Definición
Las cónicas son curvas planas obtenidas mediante la intersección de un cono con un plano. El ángulo que forman el plano y el eje del cono, comparado con el ángulo que forman el eje y la generatriz del cono determina las distintas clases de cónicas. Se clasifican en tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas.
Hay varias formas de estudiar las cónicas:
a) Se pueden estudiar como hicieron los griegos, como has visto en las figuras
anteriores, en términos de intersecciones del cono con planos.
b) Se pueden estudiar como casos particulares de ecuaciones de segundo grado con dos variables x e y
Ax2 +B x y +C y2 +Dx+E y +F = 0
c) Sin embargo , es más adecuado estudiarlas como lugares geométricos de puntos que cumplen cierta propiedad geométrica
La circunferencia
Definición
Una circunferencia es el lugar geométrico de los P(x, y) que equidistan de un punto fijo C llamado (centro)
d(P,C) = cte = radio
Sea P(x, y) un punto cualquiera verificando d(P,C) = r, siendo r el radio y C(x0, y0) el centro. De la formula de la distancia de dos puntos se tiene
Cuando la circunferencia tiene el centro en el origen se tiene la ecuación reducida
Ecuación vectorial de la circunferencia
La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial:
Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que el componente X y el componente Y, al cuadrado y sumados deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro Z libre.
Ecuación en coordenadas polares
Ecuación en coordenadas paramétricas
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:
Elipse
Una elipse es el lugar geométrico de los P(x, y) cuya suma de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante
Definiciones:
Observaciones:
i. De hecho, cualquier par de puntos del plano pueden servir como focos de una elipse. Por simplicidad, solo se considerarán inicialmente aquellos casos en los cuales los focos están en el mismo eje (eje x, eje y) y son simétricos uno del otro con respecto al origen (fig.
Construcción de la Elipse
Existen muchas construcciones geométricas de la elipse, pero en la mayoría de ellas se requiere conocer algunos elementos adicionales (la directriz, la excentricidad, …etc.) de la elipse que no han sido mencionados hasta ahora. Por esta razón, solo se presentan dos métodos geométricos sencillos para construir la elipse. Construcción 1
Supóngase que en el plano se tienen dos puntos fijos F y F". Se toma una cuerda de longitud 2a (mayor que la distancia entre los focos). Con la punta P de un lápiz se tensiona la cuerda. Al mover el lápiz manteniendo en todo momento tensionada la cuerda, el punto P describe la elipse pedida.
Construcción 2
Supóngase que nos plantean el problema de construir la elipse de ecuación dada por
Se procede entonces como sigue:
Se traza luego un rayo cualquiera con origen en 0, el cual intercepta a los círculos en los puntos S y N. Por estos puntos, se trazan paralelas a los ejes x e y respectivamente, las cuales se cortan en el punto M(xm, ym).
Las leyes de Kepler
En 1609 Johannes Kepler (1571-1620) publica, utilizando las observaciones
de su maestro Tycho Brahe, su obra "Astronomía Nova" en donde enuncia las dos primeras leyes referente a las ´orbitas de los planetas. Posteriormente,
en 1619, Kepler publicaria la tercera.
Primera Ley: Los planetas describen orbitas elípticas en uno de cuyos focos
está el Sol.
Segunda Ley: Las áreas barridas por la recta que une el sol con el planeta
son directamente proporcionales a los tiempos empleados en barrerlas.
Tercera Ley : Los cuadrados de los periodos de revolucion son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de las ´orbitas.
Parábola
En matemática, la parábola (del griego pa?aß???) es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz.1
Se define también como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco.
En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.
La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas, debido a que las gráficas de ecuaciones cuadráticas son parábolas. Por ejemplo, la trayectoria ideal del movimiento de los cuerpos bajo la influencia de la gravedad.
Definiciones
i. Sea DD una recta dada del plano y F un punto del plano que no está en la recta dada. Se define la parábola como el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya distancia al punto F es igual a la distancia a larecta DD.
ii. La recta dada DD se llama DIRECTRIZ y el punto F se llama FOCO (fig. 6.1.1.) Frecuentemente se hace referencia a la parábola de directriz DD y de foco F y se denota por PDD-F. Esto es:
Hipérbola
Una hipérbola es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.
Ecuaciones de cónicas
Ecuación de la circunferencia
Ecuación reducida
Ecuación de la elipse
Elipse de eje vertical y centro distinto al origen
Ecuación de la hipérbola
Ecuación reducida
Hipérbola de eje vertical
Hipérbola de eje horizontal y centro distinto al origen
Donde A y B tienen signos opuestos.
Ecuación de la parábola
Ecuación reducida de la parábola
De ejes el de abscisas y de vértice el origen de coordenadas
De ejes el de ordenadas y de vértice el origen de coordenadas
Parábola con eje paralelo a OX y vértice distinto al origen
Parábola con eje paralelo a OY, y vértice distinto al origen
Aplicaciones
Las curvas cónicas son importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley de gravitación universal, sus trayectorias describen secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están relativamente próximas describirán elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas. También son importantes en aerodinámica y en su aplicación industrial, ya que permiten ser repetidas por medios mecánicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas
Otra aplicación de las cónicas es al estudio de los movimientos de los proyectiles, tiro horizontal y parabólico
Asimismo se utilizan las propiedades de las cónicas para la construcción de antenas y radares, sabiendo que cualquier onda que incide sobre una superficie parabólica, se refleja pasando por el foco.
Conclusiones
En este trabajo hemos podido ampliar nuestros conocimientos acerca de las cónicas, conocer mejor las cónicas, como por ejemplo Elipse (Son figuras geométricas cerradas, formadas por segmentos de recta); Hipérbola, Lugar geométrico de todos los puntos para las cuales la diferencia de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos es constante. Una parábola es una línea que se puede ajustar, en un espacio bidimensional y en relación a sistema de coordenadas ortonormales, con la relación y=a.x²+b, o la aplicación de una transformación que represente un giro, a dicha relación.
Bibliografía
Leithold, Louis. Matemáticas previas al cálculo 3ra. Edición Grupo Mexicano Mepesa 1998
http://conicas.solomatematicas.com/
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Conicas_dandelin_d3/conicas.html
http://www.elko.k12.nv.us/webapps/vmd/mathdictionary/htmldict/spanish/vmd/full/c/conicsections.htm
http://math2.org/math/algebra/es-conics.htm
http://personales.unican.es/gonzaleof/Ciencias_1/conicas.pdf
http://www.scribd.com/doc/22029929/Conica
Autor:
Grupo de Radiología 2010 UNMSM
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