Ernest Mach se decidió a intentar eliminar el espacio como una causa activa de todo el sistema de la Mecánica. De acuerdo con sus ideas, una partícula material no se mueve con un movimiento acelerado respecto al espacio sino con respecto al centro de todas las otras masas del universo.
En la física newtoniana, la razón de las masas de dos cuerpos en Mecánica se define de dos modos que difieren sustancialmente entre sí. Uno de ellos se refiere a que hace esa razón igual a la inversa de la razón de las aceleraciones que la misma fuerza motriz imprime a los dos cuerpos en cuestión. Sería la masa inerte. El otro modo de definir la razón de las masas es la de hacerla igual a la razón de las fuerzas que actúan sobre ellas en el mismo campo gravitatorio (masa gravitacional o ponderada). Por la experiencia de Eötvös (entre otras muchas), conocemos la igualdad de ambas masas, definidas de maneras tan diferentes, con una gran precisión.
A Einstein le llamó la atención tal circunstancia, cuando la Mecánica Clásica anterior a él, no ofrecía ninguna explicación convincente a tal eventualidad. Pues bien, Einstein elevó esta equivalencia a principio: el "principio de equivalencia". (Aunque realmente reserva este nombre a la equivalencia entre los sistemas de coordenadas K y K´; el segundo dotado de aceleración uniforme respecto a K. Todas las masas se comportan exactamente como si existiese un campo gravitatorio y K´ no poseyese aceleración).
Todo ello supone que a todos los efectos una "gravitación" es simplemente un movimiento (equivalencia); también, esas masas que "producen" gravitación, pueden ser sustituidas por un "cierto" movimiento, movimiento que queda prefigurado por una "trayectoria", por un espacio, por una geometría. O sea, podríamos sustituir enteramente las "fuerzas" (gravitación) por "variaciones" en la geometría. ¡Este es el mensaje profundo del principio de equivalencia!
Si se consideran sistemas de coordenadas que respecto de los inerciales están dotados de aceleraciones y de movimientos rotatorios, se llega al resultado de que el campo gravitatorio influye sobre las leyes métricas del continuo espacio-tiempo de la Relatividad Especial, y hasta las determina.
En presencia de un campo gravitatorio la geometría válida que rige la configuración de los cuerpos rígidos ideales es no euclidiana. Y el caso es análogo al que se presenta en el estudio bidimensional de superficies curvas.
Gauss resolvió todos estos temas, en su teoría de las superficies, introduciendo coordenadas curvilíneas que, además de satisfacer las condiciones de continuidad, eran arbitrarias por completo, aún cuando se hallaban relacionadas con las propiedades métricas de la superficie para la cual se usaban.
Y el punto más importante entre la teoría de Gauss de las superficies y la Relatividad General se halla en las propiedades métricas en las que se basan, sustancialmente, los conceptos de ambas teorías.
Como la geometría plana se fundamenta en el concepto de las distancias ds entre dos puntos "infinitamente próximos", con una apropiada elección de coordenadas cartesianas, esa distancia puede expresarse mediante la fórmula ds2= dx12+dx22. Sobre esta cantidad podemos basar los conceptos de línea recta, como geodésica (((ds = 0) del intervalo, del círculo y del ángulo, conceptos que forman los fundamentos de la Geometría euclidiana.
Puede desarrollarse otra Geometría sobre una superficie continuamente curvada, observando que una porción infinitamente pequeña de ella puede considerarse como plana con errores infinitesimales. Sobre esta porción pequeña existen coordenadas cartesianas x1, x2, y la distancia entre los puntos de ella será ds (ds2=dx12+dx22 ).
Utilizando coordenadas curvilíneas arbitrarias x1, x2 sobre la superficie, las dx1 y dx2 pueden expresarse linealmente en función de dx1 y dx2. Así que, para cualquier región de la superficie, tenemos:
ds2=g11dx12+2g12dx1dx2+g22dx22
, donde g11, g12 y g22 están determinados por la naturaleza de la superficie y la elección de coordenadas.
Si se conocen todas estas cantidades puede determinarse la manera de trazar sobre la superficie tales retículas. O sea, la geometría de las superficies puede basarse en la expresión dada para ds, exactamente del mismo modo como la Geometría plana está basada sobre la correspondiente expresión.
Las regiones espacio-temporales de extensión finita no son, en general galileanas, así que no puede eliminarse un campo gravitatorio mediante una elección conveniente del sistema de coordenadas. Sin embargo, el invariante ds2 (escrito ahora en las cuatro coordenadas de la Relatividad Especial) existe siempre para los puntos (sucesos) próximos del continuo. Ahora, ds2, puede expresarse en la forma:
ds2=guv dxu dxv
Las funciones guv describen, respecto del sistema de coordenadas arbitrariamente elegido, las relaciones métricas del continuo espacio-tiempo y también el campo gravitatorio. Hay que tener en cuenta, no obstante, que los elementos lineales que tienen el carácter de tiempo poseen un ds imaginario.
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