La transformada de Aspin Bubbles: ensayo de un complemento a la transformada de Galileo (página 2)
Enviado por Yoel Lana-Renault
¿Cuándo recibirá el observador que está en reposo en el sistema inercial S0 la señal del evento P?, y ¿Qué relación habrá entre sus coordenadas espaciales?
El observador que está en reposo en S recibirá la información un poco más tarde, y anotará que el evento P se produce en un tiempo t (reloj de S ) igual a:
Igualando ahora las relaciones (1) y (2), y llamando a:
Consecuencias:
Antes de proseguir, veamos varias consecuencias importantes:
1ª) Los intervalos de tiempo transcurridos entre dos eventos producidos en un mismo punto espacial P no son iguales para cada observador, dependen del sistema inercial elegido.
Veámoslo:
En un punto P de Sf se produce un suceso en el tiempo tf1 , luego, se produce otro suceso en el tiempo tf 2 .
"Los intervalos de tiempo se dilatan ó se contraen en función del valor de ? ".
Una primera aplicación de este resultado es considerar el periodo T de una onda electromagnética como un intervalo de tiempo, y automáticamente tenemos las fórmulas del Efecto Doppler longitudinal clásico.
"Las distancias medidas en un instante dado son iguales en cualquier sistema inercial".
3ª) La transformada cumple con el principio de la invariancia de la velocidad de la luz.
Veámoslo: si una onda luminosa esférica abandona el origen común (0, 00 y 0f) en t = t0 = tf = 0, la invariancia exige que para cualquier instante posterior se cumpla que la ecuación del frente de ondas sea la misma en ambos sistemas inerciales, es decir:
Por lo tanto, bastará para ello demostrar la invariancia de la función de onda, es decir:
Transformada de la velocidad y la aceleración
El punto P(xf, yf, zf ) en el sistema inercial Sf en un instante dado lleva velocidad uf de componentes:
Teniendo en cuenta que las componentes de a0 son:
Transformada de los campos eléctrico y magnético
Pues bien, aplicando esta última transformación para las fuerzas electromagnéticas (Lorentz) junto con las otras halladas, considerando que la carga q es invariante en cualquier sistema inercial y aplicando la técnica clásica de obtención de transformaciones de campos eléctrico y magnético (Ver por ejemplo "Introducción a la teoría especial de la relatividad" de Robert Resnick, Ed. Limusa, 1981) se obtiene la siguiente transformación de campos:
Las ecuaciones de Maxwell son invariantes en la forma
"La transformada deja invariantes las ecuaciones de Maxwell".
Invariancia de la fuerza de Lorentz
Comparación con la transformada relativista de Lorentz-Einstein.
Para poder comparar nuestros resultados con la transformada relativista de Lorentz- Einstein, tendremos que restringir el carácter general de nuestra transformada.
Para ello, hagamos que nuestro sistema inercial o laboratorio S0 lleve velocidad v0 = 0 , de tal forma que ahora los sistemas S y S0 son coincidentes en todo momento y el sistema inercial S f lleva la velocidad v f respecto a ambos sistemas.
Y para evitarnos subíndices innecesarios, eliminemos el subíndice 0 de todas las magnitudes del sistema S0 , sustituyamos también el subíndice f de todas las magnitudes del sistema S f por "prima" (S", x", y", z", etc.), y finalmente, denominemos en particular a la velocidad v f simplemente por la letra v.
Para comparar, coloquemos ahora a dos columnas los resultados de ambas transformadas.
Antes de proseguir, fijémonos en varios puntos:
1º) La asimetría de la componente x de la velocidad en nuestra transformada frente a la simetría de Lorentz-Einstein.
Se puede ver rápidamente de esta forma:
¿Por qué la componente ux de L-E no tiene el factor de corrección relativista 1/? ?
En nuestra transformada restringida, las tres componentes del vector velocidad u tienen el factor de corrección relativista 1/? .
Conceptualmente, al ser u'x = 0 , todos los puntos del sistema inercial S´ se mueven con velocidad v respecto del sistema S, y la información se transmite en ambas transformadas de S´ a S a la velocidad de la luz c, por lo tanto, la componente ux de la transformada de Lorentz-Einstein debería tener un factor de corrección relativista, entonces, ¿por qué no lo tiene? Tengamos en cuenta que en Aspin Bubbles el sistema S no sabe a que velocidad va el sistema S´ . La información de la velocidad v es exclusiva del sistema inercial S´.
La razón está en que en la obtención de la transformada relativista de Lorentz-Einstein se impuso directamente la condición de exigir simetría en las coordenadas cuando se invirtiesen los papeles de S y S´. ¿Es correcta esta restricción de simetría? Nosotros no la hemos exigido porque entendemos que cada sistema inercial tiene su papel, en S´ están siempre los eventos y las fuentes, e intentamos medir desde S dichos acontecimientos que están modificados porque la información de ellos se transmite entre los sistemas siempre a la velocidad de la luz c. Esto no quiere decir que no podamos invertir los papeles de S´ y S, es decir, despejar las componentes S´ en función de las de S; sí lo podemos hacer y los resultados son los mismos, siempre y cuando, tengamos la precaución de situar los eventos en S y la observación de los mismos en S´. Por lo tanto, este cambio de papeles no interesa.
Nuestra transformada es conceptualmente unidireccional, y lo que si podemos hacer es despejar las componentes S´ en función de las de S si queremos saber las magnitudes reales de un fenómeno físico que sucede en S´ visto desde nuestro puesto de observación S ó S0 , en donde medimos también magnitudes reales, pero que deberíamos decir magnitudes "aparentes", ya que todas ellas están modificadas por un factor de corrección relativista debido a que la información ó los efectos producidos por los eventos de S´, se han transmitido al sistema inercial S ó S0 a la velocidad de la luz c.
Continuemos con los resultados comparativos de ambas transformadas:
componentes del campo magnético B
Resumen conceptos en nuestra transformada general de S f
BIBLIOGRAFÍA
A. P. French. Special Relativity. W.W. Norton & Company, Inc., New York
A. P. French (1988). Relatividad especial. Editorial Reverté, S.A. Barcelona Robert Resnick (1968). Introduction to Special Relativity. John Wiley & Sons, Inc.
Robert Resnick (1981). Introduducción a la teoría especial de la Relatividad. Editorial Limusa, S.A. México.
Autor:
Yoël Lana-Renault
Departamento de Física Teórica. Facultad de Ciencias. Universidad de Zaragoza. 50009 – Zaragoza, España. mailto:yoelclaude[arroba]telefonica.net
Mí web: http://www.yoel-lana-renault.es/
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