Interacción de partículas cargadas con materia

Los procesos mas importantes de interacción de partículas cargadas con materia involucra los siguientes parámetros [1] , [2]:

El mecanismo de ionización se produce cuando una partícula cargada moviéndose en un material pierde energía cinética al interaccionar con los átomos del mismo. Esta interacción es de dos tipos, el primero es de naturaleza electromagnética y el segundo ocurre si en una colisión un electrón gana suficiente energía, de modo tal que el electrón se separa del átomo y pasa a un estado excitado, este proceso es llamado conversión interna.

Poder de frenamiento para partículas alfa

El poder de frenamiento, esta definido como la energía total perdida por la partícula cargada en un material por unidad de longitud de trayectoria recorrida, dada por la expresión:

(3)

Considere una partícula cargada que se mueve con velocidad v y carga Ze, que incide en un material de masa M, numero de masa atómica A, numero atómico Z y densidad (, y b es la distancia de la partícula al electrón con masa m, y considerando las siguientes hipótesis:

a) Para partículas cargadas con velocidades próximas a c (en donde c la velocidad la luz en el vació) las trayectorias en el material son líneas rectas y solo pierden energía por efectos de ionización; y para energías menores de 10 Mev El movimiento de las partículas cargadas esta gobernado por las leyes de la Mecánica Clásica y no son necesarias correcciones relativistas.

b) La velocidad de las partículas cargadas en el material es mucho mayor que la velocidad de los electrones en los átomos del material, lo cual es generalmente cierto.

El número de electrones N, en la cubierta de un cilindro simétrico de radio b y longitud x, se ilustra en la siguiente figura:

El momento del electrón que describe una trayectoria circular en la cubierta del cilindro simétrico esta dado por la siguiente expresión:

(4)

De manera tal que la energía del electrón a una distancia x esta dada por:

(5)

Auxiliándose de la figura anterior el calculo para dN resulta:

(6)

En donde:

es el número de electrones por unidad de volumen.

NA: es el número de Avogadro.

Combinando las expresiones (5) y (6) resulta que la energía perdida en el cilindro esta dada por:

(7)

Entonces la energía total perdida debido a las interacciones de la partícula incidente por unidad de trayectoria en la cubierta total del cilindro, entre un parámetro de impacto mínimo y máximo esta dado por la expresión:

(8)

Para el calculo de bmin y bmax se puede considerar el siguiente método clásico:

Bmin puede ser calculado considerando que la máxima velocidad que puede adquirir el electrón en una colisión es 2 v, es decir:

Considerando la relación anterior y la ecuación (5), resulta:

Despejando bmin de la relación anterior resulta:

(9)

bmax es calculado suponiendo que el electrón no esta libre cuando ocurre la colisión y la energía promedio de excitación es semejante a es decir:

De la ecuación anterior y la ecuación (5) se obtiene:

(10)

Considerando las ecuaciones (8), (9) y (10) resulta:

(11)

Para un tratamiento de la Mecánica cuántica la expresión anterior esta dada por:

(12)

Si se consideran correcciones relativistas (v ~ c) se obtiene:

(13)

En donde:

mo: es la masa en reposo del electrón.

c: es la velocidad de la luz

Por lo tanto el poder de frenamiento para partículas en el caso cuántico y dado que para partículas alfa, z = 2. De la ecuación (12) se obtiene:

(14)

Ahora el alcance R, se define como la distancia que recorre una partícula cargada desde que incide en el material hasta que su energía cinética es cero, el alcance y la energía de la partícula cargada están relacionados por las siguientes expresiones:

(15ª)

O bien:

(15b)

Para partículas alfa se tiene una relación empírica para R en términos de su energía, [3]:

Interacción de partículas beta con materia

Los mecanismos por los cuales los electrones pierden su energía al atravesar un material, es mas complicado que la energía perdida por otro tipo de partículas cargadas y esto se debe a lo siguiente, [3]:

i) Debido a su masa pequeña y altas velocidades ( v ~ c), es necesario considerar efectos relativistas.

ii) Al contrario de otras partículas cargadas, un electrón pierde gran parte de se energía cinética en una sola colisión por lo cual es difícil distinguir entre un electrón incidente y el electrón blanco.

iii) Las colisiones entre los electrones incidentes y los átomos del material en donde los electrones son desviados fuera del átomo con una perdida de energía, estas dispersiones múltiples complican la medición de la energía perdida por los electrones en el proceso.

iv) Un efecto importante debido a las altas velocidades de los electrones es la energía perdida por radiación (llamada Bremsstrahlung) puesto que incluso la energía perdida por ionización y excitación es despreciable comparada con la energía perdida por radiación.

Poder de frenamiento para partículas beta

Bremsstrahlung

Otro proceso que involucra perdida de energía en un material para partículas beta que es necesario considerar y se conoce como energía perdida por los electrones mediante radiación (Bremsstrahlung); Una partícula cargada radia energía electromagnética de acuerdo a la expresión [1]:

(18)

En donde:

a: es la aceleración de la partícula cargada.

Este efecto de radiación puede ser de consideración en el caso de electrones rápidos y posiblemente despreciable para cualquier otra partícula cargada.

La relación entre la energía perdida por radiación y la energía perdida por ionización esta dada por:

(19)

En donde:

La energía total perdida queda expresada por:

Espectro de energías para partículas beta

El espectro de distribución de energías para partículas beta corresponde a un espectro continuo simple; la teoría del espectro continuo simple de partículas beta se establece en términos de la teoría del neutrino de Fermi, en base a esta teoría se infiere [4]:

Para el calculo de la energía promedio del espectro de energías de partículas beta, representada por la expresión [4]:

(23)

Donde:

N (E): es el número de partículas con energía entre E y E + d E.

Considerando el hecho empírico que la energía promedio es aproximadamente una tercera parte del valor de la energía final Emax del espectro, es decir [4]:

(24)

De la ecuación (22) y (24), resulta:

(25)

Cálculo del alcance para partículas alfa y beta en un material de Poliestireno

Dado que en el caso particular del poliestireno, están dados los siguientes valores:

Bibliografía

1. Arya A.P. Fundamentals of nuclear physics, Alin & Bacon, 2a. Edition. (1964).

2. Birks J. B. The theory and practice of scintillation counting, M.C. Millan Company, (1974).

3. Knoll G.F. Radiation detection and measurement, John Willey and Sons N.Y. (1979).

4. Kaplan I. Nuclear Physics, (1962).

5. Handbook of Chemistry and physics 63RD Edition 1982-1983 CRC press.

Autor:

José Jesús Mena Delgadillo