c-7)Todas las potencias de un impar son diferencia de cuadrados.
c-8) Todas las potencias de un primo de la forma 4k+1 son suma de dos cuadrados
c-9) Los números m 1=2, m 2 =10, m 3 = 26,, …… , m K+8 (k -1) son suma de la unidad más un cuadrado
c-10) Del cuadrado de una resta entre dos números se pasa a al cuadrado de la suma agregando cuatro veces el producto de los números de la suma.
c-11) Los números Z de las ternas que no son primos,son productos de zetas de otras ternas
Ternas pitagóricas y último teorema de Fermat
Algunos acostumbran a llamar ternas originales a aquellas en dónde para Y, par, Z
impar resultan números enteros consecutivos ( X es impar), es decir Z= Y-1.
Aquí se acepta que Z( el mayor de los números, X, Y, Z, )es impar, pues esto surge de
las fórmulas del grupo I y II .Los números X, Y, no pueden ser ambos pares pues sino
también sería par Z , entonces la terna no sería primitiva. Tampoco X, Y pueden ser ambos impares pues sus cuadrados serían de la forma 2k+1,y la suma de ambos sería de la forma 2j con j = impar, lo cual es imposible para el cuadrado de Z que debería ser múltiplo de cuatro.
Es decir una terna pitagórica tendría para X, Y, un término par y otro impar, y , Z debería ser impar
Se puede demostrar que X, o bien Y debe ser alguno de ellos múltiplo de tres.
También se puede demostrar que X, o bien Y, o bien Z debe ser múltiplo de cinco.
.
3) Ordenamiento de las ternas pitagóricas
Puesto que los números impares pertenecen todos a una terna pitagórica entonces las
ternas se podrían ordenar en forma creciente de los números X impares, sabiendo además que si X es compuesto con k factores primos se obtienen 2 k-1 ternas distintas
primitivas.
4) Propiedades de algunas ternas numéricas de números primos entre sí
Lo siguiente tiene la particularidad que no lo he visto señalado en ningún escrito sobre éstas cuestiones.
p-1) Si e es impar entonces por la propiedad siete de la página dos se tiene:
e = f 1 2 – g 1 2 , e 2= f 2 2 - g 2 2 , e 3 = f 3 2 - g 3 2 ,…….
Se observa que la segunda igualdad que correspondería a una terna pitagórica, es un caso particular de los infinitos casos que se pueden presentar.
p-2) Si el número e es un número par múltiplo de cuatro y mayor que él
p-3) Lo mismo si se aplica la propiedad c-8 a los primos de la forma 4k+1
para la suma de dos cuadrados Se puede observar también que los cuadrados que son suma de dos cuadrados es un caso particular entre los infinitos casos que se pueden presentar
Como éstas propiedades no se pueden pensar que existan para exponentes mayores que dos en la ecuación (1), deben haber originado la idea en muchos que la suma de dos potencias de igual exponente es una potencia del mismo exponente sólo es válida para exponente dos. Es más, la propiedad ocho se obtiene de aplicar otra propiedad que algunos llaman de Diofanto .Justamente se dice que Fermat (1601-1665) matemático francés, se encontraba leyendo el libro de Diofanto escrito por Bachet, cuando súbitamente se le ocurrió escribir en el margen de la hoja de lectura :" se me acaba de ocurrir una demostración maravillosa en dónde se puede probar que una potencia es
suma de otras dos potencias de igual exponente en los casos de números enteros para
X, Y, Z, sólo cuando el exponente n vale dos "
Ternas pitagóricas. Y último teorema de Fermat
5) El último teorema de Fermat
éste escrito que he mencionado dio origen a una carrera histórica por demostrarlo,incluso hubo un premio para el que lo consiguiera , el hecho es que a través de varios siglos nadie pudo hacerlo, hasta que en los últimos años Wiles por medio de un método muy laborioso lo consiguió. Como nadie había podido realizarlo en forma general, se trató de conseguirlo exponente por exponente. Para la cuarta potencia el mismo Fermat al parecer lo había intentado,también se supone para el exponente tres..
Para la ecuación (1,página 1) Rademacher y Toeplitz dicen en su librito Números y Figura s " ésa ecuación no tiene resultados en números enteros x, y, z, para n mayor que dos. ésta afirmación que nunca ha sido demostrada en sentido favorable o contrario, es denominada teorema de Fermat o el último teorema de Fermat. No obstante, la afirmación sí ha sido demostrada para ciertos valores de n. Por ejemplo, fue demostrado para todos los valores de de n de 3 a 100 por Kummer(1810-1893) y sus seguidores. Anteriormente , Euler ( 1707- 1783 ) lo había demostrado para el exponente tres y el exponente cuatro "
La anécdota me hace suponer que la solución del problema no puede ser tan complicado, quizás lo que vislumbró Fermat fue que las ternas pitagóricas se obtienen por la aplicación de propiedades especiales y particulares de los cuadrados y que éstas propiedades no se pueden manifestar en otros exponentes. Eso es lo que trato de mostrar en uno de los métodos que se me ocurren de obtener las ternas pitagóricas.
MéTODO PARA OBTENER TERNAS PITAGÓRICAS ORIGINALES
1) Considerar un número impar, por ejemplo tres. Llamarlo X. Hallar su cuadrado, en éste caso nueve
2 )obtener la mitad del número anterior y llamarlo Y,la mitad
del número siguiente y llamarlo Z,en el ejmplo Y=4, Z=5
3) X,Y,Z es una terna pitagórica,en éste caso es 3,4,5
4) Probar que es una terna pitagórica original
Si es original entonces Y = Z – 1
5) X2 + Y 2 = Z 2
6) X 2 +(Z-1) 2 = Z 2
7) X 2 + Z 2 -2Z +1= Z 2
8) X 2 – 2Z +1 = 0 (&)
Aplicando las propiedades c-8, c-9 mencionadas en la página dos es, si Z=5,13,25,..
Con 13= 5 +4.2 , 25 = 13+4.3, 41= 25+ 4.4, etc
Entonces los 2Z son 1+ un cuadrado ,en el ejemplo 2Z=10= 9+1
10)luego en (&) es para X cuadrado = 9 es 0 = 0
Es decir se prueba que X=3, Y=4, Z= 5 es una terna p.p.original
ACLARACIÓN: como la terna surge de aplicar las prop.c-8, c-9 9, que son
válidas sólo para los cuadrados, resulta que las ternas sólo son válidas
para los exponentes dos.
11) Igualmente se ve que X 2 + {( X 2 – 1 ) /2} 2= {4X 2 + X 4 – 2 X2 + 1}: 4 =
( X 2 + 1) 2 / 4 = Z 2, por aplicación de c-11, sólo valido para cuadrados.
Lo anterior se refirió a las llamadas ternas originales, en dónde Z es un número
primo, pero los Z que no lo son se obtienen de aplicar la regla de Diofanto que es
indudablemente aplicable sólo a los exponentes dos.
Se me ocurre un método de producir ternas en X 2 en dónde es claro que sólo
Sirve para las diferencias de cuadrados en los valores compuestos de X 2
:
X 2 = Z 2 – Y 2 , X 2 = ( Z – Y )( Z + Y )
X k 2 = { ( Z + (8 T)/2 - ( Y – (8T)/2 }{ ( Z + (8T)/2 + ( Z -(8 T)/2 }
Con T = número triángulo =n(n+1)/2 , T = 1, 3, 6, 10, 15, …….
Con el caso por ejemplo 7 2 = 25 2 – 24 2 se obtienen dos ternas más pues a
24 = 4.6 ( T = 6) sólo se le puede restar 12 =4.3 ( T = 3) y 4= 4.1 ( T = 1)
En las ternas originales Y siempre es de la forma 4T/2, pues Y = ( Z 2- 1)/2
Pero los cuadrados impares son de la forma 8T+1, luego Y = 4T
X 3 2 = {(25 + 12) – (24 -12 )}( 25 +12 )+( 24 – 12)}= (37 – 12)(37 + 12) =35 2
X 2 2 = {(25 +4) – (24-4)}{ ( 25 + 4)+ ( 25-4) } = ( 29 – 20)( 29 + 20) = 21 2
Esto es así pues en la terna original es Z – Y = 1, luego como 1+ 8 T = Ck2 resulta
Sumando 8T/2 a Z e Y : ( Z + 8T/2) – ( Y – 8T/2 ) = C 2
Siendo en la terna original Z+Y = C 2 , ése cuadrado se mantiene constante pues
Z + Y = (Z+8T/2) + ( Z – 8T/2 )
Se puede concluir que ésta propiedad es sólo valida para las diferencias de
cuadrados en dónde el segundo paréntesis (factor) permanece invariable.
Al variar los X k, también variarán los Z en dónde figurarán los Z que no son
Primos, pero como he mencionado ellos se obtienen de aplicar la regla de
Diofanto
El primer Z que es compuesto es Z = 25, y luego Z= 65 = 5.13 y con él se
obtienen dos ternas.:16, 63, 65, y 33, 56, 65. Si se aplica la regla de Diofanto se
observará que los zetas son productos de zetas.
Bibliografía:
1) H. Rademacher y O. Torplitz: "Números y Figuras" Alianza Editorial,Madrid
2) Julio Rey Pastor," La Matemática Superior" Editorial Ibero Americana 1951
3) E. Hofmann: "Historia de la Matemática".Uteha, México, 1961
4) Enzo Gentile, Monografías UNESCO
6) H. Bell, Historia de Matemáticos
7) Felix Klein: "Aritmética y Álgebra". Editorial Ibero- Americana, 1948
8) Nota sobre el último teorema de Fermat y su demostración por Andrew Wiles.
. por Pable kilt, 1999.
Diciembre de 2007.
Autor:
Rubén Ricardo Rosas
Profesor de Matemática Física y
Cosmografía, egresado del Instituto Superior del Profesorado de Paraná (E.R.)
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