Medidas de Forma: Asimetría y Curtosis

1) ASIMETRÍA

Es una medida de forma de una distribución que permite identificar y describir la manera como los datos tiende a reunirse de acuerdo con la frecuencia con que se hallen dentro de la distribución. Permite identificar las características de la distribución de datos sin necesidad de generar el gráfico.

1.1) TIPOS DE ASIMETRÍA

La asimetría presenta las siguientes formas:

Asimetría Negativa o a la Izquierda.- Se da cuando en una distribución la minoría de los datos está en la parte izquierda de la media. Este tipo de distribución presenta un alargamiento o sesgo hacia la izquierda, es decir, la distribución de los datos tiene a la izquierda una cola más larga que a la derecha. También se dice que una distribución es simétrica a la izquierda o tiene sesgo negativo cuando el valor de la media aritmética es menor que la mediana y éste valor de la mediana a su vez es menor que la moda, en símbolos

Nota: Sesgo es el grado de asimetría de una distribución, es decir, cuánto se aparta de la simetría.

Simétrica.- Se da cuando en una distribución se distribuyen aproximadamente la misma cantidad de los datos a ambos lados de la media aritmética. No tiene alargamiento o sesgo. Se representa por una curva normal en forma de campana llamada campana de Gauss (matemático Alemán 1777-1855) o también conocida como de Laplace (1749-1827).También se dice que una distribución es simétrica cuando su media aritmética, su mediana y su moda son iguales, en símbolos Md=Mo

Asimetría Positiva o a la Derecha.- Se da cuando en una distribución la minoría de los datos está en la parte derecha de la media aritmética. Este tipo de distribución presenta un alargamiento o sesgo hacia la derecha, es decir, la distribución de los datos tiene a la derecha una cola más larga que a la izquierda.

También se dice que una distribución es simétrica a la derecha o tiene sesgo positivo cuando el valor de la media aritmética es mayor que la mediana y éste a valor de la mediana a su vez es mayor que la moda, en símbolos

1.2) MEDIDAS DE ASIMETRÍA

Coeficiente de Karl Pearson

Donde:

= media aritmética.

Md = Mediana.

s = desviación típica o estándar.

Nota:

El Coeficiente de Pearson varía entre -3 y 3

Si As < 0 ? la distribución será asimétrica negativa.

Si As = 0 ? la distribución será simétrica.

Si As > 0 ? la distribución será asimétrica positiva.

Medida de Yule Bowley o Medida Cuartílica

Donde:

= Cuartil uno; = Cuartil dos = Mediana; = Cuartil tres.

Nota:

La Medida de Bowley varía entre -1 y 1

Si As < 0 ? la distribución será asimétrica negativa.

Si As = 0 ? la distribución será simétrica.

Si As > 0 ? la distribución será asimétrica positiva.

Medida de Fisher

Para datos sin agrupar se emplea la siguiente fórmula:

Para datos agrupados en tablas de frecuencias se emplea la siguiente fórmula:

Para datos agrupados en intervalos se emplea la siguiente fórmula:

Donde:

= cada uno de los valores; n = número de datos; = media aritmética; f = frecuencia absoluta

= cubo de la desviación estándar poblacional; xm = marca de clase

Nota:

Si As < 0 ?Indica que existe presencia de la minoría de datos en la parte izquierda de la media, aunque en algunos casos no necesariamente indicará que la distribución sea asimétrica negativa

Si As = 0 ? la distribución será simétrica

Si As > 0 ? Indica que existe presencia de la minoría de datos en la parte derecha de la media, aunque en algunos casos no necesariamente indicará que la distribución sea asimétrica positiva

Ejemplo ilustrativo:

Calcular el Coeficiente de Pearson, Medida Cuartílica y la Medida de Fisher dada la siguiente distribución: 6, 9, 9, 12, 12, 12, 15 y 17

Solución:

Calculando la media aritmética se obtiene:

Para calcular los cuartiles se ordena los datos de menor a mayor

Calculando el cuartil uno se obtiene:

Calculando el cuartil dos se obtiene:

Calculando el cuartil tres se obtiene:

Calculando la desviación estándar muestral se obtiene:

Calculando el Coeficiente de Pearson se obtiene:

Calculando la Medida de Bowley se obtiene

Calculando la desviación estándar poblacional se obtiene:

Calculando la Medida de Fisher se obtiene

Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:

Nota: El COEFICIENTE.ASIMETRIA(A2:A9) es un valor que tiene consideraciones semejantes a la Medida de Fisher

2) CURTOSIS O APUNTAMIENTO

La curtosis mide el grado de agudeza o achatamiento de una distribución con relación a la distribución normal, es decir, mide cuán puntiaguda es una distribución.

2.1) TIPOS DE CURTOSIS

La curtosis determina el grado de concentración que presentan los valores en la región central de la distribución. Así puede ser:

Leptocúrtica.- Existe una gran concentración.

Mesocúrtica.- Existe una concentración normal.

Platicúrtica.- Existe una baja concentración.

2.2) MEDIDAS DE CURTOSIS

Medida de Fisher

Para datos sin agrupar se emplea la siguiente fórmula:

Para datos agrupados en tablas de frecuencias se emplea la siguiente fórmula:

Para datos agrupados en intervalos se emplea la siguiente fórmula:

Donde: = cada uno de los valores; n = número de datos; = media aritmética; = Cuádruplo de la desviación estándar poblacional; f = frecuencia absoluta; xm = marca de clase

Nota:

Si a < 3 ? la distribución es platicútica

Si a = 3 ? la distribución es normal o mesocúrtica

Si a > 3 ? la distribución es leptocúrtica

Medida basada en Cuartiles y Percentiles

(letra griega minúscula kappa) = Coeficiente percentil de curtosis

Nota:

Si < 0,263 ? la distribución es platicúrtica

Si= 0,263 ? la distribución es normal o mesocúrtica

Si > 0,263 ? la distribución es leptocúrtica

Esta medida no es muy utilizada.

Ejemplo ilustrativo: Determinar qué tipo de curtosis tiene la siguiente distribución: 6, 9, 9, 12, 12, 12, 15 y 17. Emplear la medida de Fisher y el coeficiente percentil de curtosis.

Solución: Calculando la media aritmética se obtiene

Calculando la desviación estándar poblacional se obtiene:

Calculando la Medida de Fisher se obtiene:

Para calcular los cuartiles y percentiles se ordena los datos de menor a mayor:

Calculando el cuartil uno se obtiene:

Calculando el cuartil tres se obtiene:

Calculando el percentil 90 se tiene:

Calculando el percentil 10 se tiene:

Calculando el coeficiente percentil de curtosis se obtiene:

Como a= 2,23 y la distribución es platicúrtica

Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BENALCÁZAR, Marco, (2002), Unidades para Producir Medios Instruccionales en Educación, SUÁREZ, Mario Ed. Graficolor, Ibarra, Ecuador.

DAZA, Jorge, (2006), Estadística Aplicada con Microsoft Excel, Grupo Editorial Megabyte,

Lima, Perú.

SUÁREZ, Mario, (2004), Interaprendizaje Holístico de Matemática, Ed. Gráficas Planeta,

Ibarra, Ecuador.

SUÁREZ, Mario, (2011), Interaprendizaje de Estadística Básica

TAPIA, Fausto Ibarra, Ecuador.

Autor:

Mario Orlando Suárez Ibujes