Construcción de la constante pí (π) y su demostración a través de un teorema (página 2)
Enviado por Rodolfo A. Nieves Rivas
Todas estas líneas de investigación conducen a la solución de problemas análogos o equivalentes (unilateral y bilateralmente hablando) pero todos estos intentos han conducido solo a fracasos a quienes han intentado resolver el misterio que envuelve al mismo a tal punto que el mismo está colocado como uno mas de los problemas que no tienen solución y hasta lo han demostrado, llegando a decir que el mismo no tiene solución; por las condiciones impuestas al planteamiento de este problema, pues se exige el uso exclusivo de regla sin marcas y compás.
La línea de investigación que aquí presento consiste en "la construcción de pi con regla sin marcas y compás" y para esto solo necesito demostrar un teorema con el cual se confirma que el mismo es construible con estas herramientas. A través de la transformación de las líneas o vías hasta la fecha realizadas, conjugándolas por reducción en un problema análogo, donde intervienen los resultados principales que se han obtenido sobre el planteamiento original del problema de la cuadratura del círculo. El cual consiste en: "La construcción con el uso exclusivo de la regla sin marcas y el compás, de un cuadrado con área equivalente a un círculo, conocido su radio.
Para lograr esta afirmación la cual es el objetivo general de esta investigación se presentan varios problemas auxiliares por demostrar en función de determinar la hipótesis principal en el cual versa todo el desarrollo de la línea de investigación seleccionada, siendo la siguiente: "Construcción de la Constante pi (π) a través de la Demostración de un Teorema" la misma contendrá la siguiente metodología:
- Formulación de una serie de enunciados (lemas) que permitan desarrollar una construcción básica donde se demostrará el teorema.
- Una vez construida dicha constante se realizará un análisis de todos y cada uno de los elementos que intervienen en la construcción básica.
- Y por último se realiza una demostración definitiva a través del planteamiento de un problema por resolver (análogo)
PROBLEMA POR RESOLVER: (Con Regla sin Marcas y Compás)
DADOS DOS SEGMENTOS DE RECTAS AO y OB= 2AO ORTOGONALES EN EL PUNTO O y CON CENTRO EN EL PUNTO O CONSTRUIDA UNA SEMI-CIRCUNFERENCIA AMC CUYO RADIO SEA IGUAL A EL SEGMENTO OA; "DETERMINAR UN PUNTO P EN EL SEGMENTO AO DONDE CENTRAR EL COMPAS y CON ABERTURA PO CONSTRUIR UN ARCO OE PARA OBTENER UN PUNTO R EN LA INTERSECCION DE LOS ARCOS AM Y OE" DE FORMA TAL QUE LOS PUNTOS P; R y B QUEDEN ALINEADOS (CORRECTALES)
CUMPLIENDO LAS SIGUIENTES CONDICIONES:
C:1 – QUE EL PUNTO P ESTE EN EL SEGMENTO AO
C:2 – QUE EL PUNTO R ESTE EN LA INTERSECCION DE LOS ARCOS AM y OE
C:3 – QUE EL PUNTO M ESTE EN EL CENTRO DEL SEGMENTO OB
C:4 – QUE LOS PUNTOS P; R y B QUEDEN ALINEADOS (CORRECTALES)
C:4 – QUE LOS SEGMENTOS AO = OR = OM = OC = MB
C:5 – QUE LA PERPENDICULAR A AMBOS LADOS DEL PUNTO M DETERMINE LOS
PUNTOS G; H y U y DICHA PERPENDICULAR SEA PARALELA AL SEGMENTO AC
C:6 – QUE LOS SEGMENTOS GP = GH = GB = GU = GO
C:7 – QUE LOS SEGMENTOS HB = HR = HO = HD
C:8 – QUE LA PERPENDICULAR DEL PUNTO R AL CORTAR LA PROLONGACION DEL
SEGMENTO DE RECTA AC DETERMINE EL PUNTO D SIENDO OD = RB y PB = PD
DE FORMA TAL QUE CON EL COMPÁ S CENTRADO EN EL PUNTO P Y ABERTURA
PB CONSTRUIR LOS ARCOS BD Y BF Y LA SEMI-CIRCUNFERENCIA FBD.
C:9 – QUE LA PERPENDICULAR RD SEA IGUAL AL SEGMENTO DE RECTA OB Y SU
PUNTO DE INTERSECCION SEA EL PUNTO I (ORTOCENTRO) DEL TRIANGULO
OBD
DEMOSTRAR:
P1.- QUE EL PUNTO P ES EL UNICO
P2.- QUE EL ANGULO BPO ES UNICO
P3.- QUE EL SEGMENTO OD ES IGUAL A 2 / π
P4.- QUE LA SUMA DE LOS SEGMENTOS PO + PB = π / 2
P4.- QUE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO G y RADIO GB PASA POR LOS PUNTOS
P; H; B; U y O
P5.- QUE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO H y RADIO HB PASA POR LOS PUNTOS
B; R; O y D
P6.- QUE EL AREA DEL SEMI-CIRCULO DE RADIO HB = HD y DIAMETRO BD ES IGUAL
AL AREA DEL TRIANGULO BPD
P7.- QUE EL AREA DEL CIRCULO DE RADIO OM y DIAMETRO OB ES IGUAL AL AREA
DEL TRIANGULO BOF
P8.- QUE EL SEGMENTO BF ES LA RECTIFICACION DE LA SEMI-CIRCUNFERENCIA BD
P9.- QUE EL SEGMENTO HP ES LA RECTIFICACION DE LA SEMI-CIRCUNFERENCIA
BD / 2
P10.- QUE EL SEGMENTO UM ES LA RECTIFICACION DEL ARCO AM
P11.- LA SOLUCION DEFINITIVA DE LA CUADRATURA DE CIRCULO
TEOREMA: SI EL ARCO COMPRENDIDO ENTRE LOS DOS LADOS IGUALES DE
UN TRIANGULO ISOCELES ACUTANGULO PASA POR EL
ORTOCENTRO DE DICHO TRIANGULO Y ADEMAS PASA POR LOS
PUNTOS MEDIOS DE DICHOS LADOS IGUALES ENTONCES LA
SUMA DE LAS DOS TANGENTES DE LOS ANGULOS OPUESTOS A
LOS DOS LADOS ADYACENTES A LA BASE ES IGUAL A Pí (π)
DEMOSTRACION
SEAN: PH ; RD ; OB = ( ALTURAS ) DEL TRIANGULO PBD
DONDE: RD = OB (DOS ALTURAS IGUALES)
Y: RD OB PH (SE INTERCEPTAN EN EL ORTOCENTRO) (PUNTO I)
Y SI: GJ I (EL ARCO GJ INTERCEPTA AL PUNTO I)
DONDE: PJ = JD = PG = GB (J y G SON LOS PUNTOS MEDIOS DE PD y PB)
Y: Tang < PDB = Tang < PBD (ANGULOS CON VERTICES EN D y B)
DONDE: (DB = BASE)
ENTONCES: Tang < PDB + Tang < PBD = π
ANALISIS
TRIANGULO: POB TRIANGULO: BOD
LADOS: PO = 0,46708828… LADOS: OD = 0,636619772…
OB = 1 OB = 1
PB = 1,10370805… DB = 1, 185447061…
ANGULOS: BPO = 64°96327305… ANGULOS: BPO = 57°51836347…
OBP = 25°03672695… DBO = 32°48163653…
POB = 90° DOB = 90°
PROBLEMA POR DEMOSTRAR: DEMOSTRAR QUE EL SEGMENTO OD ES IGUAL A 2 / π
OD = 0,636619772… (POR HIPÓTESIS)
OB = 1 (POR CONDICIÓN)
BOD = 90° (POR CONDICIÓN) (perpendicular y rectángulo)
OD = Tang DBO (POR HIPÓTESIS) (POR LO ANTERIOR)
DBO = 32°48163653… (POR HIPÓTESIS) (POR LO ANTERIOR)
180° – (BOD + DBO) = ODB (SUMA DE ANGULOS INTERNOS) (POR DESPEJE Y DEDUCCIÓN)
ODB = 57°51836347… (POR LO ANTERIOR)
OB2 + OD2 = DB2 (POR PITAGORAS)
__________
√OB2 + OD2 = DB (POR PITAGORAS)
DB = 1,185447061… (POR LO ANTERIOR)
DHP = 90° (POR CONDICIÓN: perpendicular rectángulo)
180° = DHP + ODB + HPD (POR SUMA DE Á NGULOS INTERNOS)
180° – (DHP +ODB) = HPD (POR DESPEJE)
DBO = 32°48163653…POR LO ANTERIOR)
BPD = ISOCELES (POR SIMETRÍA HD = HB) y (PB = PD)
HPD = HPB = DBO (POR DEDUCCIÓN)
OBD + OBP = PDB (POR DEDUCCIÓN)
DPB = 2HPD = 2HPB (POR DEDUCCIÓN)
OBP = PBD – OBD = (180° – (POB + OPB)
OBP = 25°03672695 = (180 – (POB + 2HPD)
= (180 – (POB + 2HPB)
PO = Tang OBP
PO = 0,46708828…
_________
PO + OD = PR + RB = √PO2 + OB2 = PB (POR PITAGORAS)
PB = 1,10370805… (POR LO ANTERIOR)
_________
√PO2 + OB2 – PO = OD = 2 / π = 0,636619772…=RB
2 /π = PB -PO = RB = OD L.Q.Q.D.
PB + PO = π/2 L.Q.Q.D.
2 (PB + PO) = π L.Q.Q.D.
π / 2 . 2 / π = 1
RESULTADOS
El resultado de esta investigación es parcial y es mi deber aclarar que solo se demostró la construcción de pi (π) y se realizó un análisis al teorema del cual se obtiene su determinación. Pues el mismo pertenece a una cadena de problemas por demostrar y problemas por resolver los cuales requieren de la aprobación de varios métodos que me pertenecen tales como METODO PARA INTERPOLAR Y EXTRAPOLAR "n" SEGMENTOS DE RECTAS ENTRE UN SEGMENTO DE RECTA ARBITRARIO DADO OX y UN SEGMENTO DE RECTA UNIDAD COMUN ARBITRARIO OU (INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN DE "n" MEDIOS GEOMETRICOS ó "n" MEDIOS PROPORCIONALES) (CON EL USO EXCLUSIVO DE REGLA SIN MARCAS Y COMPÁ S) y METODO PARA MULTIPLICAR UN SEGMENTO ARBITRARIO JO POR UN SEGMENTO ARBITRARIO OX TENIENDO AMBOS UNA UNIDAD COMUN OU y SU DEMOSTRACIÓN UTILIZANDO EL METODO PARA LA INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN DE SEGMENTOS PROPORCIONALES POR ITERACIÓN CON REGLA SIN MARCAS Y COMPÁ S (HORIZONTAL y EN ESPIRAL) así como el METODO PARA DIVIDIR UN SEGMENTO DE RECTA OX ENTRE OTRO SEGMENTO DE RECTA OJ y (OJ entre OX) ARBITRARIOS DADA UNA UNIDAD COMUN y ARBITRARIA (CON REGLA SIN MARCAS Y COMPÁ S) entre otros.
Los cuales presentaré en futuras monografías, en este mismo compendio monográfico y además se presentarán varios teoremas originales y varios problemas por resolver. Dentro de estos están las condiciones necesarias para confirmar que si tienen solución los problemas clásicos de la geometría, como lo son: La cuadratura del circulo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo, cerrando este capitulo en la historia de la geometría superior y abriendo un nuevo episodio en el quehacer científico actual pues este es solo el comienzo.
BIBLIOGRAFIA
www.filosofia.org/enc/ros/demos.htm
www.filosofia.org/enc/ros/conv.htm
es.wikipedia.org/wiki/Enunciado
wikipedia.org/wiki/Metodología
www.rainforest-alliance.org/tourism.cfm
bivir.uacj.mx/dia/acreditacion/archivosdescarga/GLOSARIO%20actualizado%20sept%2002.doc
es.wikipedia.org/wiki/Mediatriz
es.wikipedia.org/wiki/Radián
es.wikipedia.org/wiki/Ortocentro
en.wikipedia.org/wiki/Coplanar
wikipedia.org/wiki/Racionalidad
www.um.es/docencia/pherrero/mathis/grecia/grec.htm
El Gran Saber Larousse. Enciclopedia Tomo IV. Editorial Santiago Limitada Revista Bohemia. 1989
Autor:
Rodolfo A. Nieves Rivas
Investigador Independiente
Matemática-Física y Biología
Tinaquillo- Cojedes
Venezuela
Participante en la I Jornada Para la enseñanza de la matemática 1995
Universidad Nacional Experimental de los Llanos Ezequiel Zamora (Unellez)
Ponente en XVII Jornada de Investigación y I de Postgrado de Unellez Cojedes
Trabajos Realizados:
Método Para la Interpolación de Segmentos Proporcionales por iteración con regla sin marcas y compás entre otros
Trabajo realizado en: Venezuela Julio 2008
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