La suma de dos nùmeros es 106 y el mayor excede al menor en 8. Hallar los dos nùmeros. Para resolver cualquier problema con las herramientas del ÀLGEBRA se recomienda seguir los siguientes pasos: 1.- IDENTIFICAR EL PROBLEMA (Tener una idea precisa de lo que debemos o queremos resolver) 2.- IDENTIFICAR LAS INCÒGNITAS (Asignar letras a las cantidades desconocidas) 3.- EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO (Construir ecuaciones utilizando nùmeros para las cantidades conocidas y letras para las cantidades desconocidas. Las letras seràn las indicadas en el paso anterior) 4.- RESOLVER EL PROBLEMA (Resolver la ecuaciòn o sistema de ecuaciones con la herramienta adecuada) 5.- COMPROBAR LOS RESULTADOS (Introducir los resultados obtenidos en las ecuaciones planteadas y verificar que se cumplen)
La suma de dos nùmeros es 106 y el mayor excede al menor en 8. Hallar los dos nùmeros. LEA CON DETENIMIENTO EL PROBLEMA 1.- IDENTIFICAR EL PROBLEMA (Tener una idea precisa de lo que debemos o queremos resolver) 2.- IDENTIFICAR LAS INCÒGNITAS (Asignar letras a las cantidades desconocidas) Se nos pide determinar o hallar dos nùmeros conociendo el producto de su suma y la diferencia de valor entre ambos. Identificado como ha sido el problema, debe tener claro que el mismo presenta dos incògnitas (2 nùmeros desconocidos), las “bautizamos” como: X = Nùmero menor. Y = Nùmero mayor. J. L. ALBORNOZ S
La suma de dos nùmeros es 106 y el mayor excede al menor en 8. Hallar los dos nùmeros. 3.- EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO (Construir ecuaciones utilizando nùmeros para las cantidades conocidas y letras para las cantidades desconocidas. Las letras seràn las indicadas en el paso anterior) La suma de dos nùmeros es 106: (Recuerde que los dos nùmeros fueron “bautizados” como “X” y “Y”) X + Y = 106 (1) El nùmero mayor excede al menor en 8 : ( El nùmero mayor fue “bautizado” como “Y” y el menor como “X”) Y = X + 8 (2) El problema queda reducido a un sistema de dos ecuaciones con dos incògnitas, situaciòn conocida y manejada por todos los estudiantes de este nivel. Verifique siempre que el sistema de ecuaciones planteado abarque totalmente la condiciòn del problema ING. JOSÈ LUIS ALBORNOZ SALAZAR
La suma de dos nùmeros es 106 y el mayor excede al menor en 8. Hallar los dos nùmeros. 4.- RESOLVER EL PROBLEMA (Resolver la ecuaciòn o sistema de ecuaciones con la herramienta adecuada) Existen tres mètodos para resolver un SISTEMA DE ECUACIONES, a saber: el mètodo de IGUALACIÒN, el mètodo de SUSTITUCIÒN y el mètodo de REDUCCIÒN. Para aclarar cualquier duda sobre sistemas de ecuaciones consulte las pàginas 321, 322, 323, 340 y 341 del ALGEBRA DE BALDOR. Con la hoja de càlculo EXCEL podemos resolver cualquier sistema de ecuaciones utilizando una de sus herramientas llamada SOLVER. Para facilitar el contenido didàctico de este trabajo se procederà a resolver este problema utilizando los tres mètodos indicados: ING. JOSÈ LUIS ALBORNOZ SALAZAR
MÈTODO DE S U S T I T U C I Ò N El problema quedò reducido a un sistema de dos ecuaciones con dos incògnitas: X + Y = 106 (1) Y = X + 8 (2) Como su nombre lo indica este mètodo consiste en SUSTUTUIR una ecuaciòn dentro de la otra, la forma màs fàcil consiste en escoger la ecuaciòn que presente una sola de las incògnitas de un lado de la igualdad y sustituir su valor en la otra ecuaciòn: Sustituyendo la ecuaciòn (2) en la ecuaciòn (1): X + (X+8) = 106 ; X + X + 8 = 106 ; 2X = 106 – 8 2X = 98 ; X = 98 ÷ 2 X = 49 Si X = 49 y Y = X + 8 ; Y = 49 + 8 Y = 57 ING.JOSÈ LUIS ALBORNOZ SALAZAR
MÈTODO DE R E D U C C I Ò N El problema quedò reducido a un sistema de dos ecuaciones con dos incògnitas: X + Y = 106 (1) Y = X + 8 (2) Este mètodo consiste en relacionar las dos ecuaciones y obtener una con una sola incògnita de manera que permita hacer un despeje sencillo. En este caso la ecuaciòn (2) puede ser indicada como – X + Y = 8 Sumando las dos ecuaciones: Generalmente dicha relaciòn se realiza efectuando la suma algebraica de las dos ecuaciones, para lo cual es necesario colocar las incògnitas en la misma secuencia dentro de la ecuaciòn, es decir: primero la X , despuès la Y, la igualdad y el termino independiente. X + Y = 106 – X + Y = 8 2Y = 114 ING. JOSÈ LUIS ALBORNOZ SALAZAR +
MÈTODO DE R E D U C C I Ò N Si Y = 57 y X + Y = 106 ; X + 57 = 106 X = 106 – 57 ; X = 49 2Y = 114 ; Y = 114 ÷ 2 ; Y = 57 Observe que los resultados son similares a los obtenidos con el mètodo anterior ING. JOSÈ LUIS ALBORNOZ SALAZAR
MÈTODO DE I G U A L A C I Ò N X + Y = 106 es equivalente a Y = 106 – X En este mètodo se procede a igualar las dos ecuaciones existentes para hallar una sola ecuaciòn con una incògnita y facilitar el despeje y determinaciòn de su valor. Para poder realizar el procedimiento señalado anteriormente es necesario que las ecuaciones presenten de alguno de los dos lados de la igualdad la misma incògnita en forma individual. Como la ecuaciòn (2) refleja el valor de “Y”, proceda a indicar la ecuaciòn (1) de manera similar: Igualando Y = 106 – X con la ecuaciòn (2) Y = X + 8 Tendremos que 106 – X = X + 8 ; 106 – 8 = X + X 98 = 2X ; X = 49 Si X = 49 y Y = 106 – X ; Y = 106 – 49 ; Y = 57 ING. JOSÈ LUIS ALBORNOZ SALAZAR
La suma de dos nùmeros es 106 y el mayor excede al menor en 8. Hallar los dos nùmeros. 5.- COMPROBAR LOS RESULTADOS (Introducir los resultados obtenidos en las ecuaciones planteadas y verificar que se cumplen) En los tres mètodos explicados el resultado obtenido fue el mismo: X = 49 ; Y = 57 La suma de dos nùmeros es 106 : 49 + 57 = 106 El nùmero mayor excede al menor en 8 : 57 = 49 + 8 ING. JOSE LUIS ALBORNOZ SALAZAR Al verificar que con estos dos valores se cumplen las condiciones del problema se concluye que los dos nùmeros buscados son 49 y 57
R E C U E R D E S I E M P R E QUE : Para resolver cualquier problema con las herramientas del ÀLGEBRA se recomienda seguir los siguientes pasos: 1.- IDENTIFICAR EL PROBLEMA (Tener una idea precisa de lo que debemos o queremos resolver) 2.- IDENTIFICAR LAS INCÒGNITAS (Asignar letras a las cantidades desconocidas) 3.- EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO (Construir ecuaciones utilizando nùmeros para las cantidades conocidas y letras para las cantidades desconocidas. Las letras seràn las indicadas en el paso anterior) 4.- RESOLVER EL PROBLEMA (Resolver la ecuaciòn o sistema de ecuaciones con la herramienta adecuada) 5.- COMPROBAR LOS RESULTADOS (Introducir los resultados obtenidos en las ecuaciones planteadas y verificar que se cumplen)
PROBLEMAS PROPUESTOS 1.- JOSÈ tiene 14 años menos que LUÌS y ambas edades suman 56 años. ¿Què edad tiene cada uno?. (R: 21 y 35) 2.- Se comprò un caballo y sus arreos por $600. Si el caballo costò 4 veces el precio de los arreos. ¿Cuànto costò el caballo y cuànto los arreos?. (R: 480 y 120) 3.- En un hotel de 2 pisos hay 48 habitaciones. Si las del segundo piso son la mitad que las del primero. ¿Cuàntas habitaciones hay en cada piso?. (R: 16 y 32)