Resumen
Se ha intentado verificar la proposición de Fermat para el caso de exponente n simple impar, mediante consideraciones basadas en la divisibilidad de los números, en el dominio de los números naturales, expresables de acuerdo con el teorema fundamental de la aritmética, como producto de factores simples enteros y positivos.
Proposición de Fermat
Si n es entero mayor que 2, no existen tres números enteros positivos, m, a, b, que verifiquen la ecuación,
Escolio 1.
La resolución de la ecuación de Fermat requiere que m – a divida a la potencia n-sima de un entero que sea diferencia de potencias de igual grado de los enteros m y a.
Las soluciones m, a, b, n de (1), que aquí se consideran, así como los valores numéricos de los símbolos que se emplean, son números de la clase de los enteros positivos, descomponibles según la forma canónica ordinaria y única, en monomios producto de potencias de exponente natural de factores simples enteros positivos, de acuerdo con el teorema fundamental de la aritmética, por lo que quedan excluidas todas las demás formas de factorización de los números naturales.
Basta considerar, como es sabido, los casos en que m, a y b son primos entre sí dos a dos y el exponente n igual a 4, o simple mayor que 2, que es el que se precisa probar, pues la proposición de Fermat es verdadera para n = 4.
La ecuación (1) puede ponerse bajo la forma
Proposición 1.
Proposición 2
De estas dos relaciones se obtiene,
y también,
Corolario 1.
Escolio 2.
Escolio 3
Hasta aquí se ha demostrado que si n es simple mayor que 2 y divisor de m – a, la proposición de Fermat es verdadera, pues en este caso, la solución de la ecuación (1) no estaría formada por tres enteros positivos primos entre sí dos a dos, (Proposición 1).
Se ha demostrado que si m – a es divisor de b o simple, la proposición de Fermat es verdadera, y sólo tiene solución la ecuación (1) en m, a, b enteros positivos, si n = 2 en virtud de la Proposición 2.
Se ha demostrado igualmente que para todo exponente entero n mayor que 2, b y m – a, no son primos entre si, (Escolio 1) y son primos con el simple n (Proposición 1) que, por tanto, no puede ser el factor común requerido para resolver la ecuación de Fermat.
Como el caso en que b es múltiplo de c implica que n es igual a 2, se debe considerar el supuesto en que b y c poseen un factor común distinto de c.
Proposición 3
Conclusión
Mediante métodos de álgebra elemental y criterios de divisibilidad de los números naturales en el dominio regido exclusivamente por el teorema fundamental de la aritmética, se demuestra que
Autor:
Juan Perez