Divisibilidad en semigrupos y anillos

(1.6) 1 Divisibilidad en semigrupos y anillos. Aladar Peter Santha Résumée: Dans ce travaille on expose: des connaissances élémentaires sur les demie-groupes, groupes, les anneaux, la constructions de l’anneau des polynômes d’un seul variable, la théorie de la divisibilité dans le demi-groupe des nombres naturelles et dans les anneaux intègres (en particulier dans Z, Q[X], R[X], Z[i], Z[i][X]), les fonctions de Visual-Basic nécessaires pour les calcules algébriques et pour déterminer le plus grand diviseur commun et le plus petit multiple commun dans les structures algébrique énumérés avant. Finalement, comme une application de la plus grand commun diviseur dans l’anneau Q[X] on expose aussi le calcule des zéros réels des polynômes avec des coefficients dans Z[i] ou Z [ ? ] ( ? ? 0, ? 2 ? 0 ). =========================================================================== §.1. Nociones preliminares. Una ley de composición interna (operación) en el conjunto no vacío G es una aplicación del tipo f : G ? G ? G . Si D f es el dominio de definición de f y D f ? G ? G la operación es posible siempre. En vez de f ?x, y ? se suelen utilizar las notaciones más diversas, como x ? y, xy, x ? y, x * y, x ? y, x ? y, x ? y, x ? y, ? Definición 1.1: Un grupoide es un conjunto no vacío G, donde se ha definido una ley de composición (operación) interna. Para indicar un grupoide, se puede utilizar la notación (G,*), donde G es el conjunto de base y * simboliza la ley de composición. Sin embargo, cuando no hay duda sobre la ley de composición, se puede hablar sencillamente del grupoide G. El grupoide (G,*) es conmutativo o asociativo si para cualquier a, b, c ? G a * b ? b * a (1.1) ,ó (a * b) * c ? a * (b * c) , (1.2) , respectivamente. En el grupoide (G,*), e ? G es un elemento neutro a la derecha si para cualquier a ? G , a * e ? a (1.3) De manera análoga, e ? G es un elemento neutro a la izquierda si, para cualquier a ? G , e * a ? a (1.4) Luego, e ? G es un elemento neutro (bilateral) del grupoide si e es tanto un elemento neutro a la derecha como a la izquierda. En este caso, para cualquier a ? G a * e ? e * a ? a (1.5) Un grupoide no puede tener más de un elemento neutro, puesto que si existieran dos, e y e' , entonces de e * e' ? e y e * e' ? e' , resultaría que e ? e ' . Definición 1.2: Un semigrupo es un grupoide asociativo. En un semigrupo (G,*) con el elemento neutro e , a'? G es un elemento simétrico de a ? G si a * a' ? a'*a ? e En un semigrupo con elemento neutro, un elemento no puede tener más de un elemento simétrico. En efecto, si a ' y a " fueran dos elementos simétricos del elemento a , entonces a" ? a"*e ? a"*(a * a' ) ? (a"*a) * a' ? e * a' ? a' Si la ley de composición del semigrupo se llama adición, su elemento neutro será designado con el símbolo 0, el elemento simétrico de a se llamará elemento opuesto de a y será designado por ? a . Cuando la ley de composición de del semigrupo se llama multiplicación, el elemento neutro será designado por e , el

?1 ?1 (1.7) ?1 2 elemento simétrico de a se llamará el elemento inverso de a y será designado por a ?1 . Definición 1.3: Un grupo es un semigrupo con elemento neutro, donde todos los elementos tienen elemento simétrico. Si el semigrupo en cuestión es conmutativo, se dice que el grupo es conmutativo (abeliano). Teorema 1.1.: Si ?G, ?? es un semigrupo con el elemento neutro e y los elementos a, b ? G son invertibles, entonces los elementos a ?1 y a ? b son también invertibles y ?a ? ? a (a ? b) ? b ?1 ? a ?1 (1.8) En efecto, si el elemento a es invertible, entonces a ? a ?1 ? a ?1 ? a ? e , de donde resulta que a ?1 ? a ? a ? a ?1 ? e , y así a ?1 es el inverso de a . Para demostrar la segunda parte del teorema, se observa que ?a ? b?? ?b ?1 ? a ?1 ? ? a ? ?b ? b ?1 ?? a ?1 ? a ? e ? a ?1 ? (a ? e) ? a ?1 ? a ? a ?1 ? e ?b ?1 ? a ?1 ?? ?a ? b? ? b ?1 ? ?a ?1 ? a?? b ? b ?1 ? e ? b ? b ?1? ? (e ? b) ? b ?1 ? b ? e , de donde resulta que b ?1 ? a ?1 es el elemento inverso de a ? b . En un grupo aditivo, las igualdades (1.7) y (1.8) se transforman en: ? ?? a ? ? a y ? ?a ? b? ? ?? a ? ? ?? b? , respectivamente. Teorema 1.2: Si G es un semigrupo con elemento neutro y U es el conjunto de todos los elementos invertibles de G, entonces U es un grupo respecto a la ley de composición de G. Demostración: Dado que e ? U , U no es el conjunto vacío. Por otra parte, según el teorema 1.1, U es una parte estable de G, es decir, la composición de dos elementos de U pertenece a U. Finalmente, si a ? U entonces, según el teorema 1.1, a ?1 ? U y así U será un grupo. Definición 1.4: Un anillo es un conjunto A en el cual se han definido dos leyes de composición internas, llamadas, de manera convencional, adición y multiplicación, y que cumplen las condiciones: 1) (A,+) es un grupo abeliano. 2) Cualesquiera que sean a, b, c ? A , a ? ?b ? c ? ? a ? b ? a ? c (1.9) ?a ? b? ? c ? a ? c ? b ? c (1.10) Si la multiplicación es asociativa (conmutativa), el anillo ? A,?, ?? es asociativo (conmutativo). Las leyes (1.9) y (1.10) se llaman las leyes de distributividad de la multiplicación respecto a la adición, a la izquierda y a la derecha, respectivamente. El elemento neutro del grupo (A,+) será designado con 0 y se llamará el elemento nulo (cero) del anillo. El grupoide multiplicativo ?A, ?? del anillo ? A,?, ?? puede tener también un elemento neutro y, cuando esto es así, será designado con 1, diciendo que es el elemento neutro del anillo. Si no hay ninguna duda sobre las operaciones, el anillo ? A,?, ?? podría ser designado simplemente por A. Poniendo b ? c ? 0 en la igualdad (1.9), se obtiene que a ? 0 ? a ? 0 ? a ? 0 , , de donde, sumando ? a ? 0 en las dos partes de la igualdad, resulta que a ? 0 ? 0 , cualquiera que sea a ? A . De manera análoga, de (1.10) se obtiene que 0 ? a ? 0 , cualquiera que sea a ? A . Así pues, cualquiera que sea a ? A , a ? 0 ? 0 ? a ? 0 (1.11) Si a ? 0 y b ? 0 pero a ? b ? 0 , se dice que a y b son divisores de cero. Definición 1.5: El anillo ? A,?, ?? es un anillo íntegro si es asociativo y conmutativo, tiene elemento neutro y no tiene divisores de cero. Ejemplo 1.1: Sea F el conjunto de todas las funciones reales. Si f , g ? F , las funciones f ? g y f ? g se definen por

f ( x) ? ? y g ( x) ? ? 3 ? f ? g ?( x) ? f ( x) ? g ( x) y ? f ? g ??x ? ? f ?x ? g ?x ? , respectivamente. Es fácil de verificar que ?F ,?, ?? es un anillo asociativo y conmutativo, con el elemento neutro ? y con el elemento unidad u, definidas por ?x ? R, ? ( x) ? 0 y u( x) ? 1 , respectivamente. Este anillo no es íntegro, puesto que si las funciones f y g se definen por ?1 si x ? 2 ?0 si x ? 2 ?0 si x ? 2 ?3 si x ? 2 , respectivamente, entonces f ? ? , g ? ? y f ? g ? ? . Teorema 1.3: Si ? A,?, ?? es un anillo y a, b ? A , entonces a ? (?b) ? (?a) ? b ? ?a ? b (?a) ? (?b) ? a ? b (?1) ? a ? ?a (1.12) (1.13) (1.14) Demostración: Obviamente a ? ?b ? (?b)? ? a ? 0 ? 0 , , de donde, según (1.9), a ? b ? a ? (?b) ? 0 y así, a ? ?? b)? es el elemento opuesto de a ? b De manera similar, de ?a ? (?a)?? b ? 0 , y de (2.1.10), resultará que Por fin, (?a) ? b ? ?a ? b ?? a ? ? (?b) ? ??a ? (?b)? ? ?(?a ? b) ? a ? b (1.15) , y poniendo a ? 1 en (1.15), se obtiene la igualdad (1.14). Definición 1.6: Si ? A,?, ?? es un anillo y a, b ? A , entonces a ? b ? a ? (?b) La ley de composición así definida se llama sustracción. Teorema 1.4: La multiplicación es distributiva respecto a la sustracción, es decir, cualesquiera que sean a, b, c ? A a ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c ?a ? b? ? c ? a ? c ? b ? c (1.16) (1.17) En efecto, a ? ?b ? c ? ? a ? ?b ? (?c)? ? a ? b ? a ? (?c) ? a ? b ? ?? a ? c ? ? a ? b ? a ? c La demostración de (1.17) es análoga. Teorema 1.5 (Regla de simplificación): Si ? A,?, ?? es un anillo íntegro y a ? A ? ?0?, entonces a ? b ? a ? c ? b ? c En efecto, si a ? b ? a ? c entonces a ? ?b ? c ? ? 0 y, dado que a ? 0 , resulta que b ? c ? 0 , es decir, b = c. Definición 1.7: El anillo ?K ,?, ?? es un cuerpo si y solamente si, ?K – {0} , ?? es un grupo. Teorema 1.6: Un cuerpo conmutativo es un anillo integro. En efecto, si a, b ? K y a ? b ? 0 , entonces de a ? 0 resulta que b ? e ? b ? ?a ?1 ? a?? b ? a ?1 ? ?a ? b? ? a ?1 ? 0 ? 0 Definición 1.8: Si ?G, ?? y ?H ,*? son semigrupos (grupos) y la aplicación f : G ? H cumple la condición f (a ? b) ? f (a) ? f (b) , cualesquiera que sean a, b ? G , f es un homomorfismo de semigrupos (de grupos).Si el homomorfismo f es biyectiva, entonces se dice que f es un isomorfismo de semigrupos (de grupos).

' 4 Teorema 1.7: Sea f : G ? H un isomorfismo entre los grupos ?G, ?? y ?H ,*? . Entonces, a) Siendo e y e’ los elementos neutros de ?G, ?? y ?H ,*? , f (e) ? e' b) Si a ' es el elemento simétrico de a en ?G, ?? , f ?a '? es el elemento simétrico , de f ?a ? en ?H ,*? . c) Si ?G, ?? es un grupo conmutativo, ?H ,*? lo es también. Demostración: a) Cualquiera que sea a ? G , e ? a ? a ? e ? a f ?e ? a ? ? f ?a ? e? ? f (e) f (e) * f (a) ? f (a) * f (e) ? f (e) , , y teniendo en cuenta que f ?a ? es un elemento cualquiera de H, resulta que f ?e? es un elemento neutro en ?H ,*? . Puesto que en un grupo el elemento neutro es único f (e) ? e' . b) Dado que a' ? a ? a ? a' ? e , , cualquiera que sea a ? G , resulta que f (a' ) * f (a) ? f (a) * f (a' ) ? f (e) ? e' . Por tanto, f ?a '? es un elemento simétrico de f ?a ? en ?H ,*? Luego, según la unicidad del elemento simétrico en un grupo ? f (a)? ? f ?a'? . c) Puesto que ?G, ?? es un grupo conmutativo a ? b ? b ? a , cualesquiera que sean a, b ? G . Al ser f un isomorfismo, f ?a ? y f ?b? serán dos elementos cualesquiera de ?H ,*? y así, de f (a) * f ?b ? ? f ?b ?* f ?a ? , resulta que (H,*) es un grupo conmutativo. Es fácil de observar que las afirmaciones del teorema anterior quedarán válidas también en un semigrupo. Teorema 1.8: Si ?G, ?? es un semigrupo con el elemento neutro e , ?H ,*? es un grupoide y existe una biyección f : G ? H tal que f ?a ? b? ? f (a) ? f (b) , , cualesquiera que sean a, b ? G , entonces ?H ,*? es un semigrupo con el elemento neutro f ?e? . Demostración: Dado que f es una aplicación biyectiva, cualesquiera que sean x, y, z ? H , existirán a, b, c ? G , tales que x ? f ?a ? , y ? f ?b ? , z ? f ?c ? . Entonces, x * ? y * z ? ? f ?a ?* ? f ?b?* f ?c ?? ? f ?a ?* f ?b ? c ? ? f ?a ? ?b ? c ?? ? ? f ??a ? b? ? c? ? f ?a ? b?* f ?c ? ? ? f ?a ?* f ?b??* f ?c ? ? ?x * y ?* z , y así ?H ,*? es un semigrupo. Por otra parte, f ?e? es un elemento neutro del semigrupo ?H ,*? , puesto que para cualquier x ? H , x * f (e) ? f (a) * f (e) ? f ?a ? e? ? f (a) f (e) * x ? f (e) * f (a) ? f ?e ? a ? ? f (a) Luego, f ?e? es el único elemento neutro de ?H ,*? ya que en un semigrupo el elemento neutro es único. Teorema 1.9: Si ?G, ?? es un grupo con el elemento neutro e , ?H ,*? es un grupoide y existe una aplicación biyectiva f : G ? H tal que f ?a ? b? ? f (a) * f (b) , cualesquiera que sean a, b ? G , entonces ?H ,*? es un grupo. Si ?G, ?? es un grupo conmutativo entonces ?H ,*? lo es también. Demostración: Según el teorema 1.8, ?H ,*? es un semigrupo con el elemento neutro f ?e? . Si x ? f ?a ? ?a ? G ? es un elemento cualquiera de H y a ' es el elemento simétrico de a en ?G, ?? , entonces f ?a '? es un elemento simétrico de x en el semigrupo ?H ,*? . En efecto, x * f (a' ) ? f (a) * f ?a'? ? f ?a ? a'? ? f (e)

5 f ?a'?* x ? f ?a'?* f (a) ? f (a' ? a) ? f (e) Teniendo en cuenta que en un semigrupo un elemento no puede tener más de un elemento simétrico f ?a '? será el único elemento simétrico de x ? f ?a ? . Así, todos los elementos de H tienen elemento simétrico en el semigrupo ?H ,*? y, por tanto, ?H ,*? es un grupo. Si ?G, ?? es un grupo conmutativo, entonces x * y ? f (a) * f (b) ? f ?a ? b? ? f ?b ? a ? ? f (b) * f (a) ? y * x , cualquiera que sean x, y ? H y así, ?H ,*? es un grupo conmutativo. Definición 1.9: Si ?A,?, ?? y ?B,?,*? son anillos, una aplicación f : A ? B es un homomorfismo entre ellos si, para cualquier x, y ? A , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) f ( x ? y) ? f ( x) * f ( y) Si la aplicación f es biyectiva, f es un isomorfismo de anillos. Observación 1.1: Si 0 y 0’ son los elementos neutros en los grupos aditivos de los anillos ?A,?, ?? y ?B,?,*?, respectivamente, y f es un isomorfismo entre estos dos anillos, entonces, aplicando el teorema 1.7 para los semigrupos ? A,? ? y ?B,? ? f (0) ? 0' y f (?a) ? ? f (a) , , cualquiera que sea a ? A . De manera análoga, aplicando el teorema 1.7 para los semigrupos multiplicativos ?A, ?? y ?B,*? , si existe el elemento neutro e en ?A, ?? y el elemento a posee el elemento simétrico a ' , entonces e ' ? f ?e ? es el elemento neutro en ?B,*? y f ?a '? es el elemento simétrico de f ?a ? . Teorema 1.10: Si en el conjunto H se han definido dos leyes de composición internas ? y * y, f : A ? H es una aplicación biyectiva entre el anillo ?A,?, ?? y el conjunto H, tal que f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) (1.18) f ( x ? y) ? f ( x) * f ( y) , (1.19) , cualesquiera que sean x, y ? A , entonces ?H ,?,*? es un anillo isomorfo con el anillo ? A,?, ? ? . Si existe el elemento neutro e en el anillo ?A,?, ?? , entonces f ?e? es el elemento neutro del anillo ?H ,?,*? . Demostración: Puesto que f cumple la condición (1.18), aplicando el teorema 1.8 para el grupo aditivo ? A,? ? y el grupoide ?H ,? ? , resulta que ?H ,? ? es un grupo abeliano. Luego, aplicando el mismo teorema para el semigrupo ?A, ?? y el grupoide ?H ,*? y, teniendo en cuenta que f verifica la condición (1.18), resultará que ?H ,*? es un semigrupo con el elemento neutro f ?e? y es conmutativo si lo era ?A, ?? . Para que ?H ,?,*? sea un anillo, hay que comprobar que se cumplen las leyes distributivas. En efecto, dado que f es una aplicación biyectiva, para cualquier x, y, z ? H , existirán a, b, c ? A tal que x ? f ?a ? , y ? f ?b ? y z ? f . Entonces, x * ( y ? z) ? f (a) * ? f (b) ? f (c)? ? f (a) * f (b ? c) ? f ?a ? (b ? c)? ? f (a ? b ? a ? c) ? f (a ? b) ? f (a ? c) ? f (a) * f (b) ? f (a) * f (b) ? x * y ? x * z , cualesquiera que sean x, y, z ? H . Igual se demuestra la distributividad a la derecha. Así pues ?H ,?,*? es un anillo y según las relaciones (1.18) y (1.19) f es un isomorfismo, luego, según la observación 1.1, f ?e? es el elemento neutro de este anillo. Teorema 1.11: Si ?A,?, ?? es un anillo íntegro y f : A ? B es un ismorfismo entre los anillos ?A,?, ?? y ?B,?,*?, entonces ?B,?,*? es también un anillo íntegro. Demostración: Si x, y ? A cumplen la relación x * y ? f ?0?, donde f ?0? es el elemento nulo del anillo ?B,?,*?, entonces f (a) * f (b) ? f (0)

q p q p ? ? ? ? ? ? ? y ? ? ? ? ? ? ? qx q px p ? . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 f ?a ? b ? ? f (0) , de donde resultará que a ? b ? 0 , puesto que f es una aplicación biyectiva. Teniendo ahora en cuenta que ?A,?, ?? es un anillo íntegro, de la última igualdad resulta que a ? 0 ó b ? 0 , es decir, f ?a ? ? f ?0? , ó f ?b? ? f ?0? . Así, ?B,?,*? será también un anillo íntegro. Teorema 1.12: Si f : A ? B es un isomorfismo entre los anillos ?A,?, ?? y ?B,?,*? , entonces f ?1 : B ? A lo es también. En efecto, cualesquiera que sean los elementos x ? f ?a ? e y ? f ?b ? de B, f ?1 ( x ? y) ? f ?1 ? f (a) ? f (b)? ? f ?1 ? f (a ? b)? ? a ? b ? f ?1 ( x) ? f ?1 ( y f ?1 ( x * y) ? f ?1 ? f (a) * f (b)? ? f ?1 ? f (a ? b)? ? a ? b ? f ?1 ( x) ? f ?1 ( y) Si A??,?? es un anillo íntegro con el elemento neutro e , sea F ? ? p, q) / p ? A, q ? A ? ?0?? . En F se puede considerar la relación ? , definida de la manera siguiente: ? p, q? ? ? p ' , q '? ? p ? q ' ? p ' q Es fácil verificar que esta relación es de equivalencia. Por tanto dividirá el conjunto F en clases de equivalencia. La fración es el conjunto de todos los elementos de F equivalentes al par ? p, q? , es decir, ? ??x, y ? / ?x, y ?? F y ?x, y ? ? ? p, q ?? . Obviamente, p s q t ? ? p, q ? ? ?s, t ? ? p ? t ? q ? s En el conjunto de las fracciones del anillo, designado por FCr (A) , se pueden introducir la addición y la multiplicación de la manera siguiente: a c ad ? bc b d bd Estas definiciones son correctas puesto que si a c ac b d bd (1.20) a a' b b ' c c' d d ' ? ab' ? ba' y cd ' ? dc' , y entonces b' d ' ?ad ? bc ? ? adb' d '?bcb' d ' ? bdda'?bb' dc' ? bd ?a`d '?b' c'? ? a c a' c' b d b' d¡ acb' d ' ? ba' dc' ? a' c' bd a c a' c' b d b' d ' Teorema 1.13 (Regla de la simplificación ó amplificación): Cualquiera que sea x ? A ? ?0?, En efecto px p qx q ? ? px, qx ? ? ? p, q ? ? pqx ? qxp . Observación 1.2: Si dos fracciones tienen el mismo denominador, para sumarlas se conserva se suman los numeradores y se conserva el denominador común. En efecto, según el teorema 1.13, a b ac ? bc ?a ? b?c a ? b c c c 2 cc c Teorema 1.14: Si A??,?? es un anillo íntegro con el elemento neutro e , CFr ?A? es un cuerpo conmutativo con repecto la addición y multiplicación definidas en (1.20) y A será un subanillo en el cuerpo de sus fracciones. En efecto, la adición y la multiplicación son comutativas puesto que a c ad ? bc c a b d bd d b a c ac c a b d bd d b De las igualdades siguientes resulta que son también asociativas:

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a e 0 0 a e ? 0 ? ? ? ? p e p , ? ? ? ? ? p q pq ? p ? ? q ? ? ? y 7 ? a c ? u ad ? bc u adv ? bcv ? bdu ? b d ? v bd v bdv a ? c u ? a cv ? du adv ? bcv ? bdu b ? d v ? b dv adv ? a c ? u ac u ?ac?u a?cu ? a ? c u ? ? b d ? v bd v ?bd ?v b?dv? b ? d v ? La multiplicación es distributiva respecto la adición: Utilizando el teorema 1.13. u ? a c ? u ad ? bc uad ? ubc uad ubc ua uc u a u c v ? b d ? v bd vbd vbd vbd vb vd v b v d Admitiendo que para a ? A, ? a resultará que A ? CFr?A? . Así para a ? 0 tenemos también 0 ? ? , y ? ? e e a a e Finalmente, CFr ?A? es un cuerpo puesto que: p q p 0 p ? 0 p q q q q p q ? e ? ? ? q e q ?a ? 0? p ? p ? pq ? pq q q pq ? 0 pq ? 0 ? ? p ? p q q ? p ? ? q ? ?1 ? q p , puesto que ? ? q p qp ? e ? ? p ? ? ? ?1 ? q §.2. Construcción del anillo de los polinomios. Si A es un anillo conmutativo sea A?S ? el conjunto de todas las sucesiones ?uk ?k?N , donde uk ? 0 solo para un número finito de k ? N . Si ? , ? ? A(S ) , es decir, ? ? ?uk ?k?N y ? ? ?vk ?k?N , entonces las sucesiones ? ? ? ? ?uk ? vk ?k?N y ? ? ? ? ?wk ?k?N , donde wk ? ?u ? v? , pertenecen al conjunto A?S ?. ? ? ? ? k En efecto, si ? , ? ? A(S ) , entonces existen k? , k ? ? N tales que uk? ? 0 , uk? ? 0 k ? k? ? u k ? 0 Si k* ? max ?k? , k ? ? , entonces k ? k ? ? vk ? 0 , y así ? ? ? ? A(S ). Por otra parte, si , entonces k ? k * ? uk ? 0 y vk ? 0 k ? ? ? ? ? k? ? k ? ? ? k? ó ? ? k ? , , es decir u? ? 0 ó v? ? 0 . Así pues, si k ? k? ? k ? , entonces wk ? 0 y, por tanto ? ? ? ? A(S ) . Por consiguiente, en A?S ? se pueden considerar las leyes de composición: ?? , ? ? ? ? ? ? y ?? , ? ? ? ? ? ? Teorema 2.1: ?A(S ),?, ?? es un anillo. Demostración: Si ? , ? , ? ? A(S ) y

,y ' ' ? k q j ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?k ? j ? ? ?? ?? ?k ? ? ? ? ?? ? j k ' ' y ? ? ?k ?? ?k ' " ' " 8 ? ? ?ak ?k?N , ? ? ?bk ?k?N y ? ? ?ck ?k?N , , entonces, puesto que la adición en el anillo A es conmutativa y asociativa, ?? ? ? ? ? ? ? ??ak ? bk ? ? ck ?k?N ? ?ak ? ?bk ? ck ??k?N ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?ak ? bk ?k?N ? ?bk ? ak ?k?N ? ? ? ? Así (A(S),+) es un semigrupo conmutativo. Obviamente, O ? ?ak ?k?N , , donde ak ? 0 para cualquier k ? N , es el elemento neutro de este semigrupo y ? ? ? ?? ak ?k?N , es el opuesto de ? . Por tanto (A(S),+) es un grupo conmutativo con el elemento neutro 0. La multiplicación de A?S ? es asociativa puesto que si ? ? ? ? ? pk ?k?N ; ? ? ? ? ?pk ?k?N ?? ? ? ?? ? ? ?q j ?j?N ; ? ? ?? ? ? ? ? ?q 'j ?j?N , entonces pk ? ? a? b? ? ? ? ?k pk ? ?b? c? ? ?? ?k ? ? k ? jp c? ? k ? j ?? ? a? b? ? ? ? ? ? ?? a? b? c? q 'j ? ? ? a? p ? k ? j ? ? ? ? k ? j a? ? ? b? c? ? ? ? a? b? c? , y así, para cualquier j ? N q j ? q'j , es decir, cualesquiera que sean ? , ? , ? ? A(S ) , ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? La multiplicación de A?S ? es también conmutativa, puesto que si ? ? ? ? ? pk ?k?N ? ? ? ? ?pk ?k?N , entonces pk ? ? ? a? b? ? ??b? a? , cualquiera que sea k ? N y así, ? ? ? ? ? ? ? , cualesquiera que sean ? , ? ? A(S ) . Para demostrar que A?S ? es un anillo queda verificar que la multiplicación es distributiva respecto a la adición. Si , entonces ? ? ? ? ?pk ?k?N , ? ? ? ? ?pk ?k?N y ?? ? ? ?? ? ? ? pk ?k?N pk ? ? ?a? ? b? ?c? ? ? a? c? ? ?b? c? ? pk ? pk ? ? ? ?k ? ? ? ?k ? ? ? ?k , cualquiera que sea k ? N y así ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , cualesquiera que sean ? , ? , ? ? A(S ) . Teorema 2.2: Si e es el elemento neutro del anillo A, entonces e* ? ?uk ?k?N , donde u0 ? e y uk ? 0 para k ? 0 , es el elemento neutro del anillo A?S ?.

ek ? ? bk ? ? ?e si k ? n ? 1 ?0 si k ? n ? 1 (2.1) ? ? (2.2) ? ? (2.3) 9 En efecto, si ? ? ?ak ?k?N es un elemento cualquiera de A(S), entonces e * ?? ? ?bk ?k?N , donde bk ? ? u? a? ? ak ? ? ? ?k , cualquiera que sea k ? N y así e * ?? ? ? . En los siguientes supondremos que el anillo A posee un elemento neutro e y sea E ? ?ek ?k?N , donde Lema 2.1: S ? ? ?ak ?k?N ?0 si k ? 1 ?e si k ? 1 ? A(S ) y ? ? ?bk ?k?N ? ? ? E , entonces ? 0 si k ? 0 ?ak ?1 si k ? 0 En efecto, , y si k ? 1, entonces bk ? b0 ? ? a? e? ? a0 e0 ? 0 ? ? ? ?k ? a? e? ? ak e0 ? ak ?1e1 ? ? ? a0 ek ? ? ? ?k Luego, puesto que e0 ? 0 , e1 ? e y ei ? 0 para i ? 1 , resulta que bk ? ak ?1 . Teorema 2.3: Si E 0 ? ?e,0,0, ?? y E1 ? ?0, e,0,0, ?? , entonces E n ? ?ak ,n ?k?N n ? 1 y ak ,n ? ? Demostración: En efecto, E 2 ? E ? E ? ?ak , 2 ?k?N , , donde según el lema 2.1, a2, 2 ? e y para k ? 2 tenemos ak , 2 ? 0 . Así, la igualdad (2.1) se verifica para n ? 2 . Suponiendo que el teorema se verifica para n, demostraremos que será verdadera también para n+1. En efecto, E n?1 ? E n ? E ? ?ak ,n ?k?N ? E Según el lema 2.1, an ? 2,n ?1 ? an ?1,n ? e . Si k ? n ? 2 , entonces k ? 1 ? n ? 1 y ak ,n?1 ? ak ?1,n ? 0. Así la relación (2.1) es verdadera también cuando n se sustituye por n ? 1 ; por tanto el teorema queda demostrado. Observación 2.1: Cualquiera que sea n, E n ? ? 0,0,…,0, e,0,0,?? ? n?ceros ? Lema 2.2: Si ? ? ?a,0,0, ?? , entonces E n ? ? 0,0,…,0, a,0,0,?? ? n?ceros ? En efecto, sea ? ? ?ak ?k?N , donde a0 ? a y ak ? 0 para k ? 0 . Entonces, ? ? E ? ?bk ?k?N , , donde bk ? ? a? a? , n ? a0 ak , n ? a1ak ?1, n ? ? ? ak a0 , n ? a ak , n ? ? ? ?k , puesto que ak ? 0 para k ? 0 . Así, según el teorema 2.1.9, bn?1 ? a y bk ? 0 para k ? n ? 1. Teorema 2.4: Si ? ? ?ai ?i?N ? A(S ) , entonces existirá n ? N tal que

(2.5) ? a ? bi 10 ? ? ?a0 ,0, ?? ? ?a1 ,0, ?? ? E ? ? ? ?an ,0, ?? ? E n (2.4) y si ? ? ?0,0, ?? , esta escritura de ? es única . En efecto, si ? ? ?0,0, ?? , entonces la relación (2.2.4) se verifica o bien para n ? 0 y a0 ? 0 , o bien para n cualquiera y a0 ? a1 ? ? ? an ? 0 . En el caso contrario, teniendo en cuenta que ak ? 0 solamente para un número finito de valores de k, existirá n ? N tal que an ? 0 y ? ? ?a0 , a1 , ? , an ,0,0, ?? ? ?a0 ,0, ?? ? ?0, a1 ,0, ?? ? ? ? ?0,0, ? , an ,0, ?? Así, según el lema 2.2.2, a tendrá la forma siguiente: ? ? ?a0 ,0, ?? ? ?a1 ,0, ?? ? E ? ? ? ?an ,0, ?? ? E n Si para ? ? ?0,0, ?? tendríamos también ? ? ?b0 ,0, ?? ? ?b1 ,0, ??? E ? ? ? ?bn ,0, ??? E n , entonces resultaría que ? ? ?b0 ,0, ?? ? ?0, b1 ,0, ?? ? ? ? ?0,0, ? , bn ,0, ?? ? ?b0 , b1 , ? , bn ,0, ?? (2.6) , y la comparación entre (2.5) y (2.6) daría que m ? n y ak ? bk ?k ? 1,2, ? , n? . Sea ahora A?X ? el conjunto de todas las expresiones de la forma: a0 ? a1 X ? ? ? an X n (2.7) , donde ak ? A , n ? N y an ? 0 ? a0 ? a1 ? ? ? an?1 ? 0 Se dice que la expresión (2.7) es un polinomio en la indeterminada X y con los coeficientes ak , pertenecientes al anillo A. Si an ? 0 , se dice que el polinomio es de grado n. Cuando todos los coeficientes son nulos se trata del polinomio nulo, notado con ? ( X ) ó 0, cuyo grado es indeterminado. Definición 2.1: Dos polinomios son iguales si los dos son nulos, ó bien si tienen el mismo grado y los coeficientes correspondientes a las mismas potencias de X son iguales. Si P( X ) ? a0 ? a1 X ? ? ? an X n (2.8) Q( X ) ? b0 ? b1 X ? ? ? bm X m (2.9) , son dos polinomios de grado n y m, respectivamente ?n ? m? , entonces en A?X ? se puede definir una adición y una multiplicación de la manera siguiente: P( X ) ? Q( X ) ? c0 ? c1 X ? ? ? cm X m P( X ) ? Q( X ) ? d0 ? d1 X ? ? ? d p X p , donde p ? mn , ci ? ? i ?bi si i ? n si i ? n y d i ? ?a j bk j ?k ?i Sea ahora f : A(S ) ? A[ X ] (2.10) , la aplicación definida por: f (? ) ? a0 ? a1 X ? ? ? an X n , donde ? ? ?a0 ,0, ?? ? ?a1 ,0, ?? ? E ? ? ? ?an ,0, ?? ? E n Evidentemente, f es suprayectiva y, para demostrar que f es inyectiva, sea ? ? ?b0 ,0, ?? ? ?b1 ,0, ??? E ? ? ? ?bm ,0, ??? E m , tal que f (? ) ? f (? ) (2.11) Si f (? ) y f (? ) son nulos, según la definición 2.2.1, a0 ? a1 ? ? an ? b0 ? b1 ? ? bm ? 0

, y así 11 , así ? ? ? . Si f (? ) y f (? ) no son nulos, entonces según la definición (2.1), n ? m y ak ? bk , cualquiera que sea k ? ?1,2, ? n?. Por tanto ? ? ? . Así pues, f (? ) ? f (? ) ? ? ? ? , y por consiguiente, f es inyectiva. Al ser f inyectiva y suprayectiva a la vez, resulta que f es biyectiva. Por otra parte, si ? ? ?a0 , a1 , ? , an ,0, ?? y ? ? ?b0 , b1 , ? , bm ,0, ?? , donde n ? m , entonces f (? ) ? P( X ) y f (? ) ? Q( X ) , donde P?X ? y Q?X ? son los polinomios definidos en (2.2.8) y (2.2.9), respectivamente. Puesto que f (? ) ? f (? ) ? P( X ) ? Q( X ) ? f (? ? ? ) f (? ) ? (? ) ? P( X ) ? Q( X ) ? f ?? ? ? ? , , según el teorema 1.10 A?X ? es un anillo y f es un isomorfismo entre los anillos A?S ? y A?X ?. Observación 2.1: Los anillos A?X ? y A?Y ? son isomorfos puesto que los dos son isomorfos con el anillo A?S ?. Definición 2.2: Un polinomio M ?X ? se llama monomio si M ?X ? ? a ó M ?X ? ? aX n , donde a ? A y n ? N ? ?0?. Los monomios aX n y bX m son semejantes si y solamente si n ? m . Obviamente, ?aX n ? ? ?bX m ? ? abX n?m y aX n ? bX n ? (a ? b) X n Observación 2.2: Cualquier polinomio, que no es un monomio, es una suma de monomios. Teniendo en cuenta que la multiplicación es distributiva respecto a la adición en el anillo A?X ?, resulta que el producto de dos polinomios se puede calcular sumando a todos los monomios, obtenidos multiplicando todos los monomios del primer polinomio con todos los monomios del segundo polinomio. Observación 2.3: Conviene saber que la suma de dos polinomios de grado n podría no ser un polinomio de grado n. Por ejemplo, si n ? 3 , P?X ? ? 2 ? 3X ? 5 X 2 ? 2 X 3 y Q?X ? ? ?5 ? 2 X 3 , entonces P?X ? ? Q?X ? ? ?3 ? 3X ? 5 X 2 , que es un polinomio de grado 2. En general, grado ?P( X ) ? Q( X )? ? max ?grado ?P( X )?, grado ?Q( X )?? , , donde la igualdad tiene lugar cuando los polinomios son de grados distintos, o bien si son de mismo grado y la suma de los coeficientes de los monomios de más alto grado no es cero. Observación 2.4: Si A es un anillo íntegro, grado ?P( X ) ? Q( X )? ? grado ?P( X )? ? grado ?Q( X )? . En efecto, an ? 0 y bm ? 0 ? an bm ? 0 grado ?P( X ) ? Q( X )? ? n ? m ? grado ?P( X )? ? grado ?Q)( X )? . Teorema 2.5: Si A es un anillo íntegro, entonces A?X ? es también un anillo íntegro. Demostración: Si ? ?X ? es el polinomio nulo, hay que demostrar que P( X ) ? ? ( X ) y Q( X ) ? ? ( X ) ? P( X ) ? Q( X ) ? ? ( X ) Puesto que P?X ? y Q?X ? no son polinomios nulos, se puede suponer que P( X ) ? a0 ? a1 X ? ? ? an X n y Q( X ) ? b0 ? b1 X ? ? ? bm X m

12 , donde an ? 0 y bm ? 0 . Dado que P( X ).Q( X ) ? c0 ? c1 X ? ? ? cn? m X n? m , , donde cn?m ? an bm ? 0 , resulta que P( X ) ? Q( X ) ? ? ( X ) . Observación 2.5: Puesto que Z, Q, R, C son anillos íntegros, resulta que Z ?X ?, Q?X ? R?X ? y C ?X ? son también anillos íntegros. Observación 2.6: Trabajando con ordenadores, los coeficientes del polinomio P( X ) ? a 0 ? a1 X ? ? ? a n X n ? a n X n ? a n ?1 X n ?1 ? ? ? a1 X ? a 0 , se introducen siempre en una matriz unidimensional (designado, por ejemplo, con A ) de dimensión n , de la maera siguiente: A?0? ? an , A?1? ? an?1 , ? , A?n ?1? ? a1 , A?n? ? a0 Utilizando en un ordenador el Lenguaje Visual-Basic, las operaciones con polinomios se pueden realizar mediante las funciones siguientes: Public Function MultPol(ByRef p1() As Double, ByRef p2() As Double) As Variant Dim i As Integer, j As Integer, g1 As Integer, g2 As Integer, p () As Double g1 = Ubound (p1()):g2 = Ubound(p2()) ReDim p(g1 + g2) For i = 0 To g1 If p1(i) <> 0 Then For j = 0 To g2 If p2(j) <> 0 Then p(i + j) = p(i + j) + p1(i) * p2(j) End If Next j End If Next i MultPol = p() End Function ‘———————————————————————————————————- Public Function SumPol(ByRef p1() As Double, ByRef p2() As Double) As Variant Dim gg As Integer, g1 As Integer, g2 As Integer, gp As Integer, gr As Integer Dim pt() As Double, r() As Double g1 = UBound(p1()): g2 = UBound(p2()) If g1 >= g2 Then gp = g1 Else gp = g2 ReDim pt(gp) gg = Abs(gp – g1) For i = 0 To g1 pt(i + gg) = p1(i) Next i gg = Abs(gp – g2) For i = 0 To g2 pt(i + gg) = pt(i + gg) + p2(i) Next i 'Grado de la suma For i = 0 To gp If pt(i) <> 0 Then Exit For Next i If i <= gp Then gr = gp – i ReDim r(gr) For j = 0 To gr r(j) = pt(i + j) Next j Else gr = -1 cxp = "Polinomio nulo" End If SumPol = r() End Function ‘——————————————————————————————————– Public Function RestPol(ByRef p1() As Double, ByRef p2() As Double) As Variant Dim gg As Integer, g1 As Integer, g2 As Integer, gp As Integer, gr As Integer Dim pt() As Double, r() As Double g1 = UBound(p1()): g2 = UBound(p2())

13 If g1 >= g2 Then gp = g1 Else gp = g2 ReDim pt(gp) gg = Abs(gp – g1) For i = 0 To g1 pt(i + gg) = p1(i) Next i gg = Abs(gp – g2) 'Grado de la diferencia For i = 0 To gp If pt(i) <> 0 Then Exit For Next i If i <= gp Then gr = gp – i ReDim r(gr) For j = 0 To gr r(j) = pt(i + j) Next j Else gr = 0 ReDim r(0) r(0) = 0 cxp = "Polinomio nulo" End If RestPol = r() End Function ‘———————————————————————————————————- Public Function MultPolNum(ByVal r As Double, ByRef x() As Double) As Variant Dim m() As Double, i As Integer, g As Integer g = UBound(x()) ReDim m(g) For i = 0 To g m(i) = r * x(i) Next i MultPolNum = m() End Function ‘———————————————————————————————————————————— Public FunctionTransfOpPol(ByVal cf As Double, ByRef x() As Double, ByVal ex As Integer) As Variant Dim i As Integer, j As Integer, g3 As Integer Dim x1() As Double, x2() As Double, p() As Double If ex > 1 Then x1() = x(): x2() = x() For j = 1 To ex – 1 x1() = ProductoPol(x1(), x2()) Next j p() = ProductoNumPol(cf, x1()) Else If ex = 0 Then gp = 0 ReDim p(0) p(0) = cf Else p() = ProductoNumPol(cf, x()) End If End If TransfOpPol = p() End Function ‘—————————————————————————————————————— Public Function FormatoPol(ByRef x() As Double) As String Dim i As Integer, j As Integer, cd As String, cm As String gx = UBound(x()) For i = 0 To gx If x(i) <> 0 Then If i = 0 Then If Abs(x(0)) <> 1 Then cm = FormatoNumero(x(0)) Else If gx <> 0 Then If x(0) = -1 Then cm = "-" End If Else If x(0) = -1 Then

n 3 l 4 4 l l 14 cm = Str$(-1) Else cm = Mid$(Str$(1), 2) End If End If End If If gx <> 0 Then If gx = 1 Then cm = cm + " X" Else cm = cm + " X^" + Mid$(Str$(gx), 2) End If End If Else If x(i) > 0 Then cd = " + " Else cd = " – " End If If Abs(x(i)) <> 1 Or i = gx Then cd = cd + FormatoNumero(Val(Mid$(Str$(x(i)), 2))) End If If gx > 1 Then If i < gx – 1 Then cd = cd + " X^" cd = cd + Mid$(Str$(gx – i), 2) Else If i = gx – 1 Then cd = cd + " X" End If End If End If cm = cm + cd: cd = "" End If End If Next i FormatoPol = cm End Function La función CalculoOperando evalúa una expresión de la forma r ? ?P?X ?? . Si n ? 1 y r ? 1 entonces se trata solamente de la multiplicación del polinomio con un número. Si r ? 1 y n ? 1 se trata de la potencia de un polinomio. Finalmente, en el caso general r ? 1 y n ? 1 se calcula la potencia del polinomio y el resultado se multiplica por el número. Ejemplo 2.1: Utilizando la función TransfOpPo se obtiene el desarrollo del operando Q( X ) ? 7 ? ?2 X 3 ? 5 X 2 ? 3X ? 4? , que es la siguiente: 56 X 9 ? 420X 8 ? 1302X 7 ? 2471X 6 ? 3633X 5 ? 4053X 4 ? 3381X 3 ? 2436X 2 ? 1008X ? 448 Ejemplo 2.3: Utilizando la función TransfOpPo se obtiene el desarrollo del operando S ( x) ? ?5x 2 ? 3x ? 2? ? 1? ?5x 2 ? 3x ? 2? , que es la siguiente: R ( x ) ? 625x 12 ? 1500x 10 ? 1000x 9 ? 1350x 8 ? 1800x 7 ? 60 x 6 ? 1080x 5 ? 639x 4 ? 56 x 3 ? 216x 2 ? 96 x ? 16 El desarrollo de los operandos de los ejemplos anteriores podría ser útil, por ejemplo, para hallar las funciones primitivas de las funciones x ? Q(x) ó x ? S (x) . Si se quiere escribir un programa para operar con polinomios, la introducción de los datos desde el teclado es mejor hacerlo en forma de operandos, aunque para esto hay que introducir coeficientes y exponentes iguales a 1. Después de introducir los operandos, estos se transforman en polinomios con la función TransfOpPo y luego las operaciones se hacen con las funciones para operar con polinomios.

?1 15 §.3. Divisibilidad en un semigrupo conmutativo con elemento neutro , y con la regla de simplificación. Definición 3.1: En el semigrupo ?G, .? es válida la regla de simplificación si a .b ? a . c ? a ? c , cualesquiera que sean a, b, c ? G . Definición 3.2: a ? G es un divisor de b ? G ( b es un múltiplo de a ) si existe c ? G tal que b ? a . c . Observación 4.1: Los divisores del elemento neutro e del semigrupo G son los elementos invertibles de este semigrupo. Observación 3.2: Un elemento invertible ? (en particular el elemento neutro e ) es divisor de cualquier elemento a del semigrupo G. En efecto, a ? ? . ?? ?1 . a?. Observación 3.3: Cualquier elemento a del semigrupo G es divisor (múltiplo) de si mismo puesto que a ? a.e . Sean D y M las relaciones definidas en el semigrupo G por bDa ? b es divisiblecon a ? a es divisor de b bMa ? b es múltiplo de a Obviamente, D ?1 ? M y, según la observación 2.4.3, D es reflexiva. Es también transitiva. En efecto, si cDb y bDa entonces existirán q y q' tales que b ? a . q y c ? b. q ' , de donde resulta que c ? a . ?q. q'? , y así cDa . Definición 3.3: Los elementos a y b del semigrupo G están asociados si a ? b . q y q es un elemento invertible. La relación de asociación es una relación reflexiva, simétrica y transitiva y, por tanto, una relación de equivalencia. En efecto, a ? a . e y e?1 ? e a ? b . q y ?q ?1 ? b ? a . q ?1 a ? b . q , b ? c . r y ?q ?1 , r ?1 ? a ? c . ?r . q ? y ?r . q ? ? q ?1 . r ?1 Teorema 3.1: Si bDa y aDb entonces los elementos a y b están asociados. En efecto, de bDa y aDb resulta que b ? a . q y a ? b .q ' . Así, a . e ? a ? b . q ' ? ?a . q ?. q ' ? a . ?q . q '? , de donde, aplicando la regla de simplificación, resulta que e ? q . q ' ? q y q ' son inversible . Por tanto, a y b están asociados. Teorema 3.2: Si a y b están asociados entonces bDa y aDb . En efecto, existe un elemento invertible q tal que b ? a . q ? a ? b . q ?1 Observación 3.4: Si en el semigrupo G el único elemento invertible es el elemento neutro, entonces la relación D (M) será anti-simétrica y así será una relación de orden parcial en G. Observación 3.5: Si a y b son dos elementos asociados y a es un divisor de c, entonces b es también un divisor de c. En efecto, c ? a . q ? ?b .u ?. q ? b . ?u . q ? donde u es un elemento invertible. Definición 3.4: c ? G es un divisor común de a ? G y b ? G si c es tanto un divisor de a como de b . Definición 3.5: d ? G es un máximo común divisor de a ? G y b ? G si d es un divisor común de estos elementos y cualquier otro divisor común d ' de a y b es un divisor de d . De costumbre, un máximo común divisor de los elementos a y b se nota con ?a , b ? . Definición 3.6: c ? G es un múltiplo común de a, b ? G si tanto a como b son divisores de c.

' 16 Definición 3.7: c ? G es un mínimo común múltiplo de a, b ? G si m es un múltiplo común de estos elementos y cualquier otro múltiplo común de a y b es un divisor de m. Un mínimo común múltiplo de a y b se nota con ?a, b?. Teorema 3.3: Si tanto d como d 1 es un máximo común divisor de a y b , entonces d y d 1 están asociados. En efecto, d1 Dd y dDd 1 y así, según el teorema 2.4.2, d y d1 están asociados. Teorema 3.4: Si d es un máximo común divisor de a y b , y d 1 está asociado con d , entonces d 1 es también un máximo común divisor de a y b . Demostración: Puesto que d y d 1 están asociados, existirá un elemento invertible q tal que d ? d1 . q . Entonces a ? d . c1 ? ?d1.q?. c1 ? d1.?q .c1 ? ? d1.c1' b ? d .c2 ? ?d1 . q?.c2 ? d1 .?q .c2 ? ? d1 .c2 y por tanto, d 1 es un divisor común de a y b . Si d 0 es un otro divisor común de a y b , entonces d ? d 0 .q0 puesto que d es un máximo común divisor de a y b . Así d1 ? d . q ?1 ? ?d 0 . q0 ?. q ?1 ? d 0 . ?q0 . q ?1 ? , y así d 0 es un divisor de d 1 . Por tanto, d 1 es un máximo común divisor de a y b . Teorema 3.5: Si tanto m como m1 es un mínimo común múltiplo de a y b entonces m y m1 están asociados. Teorema 3.6: Si m es un mínimo común múltiplo de a y b y m1 está asociado con m , entonces m1 es también un mínimo común múltiplo de a y b . Las demostraciones de los dos últimos teoremas son análogas a la demostración del teorema 2.4.4. Observación 3.6: En un semigrupo conmutativo con elemento neutro y donde es válida la regla de simplificación, no es seguro la existencia del máximo común divisor o del mínimo común múltiplo de dos elementos, pero si existen, son determinados hasta un factor invertible. En el semigrupo de los números naturales no nulos no existe otro elemento invertible que el elemento neutro 1 y, por tanto, el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo son únicos. Definición 3.8: Los elementos a, b ? G son primos entre sí, si su máximo común divisor está asociado con el elemento neutro e , es decir, si es un elemento invertible. Teorema 3.7: Si d es un máximo común divisor de a y b , a ? d .a ' y b ? d .b ' , entonces a ' y b ' son primos entre sí. Demostración: Si c es un máximo común divisor de a ' y b ' , entonces a ? d . a ' ? d . ?c . a1 ? ? ?d . c ?. a1 b ? d .b ' ? d . ?c .b1 ? ? ?d . c ?.b1 , y así, d . c es un divisor común de a y b . Al ser d un máximo común divisor de estos elementos, d ? ?d . c ?. q ? d . e ? d .?c . q ? . Según la regla de simplificación, de aquí resulta c . q ? e y así, c es un elemento invertible (asociado con e ). Teorema 3.8: Si a, b, t ? G , d ? ?a , b? y existe un máximo común divisor de t . a y t . b , entonces d .t es un máximo común divisor de t . a y t . b . Demostración: Si d ' es un máximo común divisor de t . a y t . b , entonces teniendo en cuenta las igualdades siguientes, t . a ? t . ?d . a '? ? ?t . d ?. a ' t .b ? t . ?d .b '? ? ?t . d ?.b ' (3.1) (3.2) , resulta que t . d es un divisor común de t . a y t . b y así, será un divisor también de d ' . Por tanto, d '? t . d . q y dado que d ' es un máximo común divisor de t . a y t . b , t . a ? d '. q1 ? t . d . q . q1 t .b ? d '. q2 ? t . d . q . q2 (3.3) (3.4)

(3.5) (3.6) ? ? 1 17 Combinando (3.3) con (3.1) y (3.4) con (3.2), resulta que ?t . d ?a ' ? ?t . d ?. ?q . q1 ? ?t . d ?.b ' ? ?t . d ?. ?q . q2 ? , de donde, utilizando la regla de la simplificación, resulta que a ' ? q . q1 y b ' ? q . q 2 . Por tanto, q es un divisor común de a ' y b ' , primos entre sí según el teorema 3.7. Así q es un divisor de un elemento invertible y por tanto q mismo es un elemento invertible. Así, según el teorema 3.4, t . d será un máximo común divisor de t . a y t . b . Teorema 3.9: Si dos elementos cualesquiera del semigrupo G tienen máximo común divisor, entonces existe también el mínimo común múltiplo de dos elementos cualesquiera y ?a , b?.?a , b? está asociado con el producto a.b . Demostración: Si d ? ?a , b? , a ? d .a ' , b ? d .b ' y t ? d . a '.b ' es obvio que t es un múltiplo común de a y b . Sea ahora t ' un múltiplo común cualquiera de a y b . Entonces, t ' ? a . q1 ? d . a '.q1 t ' ? b . q2 ? d .b '.q2 , de donde resulta que b '. t ' ? d . a '.b '.q1 ? t . q1 a '. t ' ? d . a '.b '.q2 ? t . q2 , y así t es un divisor común de a '. t y b '. t . Por tanto, t es un divisor del máximo común divisor de a '.t y b '.t . Teniendo en cuenta los teoremas 3.7 y 3.8, un máximo común divisor de a '. t y b '. t debe tener la forma ?a ' , b '?.t ' ? u .t ' , donde u es un elemento invertible. Así pues, t es un divisor de t '.u y así, existirá s ? G tal que t '.u ? t . s ? t ' ? t . s .u ?1 así, t es un divisor de t ' y por tanto, t es un mínimo común múltiplo de a y b . Observación 3.7: Si en el semigrupo G el elemento neutro es el único elemento invertible y existe el máximo común divisor de dos elementos cualesquiera, entonces ?a , b ? y ?a , b? son únicas y ?a , b?.?a , b? ? a .b (3.7) , cualesquiera que sean a, b ? G . Teorema 3.10: Si los elementos a y b están asociados con los elementos a ' y b ' , respectivamente, y d ?d '? es un máximo común divisor de a y b (de a ' y b ' ), entonces d y d ' están asociados. Demostración: Si a ' está asociado con a y b ' con b , entonces a ' ? a .u y b ' ? b .u 2 , donde u1 y u 2 son dos elementos invertibles. Puesto que d ' es un máximo común divisor de a ' y b ' , a ' ? d '. q1 y b ' ? d '. q2 , es decir, a .u1 ? d '. q1 y b .u 2 ? d ..q2 Así, a ? d '.?q1 .u ?1 ? y b ? d '.?q2 .u2 1 , y por tanto, d ' es un divisor común de a y b . Puesto que d es un máximo común divisor de a y b , d ' es un divisor de d . Por otra parte, d es un máximo común divisor de a y b y así a ? d . r1 y b ? d . r2 , de donde resulta que a ' ? a .u1 ? d . ?r1 .u1 ? y b ' ? b .u 2 ? d . ?r2 .u 2 ? De esta manera, d es un divisor común de a ' y b ' y puesto que d ' es un máximo común divisor