Proceso de muestreo Análisis de señales muestreadas Teorema de Shanon Transformada Z Funciones de transferencia en z Relación entre los dominios s y z
Señales en control por computador Proceso u(t) y(t) computador D/A A/D y(kT) u(kT) w t u(t) t y(kT) t y(t) t T
Proceso de muestreo ¿Cuál debe ser el valor de T para no perder información esencial de y(t)? ¿Puede reconstruirse y(t) a partir de y(kT)? Para contestar se debe investigar cuál es la relación entre los componentes de frecuencia de y(t) y de y*(t) ¿Puede utilizarse la transformada s para el análisis? ¿Hay otra formulación equivalente? y*(t) y(t) t T t
Componentes de frecuencia de una señal t f(t) = t + + + … ? F(?) Transformada de Fourier Espectro de frecuencias de la señal
Señales muesteadas / Tren de pulsos y*(t) y(t) t T t T y(t) T T ?(t) * = 1 y*(t) t ?T(t)
Transformada de Fourier discreta T y*(t)
Señales periódicas t f(t) T Una señal periódica de periodo T siempre admite una descomposición en serie de Fourier T ?(t) 1 Ejemplo: Tren de pulsos de periodo T t
Espectro de frecuencia de ?T(t) Si ? ? i?s ?s = 2?/T Si ? = i?s Espectro discontinuo ci F(?) ? ?s
T ?(t) 1 t Espectro de frecuencia de ?T(t) En un periodo:
Espectro de una señal muestreada y*(t) El espectro de frecuencias de la señal muestreada se obtiene sumando infinitas veces el espectro de la señal continua desplazado n?s
Espectro de una señal muestreada y*(t) ? ? |Y(?)| |Y*(?)| Espectro continuo … … Espectro discreto ?0 ?0 ?s 2?s -?s -2?s 1/T Máxima frecuencia de la señal continua ?s/2 Si ?0 < ?s/2 los espectros laterales no se superponen y el contenido de frecuencias de Y y de Y* son identicos en [- ?0 ?0 ]
Espectro de una señal muestreada y*(t) ? ? |Y(?)| |Y*(?)| Espectro continuo … … Espectro discreto ?0 ?0 ?s 2?s -?s -2?s 1/T Máxima frecuencia de la señal continua ?s/2 Si ?0 > ?s/2 los espectros laterales se superponen y el contenido de frecuencias de Y* se distorsiona en [- ?0 ?0 ]
Teorema de Shanon ? ? |Y(?)| |Y*(?)| … … Espectro discreto ?0 ?0 ?s 2?s -?s -2?s 1/T Máxima frecuencia de la señal continua ?s/2 Para que no haya pérdida significativa de la información el periodo de muestreo ha de cumplir ?0 < ?s/2 = ?N = ?/T ?N Frecuencia de Nyquist
“Aliasing” Cuando se muestrea incorrectamente una señal pueden aparecer frecuencias en la señal muestreada que no están en la original Señal continua Señal muesteada Ejemplo: Se muestrea a frecuencia menor que 2?0 En el ordenador se ve la señal como una de frecuencia menor
Toma de datos, filtrado “antialiasing” y*(t) y(t) t T t T y(t) t Filtro Antes de muestrear una señal conviene pasarla por un filtro continuo pasa bajo (filtro “antialiasing”) para eliminar las frecuencias superiores a ?/T que distorsionarian la señal muestreada con el ordenador P.e. Filtro de Bessel de segundo orden: ?B ancho de banda
Espectro de frecuencias |Y*(?)| ?0 No se suele representar un rango de frecuencias superior a ?/T porque es repetitivo y esas frecuencias no aparecen en la señal original ?/T Si las frecuencias del espectro no tienden a cero antes de ?/T ello es síntoma de un T inadecuado
Periodo de muestreo T |Y*(?)| ?0 ?/T El teorema de Shanon nos da un criterio para elegir un T adecuado para muestrear una señal, pero a veces es difícil de aplicar Criterio práctico: Escoger T de modo que corresponda a tomar entre 10 – 30 muestras del tiempo de asentamiento T
Periodo de muestreo En lazo cerrado normalmente los procesos son mas rápidos que en lazo abierto T Si se escoge T para un sistema de control, debe aplicarse la regla al tiempo de asentamiento esperado en lazo cerrado t t y y
¿Se puede recuperar y(t)? ? |Y(?)| ?0 (Gp:) ? (Gp:) |Y*(?)| (Gp:) … (Gp:) … (Gp:) Espectro discreto (Gp:) ?0 (Gp:) ?s (Gp:) 2?s (Gp:) -?s (Gp:) -2?s (Gp:) 1/T (Gp:) ?s/2 ? En teoría, si ?0 < ?/T, filtrando la señal muestreada con un filtro ideal se puede obtener la señal original Un filtro ideal no es realizable pero pueden hacerse aproximaciones
Reconstrucción de y(t) y(t) T y*(t) t Introduce un retardo en el cálculo Necesita infinitos datos
Reconstrucción Sen(x) /x Los coeficientes sinusoilades van decreciendo cuando nT de aparta del valor de t considerado Para t próximo a mT: 0.1283 1 7.7 14.1 0.0709
Reconstrucción Sen(x) /x 0.1283 1 7.7 14.1 0.0709 t mT (m+1)T (m-1)T (m+2)T (m-2)T Con m=3 |coeficientes| < 0.1
Mantenedores u(kT) t u(t) t u(kT) u(t) t Orden 0 ZOH Orden 1 ……
Tren de pulsos y*(t) y(t) t T t T y(t) T * = y*(t) t T ?(t) 1 Condiciones iniciales nulas
Transformada de y*(t) Ejemplos: 1 Salto unit. Exp. Decr. 1 Expresiones no racionales en s No adecuadas para el análisis
Transformada Z Dada la secuencia discreta f(0), f(1), f(2), ….f(k),… se define su transformada Z mediante: Donde z es una variable compleja Juega en los sistemas discretos un papel equivalente al que la transformada s de Laplace juega en los continuos Se suponen condiciones iniciales nulas t T f(k)
Ejemplos ?(t) 1 T Impulso unitario u(kT) 1 T Escalón unitario T e-akT 1 T Exponencial decreciente Funciones racionales de z
Tabla de transformadas Z
Propiedades de F(z) (1) Linealidad Retardos
Propiedades de F(z) (2) Valor inicial
Propiedades de F(z) (3) Valor final Supuesta estable Transformada Z inversa Donde el camino cerrado encierra las singularidades de F(z)
Propiedades de F(z) (4) Convolución
Función de transferencia pulsada en z T u(k) ZOH+Proceso T y(k) T u(k) y(kT) t T Transformada de la convolución H(z) transformada Z de h(kT)
Transformada s de un ZOH ZOH ?(t) 1 T y(t) 1 T Respuesta impulso del ZOH 1 T 1 T 1 T u(t) u(t-T) y(t) La función de transferencia es la transformada de la respuesta impulsional
Como calcular H(z) ZOH T u(k) T y(k) T u(k) y(kT) t T G(s)
Tabla de transformadas Z G(s)/s Z[G(s)/s]
Tabla de transformadas Z G(s)/s Z[G(s)/s]
Tabla de transformadas Z G(s)/s Z[G(s)/s]
Ejemplo: depósito (Gp:) q (Gp:) h (Gp:) F (Gp:) u T = 0.5 Polo = Autovalor = 0.535
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