Tabla 2: Los 100 primeros cuadrados
1 | 2 | 3 | 1A | 2A | 3A | 4 |
x | x2 | 2x-1 | x | x2 | 2x-1 | (2x-1)2 |
1 | 1 | 1 | 51 | 2601 | 101 | 1 |
2 | 4 | 3 | 52 | 2704 | 103 | 9 |
3 | 9 | 5 | 53 | 2809 | 105 | 25 |
4 | 16 | 7 | 54 | 2916 | 107 | 49 |
5 | 25 | 9 | 55 | 3025 | 109 | 81 |
6 | 36 | 11 | 56 | 3136 | 111 | 121 |
7 | 49 | 13 | 57 | 3249 | 113 | 169 |
8 | 64 | 15 | 58 | 3364 | 115 | 225 |
9 | 81 | 17 | 59 | 3481 | 117 | 289 |
10 | 100 | 19 | 60 | 3600 | 119 | 361 |
11 | 121 | 21 | 61 | 3721 | 121 | 441 |
12 | 144 | 23 | 62 | 3844 | 123 | 529 |
13 | 169 | 25 | 63 | 3969 | 125 | 625 |
14 | 196 | 27 | 64 | 4096 | 127 | 729 |
15 | 225 | 29 | 65 | 4225 | 129 | 841 |
16 | 256 | 31 | 66 | 4356 | 131 | 961 |
17 | 289 | 33 | 67 | 4489 | 133 | 1089 |
18 | 324 | 35 | 68 | 4624 | 135 | 1225 |
19 | 361 | 37 | 69 | 4761 | 137 | 1369 |
20 | 400 | 39 | 70 | 4900 | 139 | 1521 |
21 | 441 | 41 | 71 | 5041 | 141 | 1681 |
22 | 484 | 43 | 72 | 5184 | 143 | 1849 |
23 | 529 | 45 | 73 | 5329 | 145 | 2025 |
24 | 576 | 47 | 74 | 5476 | 147 | 2209 |
25 | 625 | 49 | 75 | 5625 | 149 | 2401 |
26 | 676 | 51 | 76 | 5776 | 151 | 2601 |
27 | 729 | 53 | 77 | 5929 | 153 | 2809 |
28 | 784 | 55 | 78 | 6084 | 155 | 3025 |
29 | 841 | 57 | 79 | 6241 | 157 | 3249 |
30 | 900 | 59 | 80 | 6400 | 159 | 3481 |
31 | 961 | 61 | 81 | 6561 | 161 | 3721 |
32 | 1024 | 63 | 82 | 6724 | 163 | 3969 |
33 | 1089 | 65 | 83 | 6889 | 165 | 4225 |
34 | 1156 | 67 | 84 | 7056 | 167 | 4489 |
35 | 1225 | 69 | 85 | 7225 | 169 | 4761 |
36 | 1296 | 71 | 86 | 7396 | 171 | 5041 |
37 | 1369 | 73 | 87 | 7569 | 173 | 5329 |
38 | 1444 | 75 | 88 | 7744 | 175 | 5625 |
39 | 1521 | 77 | 89 | 7921 | 177 | 5929 |
40 | 1600 | 79 | 90 | 8100 | 179 | 6241 |
41 | 1681 | 81 | 91 | 8281 | 181 | 6561 |
42 | 1764 | 83 | 92 | 8464 | 183 | 6889 |
43 | 1849 | 85 | 93 | 8649 | 185 | 7225 |
44 | 1936 | 87 | 94 | 8836 | 187 | 7569 |
45 | 2025 | 89 | 95 | 9025 | 189 | 7921 |
46 | 2116 | 91 | 96 | 9216 | 191 | 8281 |
47 | 2209 | 93 | 97 | 9409 | 193 | 8649 |
48 | 2304 | 95 | 98 | 9604 | 195 | 9025 |
49 | 2401 | 97 | 99 | 9801 | 197 | 9409 |
50 | 2500 | 99 | 100 | 10000 | 199 | 9801 |
Tabla 3: Ternas pitagóricas primitivas para números de 1 a 10.000
(n = número de orden; a = primer sumando; b = segundo sumando; c = resultado
Estos números están ordenados de modo que a < b. x representa un número entero impar, por lo que x2 siempre es impar.
El término (2x-1) siempre es impar y (x-1) es par, ya que es impar.
nº | a | b | c | Deriva de |
1 | 3 | 4 | 5 | x2 = (x-1)2 + (2x-1) |
2 | 5 | 12 | 13 | x2 = (x-1)2 + (2x-1) |
3 | 7 | 24 | 25 | x2 = (x-1)2 + (2x-1) |
4 | 8 | 15 | 17 | |
5 | 9 | 40 | 41 | x2 = (x-1)2 + (2x-1) |
6 | 11 | 60 | 61 | x2 = (x-1)2 + (2x-1) |
7 | 12 | 35 | 37 | |
8 | 13 | 84 | 85 | x2 = (x-1)2 + (2x-1) |
9 | 16 | 63 | 65 | |
10 | 20 | 21 | 29 | |
11 | 28 | 45 | 53 | |
12 | 33 | 56 | 65 | |
13 | 36 | 77 | 85 | |
14 | 39 | 80 | 89 | |
15 | 48 | 55 | 73 | |
16 | 65 | 72 | 97 |
Ternas primitivas obtenidas por compatibilidad
Si se analiza la última cifra de los números enteros que originan cuadrados, se constata que no hay cuadrados enteros racionales que terminen en 2, 3, 7, 8. (Tabla 4).
Tabla 4: Posibles terminaciones de los cuadrados enteros racionales
Última cifra: | Cuadrado (c2) última cifra: |
(_0)2 | (_0) |
(_1)2 | (_1) |
(_2)2 | (_4) |
(_3)2 | (_9) |
(_4)2 | (_6) |
(_5)2 | (_5) |
(_6)2 | (_4) |
(_7)2 | (_9) |
(_8)2 | (_4) |
(_9)2 | (_1) |
La frecuencia con que aparecen las terminaciones posibles, así como los números que elevados al cuadrado que las generan aparece en la Tabla 5.
Para los 100 primeros cuadrados, la frecuencia de aparición de la terminación se presenta en la Tabla 6, que contiene también las combinaciones de números que podrían generar ternas pitagóricas.
Tabla 5: Frecuencia de las posibles terminaciones de los
cuadrados enteros racionales
Última cifra (c2): | Frecuencia | Procede de: |
(_0) | 1 | (_0)2 |
(_1) | 2 | (_1)2; (_9)2 |
(_4) | 2 | (_2)2; (_8)2 |
(_5) | 1 | (_5)2 |
(_6) | 2 | (_4)2; (_6)2 |
(_9) | 2 | (_3)2; (_7)2 |
Tabla 6: Frecuencia y procedencia de la última cifra de los cuadrados
enteros racionales entre 1 y 10.000
Última cifra: | Frecuencia | Procede de: |
(_0) | 12 | (_0)2 |
(_1) | 7 | (_1)2; (_9)2 |
(_4) | 5 | (_2)2; (_8)2 |
(_5) | 18 | (_5)2 |
(_6) | 3 | (_4)2; (_6)2 |
(_9) | 7 | (_3)2; (_7)2 |
Total | 52 |
Como se ha probado, c2 debe ser impar. En la Tabla 7 se presentan todas las posibles combinaciones de cuadrados que en principio podrían generar ternas pitagóricas, ya que se incluyen combinaciones de cuadrados pares, que generan ternas pitagóricas derivadas. Es notable que las combinaciones que no pueden existir sean fácilmente eliminadas.
Tabla 7: Posibilidades de generar ternas pitagóricas
Cuadrado termina en | (_0) | (_1) | (_4) | (_5) | (_6) | (_9) |
(_0) | (_0) | (_1) | (_4) | (_5) | (_6) | (_9) |
(_1) | (_1) | (_2) | (_5) | (_6) | (_7) | (_0) |
(_4) | (_4) | (_5) | (_8) | (_9) | (_0) | (_3) |
(_5) | (_5) | (_6) | (_9) | (_0) | (_1) | (_4) |
(_6) | (_6) | (_7) | (_0) | (_1) | (_2) | (_5) |
(_9) | (_9) | (_0) | (_3) | (_4) | (_5) | (_8) |
De las 36 parejas posibles (6 x 6) se eliminan 8 sumas (c2) que terminan en 2, 3, 7, 8, quedando 28 grupos de dos. Ningún sumando puede estar repetido (2 no tiene raíz entera). Los cuadrados pares (terminados en 0, 4 y 6) no podrían pertenecer a ternas primitivas. Las parejas deben ser contadas sólo una vez. Persisten las posibilidades (_0) + (_1) = (_1); (_0) + (_5) = (_5); (0_) + (_9) = (_9); (_1) + (_4) = (_5); (_4) + (_5) = (_9); (_5) + (_6) = (_1), y (_6) + (_9) = (_5). Como las ternas pitagóricas primitivas están constituidas por dos números impares y un número par, siendo el número par siempre un sumando, la formula general es del tipo [par + impar = impar].
Esto conduce a que la tabla de compatibilidades se reduzca a:
Tabla 8: Compatibilidad entre terminaciones de cuadrados
para generar ternas pitagóricas
Cuadrado termina en | (_0) | (_4) | (_6) |
(_1) | (_1) | (_5) | (_7) |
(_5) | (_5) | (_9) | (_1) |
(_9) | (_9) | (_3) | (_5) |
De las combinaciones de la Tabla 8 se eliminaron las sumas (_1) + (_6) y (_4) + (_9) por dar cuadrados terminados en 7 y 3, que no son racionales. Si ahora se reemplaza el cuadrado por los números que la originan:
Tabla 9: Compatibilidad de cuadrados a partir de los números que los originan
(_0) | (_4) | (_6) | ||
(_0)2 | (_2)2; (_8)2 | (_4)2; (_6)2 | ||
(_1) | (_1)2; (_9)2 | (_1) | (_5) | (_7) |
(_5) | (_5)2 | (_5) | (_9) | (_1) |
(_9) | (_3)2; (_7)2 | (_9) | (_3) | (_5) |
Al hacer las sumas sugeridas en la Tabla 9, se obtienen 16 ternas pitagóricas primitivas y 16 ternas derivadas de las primeras, tal como se presentan en la Tabla 1 (columnas a, b, c para las ternas primitivas). Si se analizan las ternas pitagóricas primitivas obtenidas, dos combinaciones originan cuadrados que terminan en 1 (_1); tres combinaciones terminan en 3 (_3); seis combinaciones terminan en 5 (_5); tres terminan en 7 (_7) y dos terminan en 9 (_9), originando una distribución simétrica alrededor de la terminación 5 (_5). No todas las combinaciones compatibles de la Tabla 9 originan ternas pitagóricas en este rango.
Por otra parte, de los 100 primeros cuadrados, 10 terminan en 0 (_0), 20 terminan en 1 (_1); 20 terminan en 4 (_4); 10 terminan en 5 (_5); 20 terminan en 6 (_6) y 20 terminan en 9 (_9). Resulta curioso que una de las ternas derivadas menos frecuente sea terminada en 5, que es la terminación más frecuente entre las ternas primitivas.
Otro dato interesante es que más de la mitad (26) de los números impares no origina cuadrados que son la suma de otros dos cuadrados (uno par, el otro impar): 1, 3, 7, 9, 11, 19, 21, 13, 27, 31, 33, 43, 27, 49, 57, 59, 63, 67, 69, 71, 77, 79, 81, 83, 93, 99. La mayoría de estos números son primos y tres de ellos también son un cuadrado (9, 49, 81).
Todos los cuadrados terminados en 5 que son suma de otros dos cuadrados pertenecen a ternas pitagóricas. Los casos que tienen mayor número de soluciones también terminan en cinco.
Todos los cuadrados terminados en cero son la suma de otros dos cuadrados, y la mayoría deriva de la terna primitiva (3, 4, 5).
Como puede verse, los números pitagóricos son todavía una rica fuente de inspiración para las mentes inquietas.
Boyer C. B., Merzbach U. C. A History of Mathematics. John Wiley and Sons. New York. 1989.
Devlin K. Mathematics: The New Golden Age. Penguin Books. London. 1988.
Fraleigh J. B. Mainstreams of Mathematics. Addison-Wesley Publishing Company. Reading, Mass. 1969.
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Guedj, D. El Imperio de las Cifras y los Números. Ediciones B, S. A., Barcelona, 1998.
Heath T. A History of Greek Mathematics. Vol. 1. Dover Publications Inc., New York. 1981.
Kline M. Mathematics: The Loss of Certainty. Oxford University Press. Oxford. 1980.
Resnikof H. K., Wells Jr. R. O. Mathematics in Civilization. Dover Publications Inc., New York. 1984.
Deseo dedicar este trabajo a mis hijas Laura Elvira y Constanza Patricia, a quienes no les gusta la Matemática.
Dr. Enrique Morgado A.
Profesor de Fisiología y Fisiopatología
Universidad de Chile
Universidad de Santiago de Chile
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