s¨ (incluido el eje imaginario), al que llamaremos SPD, entonces: Teoremas importantes
El Teorema del Valor Final es muy útil porque permite sabercuál será el valor final al que tenderá una función a partir deconocer el comportamiento inicial de su TL (no es válidocuando sF(s) tiene un polo con parte real cero o positiva) Ejemplo: Sea la siguiente función (cumple con s F(s) analítica en SPD): Teoremas importantes
8) Teorema de la Traslación Compleja (Gp:) L
(Gp:) La TL de la función f (t) multiplicada por e ?t, donde ? es una constante, es igual a la TL F(s), con “s” remplazada por s??, es decir:
Teoremas importantes
9) Convolución real (multiplicación compleja) Sean F1(s) y F2(s) las TL de f1(t) y f2(t) respectivamente y, además, se cumple que f1(t) = f2(t) = 0 para t< 0, entonces: (Gp:) F1(s) F2(s) = L [ f1(t) * f2(t)] = (Gp:) L (Gp:) L
El símbolo “*” denota el producto de convolución en el dominio del tiempo. Teoremas importantes
Aplicación de la TL en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales El procedimiento a emplear es el siguiente: Transformar la EDO al dominio de “s” mediante la TL, utilizando la Tabla de Transformadas. Manipular las ecuaciones algebraicas transformadas y resolverlas para la variable de salida. Realizar la expansión en fracciones parciales de la ecuación algebraica transformada. Obtener la TIL utilizando la Tabla de Transformadas.
Ejemplo: Sea la EDO donde u(t)=1(t) (escalón unitario). Aplicación de la TL en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales
Ejemplo (continuación): Aplicando TL a ambos miembros de la EDO se tiene: Sustituyendo las CI y resolviendo para Y(s), resulta: Aplicación de la TL en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales
Solución estable (particular) Solución transitoria (homogénea) Tomando TIL se obtiene finalmente: Para encontrar la solución en estado estable, se puede aplicar el Teorema del Valor Final, es decir: Aplicación de la TL en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales Ejemplo (continuación):
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