El grupo cociente (página 2)

?1 😕 ?2 ?3 ?2 😕 ?2 ?1 ?0 😕 ?2 ? 2 ?1 😕 ?2 ?3 ?2 😕 ?2 ? 2 ?3 😕 ?2 ?1 El grupo cociente Lic. Ellis R. Hidalgo M. Piura, Nov. 2009 4 elemento de G entiéndase n1g ? gn2 , es decir, pueden cambiar de nombre pero no dejan N . Por otro lado, las clases laterales izquierdas obtenidas a partir de N coinciden con las clases derechas lo cual permite una de las construcciones más simples en la teoría de grupos. Nota 04.- Un isomorfismo es una sobreyección entre dos grupos, ?:G ?G', que cumple la condición ??ab? ???a???b?, cuando G'?G se le denomina automorfismo. Ejemplo: Consideremos el grupo simétrico de grado tres S3 . Recordemos que el grupo simétrico de grado n denotado Sn ó A?S? es el grupo de todas las aplicaciones inyecticas del conjunto S sobre si mismo, con card(S) ? n , cuyos elementos son denominados permutaciones. En el caso S3 tomaremos S ??1,2,3?, ya que es posible hacer una comparación maravillosa entre los elementos de S3 y las permutaciones de los vértices de un triángulo 1,2 y 3, llamaremos ?i a las rotaciones de equilátero. Si consideramos un triángulo equilátero de vértices 120º del triángulo. Así se tiene que: 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 Posición inicial rota 120º rota 240º rota 360º Obteniéndose las rotaciones sucesivas ?i :S ?S dadas por: ?1? 2 ? ?3?1 ? ?1?3 ? ?3? 2 ? ?1?1 ? ?3?3 ? A las reflexiones de dos vértices respecto de la bisectriz del tercer vértice del triángulo las llamaremos ?i de modo que: 1 2 2 3 3 ? 1 1 2 3 3 ? 1 1 2 2 3 ? Se han generado las aplicaciones ?1?1 ? ?3? 2 ? ?1?3 ? ?3?1 ? ?1? 2 ? ?3?3 ? El poder identificar los elementos de S3 con las aplicaciones definidas anteriormente se debe a la poderosa idea de isomorfismo, a través del cual dos conjuntos son indistinguibles desde el punto de vista algebraico. La tabla obtenida al realizar todas las posibles “multiplicaciones” entre los elementos de S3 se muestra más abajo. Debe aclararse que la operación de grupo adecuada es la composición de aplicaciones la cual se define como ?? ?? ? , ??,? ?S3.

?i ? ?i . g ng?N1 Debemos verificar que se cumple la condición g Ng ? N ? El grupo cociente Lic. Ellis R. Hidalgo M. Piura, Nov. 2009 5 Por ejemplo: Sean ?1,?2 ?S3 entonces ?1?2 ? ?2 ?1, así se tendrá que: ??2 ?1??1? ? ?2??1?1?? ? ?2?1? ?3, de modo que 1?3 ??2 ?1??2? ? ?2??1?2?? ? ?2?3? ? 2, de modo que 2?2 ??2 ?1??3? ? ?2??1?3?? ? ?2?2? ?1, de modo que 3?1 Podemos ver que se ha generado la aplicación ?2 . La tabla para el grupo será: ?0 ?1 ?2 ?1 ?2 ?3 ?0 ?1 ?2 ?1 ?2 ?3 ?2 ?0 ?1 ?2 ?3 ?1 ?1 ?2 ?3 ?0 ?1 ?2 ?1 ?2 ?0 ?3 ?1 ?2 ?0 ?1 ?2 ?1 ?2 ?3 ?2 ?3 ?1 ?2 ?0 ?1 ?3 ?1 ?2 ?1 ?2 ?0 De la tabla se puede deducir que: El elemento identidad es ?0 y la inversa de una rotación es otra rotación de 360º en sentido horario, además las inversas de las reflexiones son las misma reflexiones ?1 * Consideremos el subgrupo N1 ???0,?1?, ¿será N1 S3? ?1 Tomemos ?2 ?S3 ??2?1??1??2 ? ?2??1??2 ? ?2??1?2? ??2??2???3?N1, por lo tanto ?1 * Ahora sea el subgrupo N2 ???0,?1,?2?, ¿será N2 S3 ? Podemos verificar fácilmente que ?i?1??1??i ? ?i??1??i ? ?i??1?i? ? ?i?? j? ? ?2 ?N2 , para i ? j ?i?1??2??i ? ?i??2??i ? ?i??2?i? ? ?i?? j? ? ?1?N2, para i ? j ?i?1??0??i ? ?i??0??i ? ?i??0?i? ? ?i??i? ? ?0 ?N2 ?1 Teorema 02.- N G si y sólo si toda clase lateral derecha de N es una clase lateral izquierda.

Demostración: ?1 ?1

?1 ??? Si Ahora si g?G, además gN ? Ng para alguna clase Ng g ? ge? g?gN ? g?Ng , también g ?eg ? g?Ng pero según el teorema 01 Ng ? Ng . Por lo tanto Ng ? gN evidentemente se tiene que las clases son disjuntas, así ?1

Lic. Ellis R. Hidalgo M. Piura, Nov. 2009 6 El grupo cociente

Hasta aquí hemos visto que un grupo puede ser dividido en celdas, ¿será posible operar con estas celdas?

DEFINICIÓN 04: Sea N G y sean Na y Nb clases laterales de N definimos el producto de clases laterales (derechas) como ?Na??Nb? ? Nab. Veamos si este producto está bien definido, es decir, que si elegimos cualquier par de representantes de ambas clases el producto siempre está en la misma clase lateral (derecha en este caso). Sean a',a''?Na y b',b''?Nb se debe probar que a'b'?Nab y a''b"?Nab ó lo que es lo mismo a'b'? a"b"(modN). Se tiene que, si a'?Na ?a'? n1a'', b'?Na ?b'? n2b" luego a'b'??n1a"??n2b"? ? n1?a"n2?b", pero por el teorema 02 Na ? aN , así ?1 n n

Nota 05.- En el caso de emplear la notación aditiva, que es reservada para grupos abelianos, G ??G,??, la operación de clases se escribiría ?N ?a???N ?b? ? N ?a?b .

Ya tenemos los elementos necesarios construir nuestro grupo, pues hablar de grupo implica tener un conjunto (como el conjunto de clases laterales derechas o bien izquierdas), ¡ya lo tenemos! y una operación binaria ¡ya la definimos! , ¿Podemos formar un grupo? veamos:

GRUPO COCIENTE Teorema 03.- Si N G y sea el conjunto G/ N ???g?/ g?G???Ng / g?G?, entonces G/ N es un grupo bajo la operación ?Na??Nb? ? Nab.

Demostración: Ya se probó que la operación inducida está bien definida. La asociatividad es inmediata, si Na,Nb yNc son elementos de G/ N de ahí que ?Na??NbNc? ? Na?Nbc? ? Na?bc?, y por otro lado ?NaNb??Nc? ? Nab?Nc? ? N?ab?c, pero por la asociatividad en G tenemos que a?bc? ??ab?c, de modo que se cumple la ley asociativa para clases. Por otro lado afirmamos que Ne ? N es el elemento identidad del grupo, pues es fácil verificar que NaNe ? Nae ? Na y NeNa ? Nea ? Na. Esto debe entenderse como si en la clase Ne ? N todos los elementos de N se convierten en "e". Finalmente el inverso para cada elemento de G/ N viene dado por ?Na? ?1 ? Na?1. Por lo tanto G/ N es un grupo llamado grupo factor de G módulo N ó grupo cociente de G por N . Nótese que la definición de G/ N se hace para clases derechas, igualmente resulta si se hace para clases izquierdas.

Debe quedar claro que la idea de subgrupo normal es aquí primordial, puesto que para cualquier subgrupo H de G el conjunto de clases laterales derechas o izquierdas no siempre será un grupo con la operación inducida como podemos ver en el:

??0 1 2? Lic. Ellis R. Hidalgo M. Piura, Nov. 2009 7 Ejemplo: Sea El grupo cociente

H ???0,?1?, como vimos anteriormente no es subgrupo normal, si hallamos las clases laterales derechas de H obtenemos tres: H?1 ???1,?3?, H?2 ???2,?2? y el mismo H ???0,?1? ¿el conjunto ?H?1,H?2,H?0? será grupo?… No. Ya que la operación no es cerrada como se ve fácilmente: H?1H?2 ? H?1?2 ? H?0 ? H , o sea, si tomamos elementos de clases diferentes de H su producto debe estar en H , pero ?3?2 ? ?1?H .

Podemos resumir que: si un grupo es dividido en celdas, o mediante las clases laterales generadas a partir de determinado subgrupo o mediante una relación de equivalencia congruente con determinado subgrupo, no obstante estas celdas se operan empleando la operación heredada del grupo; entonces este nuevo conjunto será un grupo siempre y cuando el subgrupo empleado sea normal o invariante.

¿Quién es G/ N ?…no es más que un reagrupamiento de los elementos de G de modo que es posible pensar en una relación entre ambos grupos…un homomorfismo (lo tratamos brevemente más adelante y conlleva a una idea capital: la de isomorfismo). De ser G finito se tiene que el número de elementos de G/ N es G / N como es fácil demostrar.

Ejemplo: Si volvemos al grupo simétrico S3 y consideramos el subgrupo normal N ???0,?1,?2?, ¿quién será S3 / N ?, ¿cómo se divide S3 a partir de este subgrupo?, ¿Cuáles son las clases laterales de N ?, vemos que las clases laterales son: N?1 ? N?2 ? N?0 ? N , por otro lado N?1 ? N?2 ? N?3 ???1,?2,?3? así S3 se divide en dos clases la clase de las rotaciones ?i y la clase de las reflexiones ?i . S3 S3/N ,? ,?

??1,?2,?3? ?0 ?2 ? 1 ?2 ?1 ?3 ? Se observa a simple vista que S3 ? 6, N ?3luego S3 / N ? S3 / N ?6/3? 2 . Ejemplo: Si consideramos el grupo infinito ? ,?? , recordemos que en un ejemplo anterior vimos que la congruencia módulo 3 en a divide a en tres subconjuntos. Tomemos el subgrupo normal ?3 ,?? (el grupo formado por los múltiplos de 3) entonces las clases laterales, con la notación aditiva, que se obtienen a partir de este subgrupo serán solo tres: ???0? 3 ?0??3m?0?3m /m? 3 ?1??3m?1 /m? ???1? 3 ?2??3m?2 /m? ???2? De modo que las clases laterales son exactamente las clases de equivalencia que obtuvimos anteriormente.

.. … 8. 7 ? 5, 4, 2, , ? 1 ? ?3 ? ?9 El grupo cociente Lic. Ellis R. Hidalgo M. Piura, Nov. 2009 8 Siendo así, el grupo cociente /3 tiene sólo tres elementos: ??0?,?1?,?2?? ?12 5 ?55 11 3 ?1 6 73 ?14 ?5 4 … 0 ?2,?5,?8… 0, , 6, …

1, 4, 7… ? /3 HOMOMORFISMOS

La relación existente entre el grupo inicial G y el grupo resultante G/ N viene dada matemáticamente a través de una transformación llamada homomorfismo, idea que analizamos a continuación: Sea una transformación, digamos ? , entre dos grupos G y G' con sus respectivas operaciones, es decir, un g?G es transformado en g'???g??G' vía ? . Ahora, si a,b?G es posible hablar de ab?G del mismo modo que se debe tener ??a???b??G'. Si exigimos para cualquier par se cumpla ??ab? ???a???b? (la transformación ? preserva la operatividad de a y b para sus imágenes), entonces a ? se le llama homomorfismo. Una definición formal será:

DEFINICIÓN 05: Sean los grupos ?G,*? y ?G',?? se llama homomorfismo a la transformación ?:G ?G' que satisface ??a*b? ???a????b?, para cualquier a,b?G. Ejemplo: Sean ? ,?? y ?5 ,?? grupos bajo la suma usual, la transformación ?: ?5 dada por ?(n) ?5n es un homomorfismo, ya que ?(n?m) ?5(n?m) ?5n?5m??(n)??(m) Teorema 04.-Si N G entonces existe un homomorfismo ? de G sobre G/ N . Para la demostración del teorema se necesita definir la transformación ? , la cual existe naturalmente como se ve en los dos últimos ejemplos de grupo cociente. Así ?:G ?G/ N dado por ??a? ??a?. Luego ??ab? ??ab???a??b?? ??a???b?. DEFINICIÓN 06: Se llama kernel de un homorfismo ?:G ?G', denotado Ker? , a todos los elementos de G cuya imagen bajo ? sea el elemento identidad e' de G', así:

Ker? ??g?G/ ?(g) ?e'? ? Ker? e' G G'

El grupo cociente Lic. Ellis R. Hidalgo M. Piura, Nov. 2009 9 Ejemplo: De acuerdo con el teorema 04 podemos definir ?: ? /3 , digamos ?(n) ??n?, ¿quién será Ker? ? Por definición Ker? ??k? / ?(k) ??0??, ya que el elemento identidad de /3 es ?0?, luego ?(k) ??0???3m/m? ???3m?, entonces k ?3m? Ker? ??3m/m? ??3 que maravilla, el kernel del homomorfismo es el subgrupo normal que “genera” al grupo cociente. Esto queda justificado en los siguientes teoremas: Teorema 05.- Si ?:G ?G' es un homomorfismo y H es un subgrupo de G , entonces ??H? ???(h), ?h?H? es subgrupo de G'. Nota 06.- Se demuestra fácilmente que ?(e) ?e' y ?1 ?(g?1) ???(g)? , en este sentido los homomorfismos son las transformaciones que preservan la estructura algebraica de grupo. Teorema 06.- Si ?:G ?G' es homomorfismo, entonces Ker? G . Demostración: Si k1,k2 ?Ker? ? ?(k1) ??(k2) ?e'. Así ?(k1k2) ??(k1)?(k2) ?e'e'?e', ??k1k2??Ker? Hemos probado la cerradura en Ker? , ahora empleando un conocido teorema, sean ?1 ,k ?1 ?1

Finalmente, hemos visto que G y G/ N están relacionados (teorema 04). Además puesto que el núcleo (kernel) de cualquier homomorfismo es un subgrupo normal (teorema 06) podemos construir el grupo cociente G/K donde K representa el kernel. Así existe un homomorfismo ? :G ?G/K , K ? Ker? . G/ K

por definición está relacionado con

G/ K ?

K

?:G ?G'

?

K G

Por otro lado, el kernel de un homomorfismo G', precisamente con e'??(e)???G? G

? G' ??G?

Lic. Ellis R. Hidalgo M. Piura, Nov. 2009 10 Nos preguntamos ¿existirá alguna relación entre El grupo cociente

G/K y ??G? ?…Por supuesto, la relación viene dada por el teorema siguiente, donde empleamos la idea de isomorfismo (un homomorfismo que además es una biyección) que nos indica que dos estructuras algebraicas (grupos) son idénticas salvo por el nombre de sus elementos y la forma de operar a sus elementos. En el gráfico anterior vale preguntar cómo son ??G? y G', ¿serán iguales? Teorema Fundamental del homomorfismo.- Si ?:G ?G'es un homomorfismo y K ? Ker? , entonces existe un isomorfismo canónico del grupo ??G? sobre G/K . Aquí la palabra canónico debe entenderse como natural, existencia evidente. Para la demostración se define naturalmente la transformación ? :G/K ???G? como ??Ka? ??(a), generando G ??G? ? ? ? Del diagrama se obtiene la factorización G/ K

? ??? . Esperamos haber cumplido con nuestro objetivo, rogamos a los estudiantes en quienes caiga esta monografía no dejar de maravillarse con las matemáticas puras.

Referencias: ?

?

? Herstein I. N.

Fraleigh Jhon B.

Adilson Goncalves “Álgebra Abstracta” Grupo Editorial Iberoamericana, México 1988

“Álgebra Abstracta” Addison-Wesley Iberoamerica, México 1988

“Introducao à álgebra” IMPA, Brasil 1999. Algunos enlaces en la Web:

http://docentes.uacj.mx/gtapia/Moderna/Contenido/Unidad%20III/NORMALES%20Y%20C OCIENTE.htm

http://www.monografias.com/trabajos57/grupo-sobre-conjunto/grupo-sobre-conjunto2