Introducción a los procesos estocásticos de la maestría en ingeniería electrónica opción telecomunicaciones

INTRODUCCIÓN

A lo largo de la vida, el ser humano debe tomar decisiones que le permitan realizar acciones; y estas a su vez implican más y más decisiones; de tal manera que algunas traen consigo resultados positivos y otras no. Así, se ha visto en la necesidad de estudiar las probabilidades de ocurrencia de los eventos para anteponerse a ellos o bien para tomar medidas en función a esos resultados.

La probabilidad, expresa el grado de certeza y por ende posee un carácter de seguridad en torno a un suceso aleatorio, cuando es relacionado con un fenómeno determinístico. De allí que la probabilidad tiene un papel crucial en la aplicación de la inferencia estadística porque una decisión, cuyo fundamento se encuentra en la información contenida en una muestra aleatoria, pudiera tener un error. En este sentido, se presenta el siguiente informe monográfico, el cual se desarrolla en forma secuencial y organizada en tres partes:

En la primera, dedicada al estudio de las variables aleatorias, el proceso de Poisson, la distribución de Poisson, la distribución Gamma y la distribución Exponencial negativa.

En la segunda, orientada al estudio de la probabilidad condicional para las variables aleatorias discretas y continuas, en la cual se detallan la formula de Bayes, la probabilidad y las particiones, el teorema de Bayes, y los conceptos de probabilidad inicial y final.

Y en la tercera parte, se desarrolla la esperanza condicional para las variables aleatorias discretas y continuas, cuyos tópicos se centran en las definiciones de predicción, varianza, momentos, media, mediana, covarianza y correlación. En cada aspectos se muestran algunos ejemplos orientados a la practica profesional de la Ingeniería en Telecomunicaciones en el marco de la tecnología de las radiocomunicaciones aeronáutica y para finalizar se presentan las conclusiones y referencias bibliográficas y electrónicas que soportan la presente investigación.

DESARROLLO

1. Variables Aleatorias

El estudio de la probabilidad tiene como finalidad predecir el valor que pueda tener un evento, bajo ciertas condiciones. Este concepto, está relacionado con la calidad en la producción bien sea de bienes o servicios,, dado a que se pueden comprender y controlar datos y de allí hacer conclusiones e inclusive aplicar correctivos y disminuir tendencias negativas; o bien tomar medidas preventivas. Es por ello que este estudio, permite confiar en la probabilidad de que un evento suceda o no.

Tanto así que, existen procesos que poseen un carácter variable y de aleatoriedad; como el clima por citar un ejemplo. De allí que combinando estos aspectos, las variables aleatorias son definidas por Walpole, R. Myers, R. y Myers, S. (1999) como: "una función que asocia un número real con cada elemento del espacio muestral" (p. 51).

La definición anterior, se relaciona al espacio muestral, es decir a los diversos resultados que puede tener un determinado experimento, que ciertamente está asociado a condiciones no controladas e inclusive al azar. Este tipo de variables permite entonces convertir el resultado de un experimento en una forma numérica, y se utiliza particularmente cuando el investigador se centra en un aspecto específico del mismo, es decir en una muestra.

Para ejemplificar una variable aleatoria se puede tomar en consideración una situación en la que un estudiante de postgrado de la UNEXPO intenta estacionar su vehículo en el estacionamiento de la misma. Entonces puede conseguir un lugar para estacionarse (P) y hacerlo, o no encontrar sitio (N) y tener que salir del mismo. Con S = {P, N} la variable aleatoria (X) se puede definir mediante X (P) = 1, X (N) = 0. De manera que 1 indica que pudo estacionarse y 0 que no lo logró. Cabe acotar, que las variables cuyos únicos valores que puede tomar son 1 y 0 se conocen como variables de Bernoulli; no obstante en un sentido general se pueden clasificar las variables aleatorias en dos tipos: continuas y discretas.

Devore, J (2005) refiere que: "una variable aleatoria discreta es una variable aleatoria cuyos valores posibles constituyen un conjunto finito…// una variable aleatoria es continua si su subconjunto de valores posibles consiste en un intervalo completo en la recta numérica" (p. 100). Es decir que una variable aleatoria es discreta cuando puede tomar valores que se pueden contabilizar e incluso arreglar en forma secuencial, mientras que una variable aleatoria es continua si sus valores consisten en intervalos referenciados en la recta de los números reales.

En resumen, en el estudio probabilístico de cierto experimento se pueden considerar variables aleatorias para generalizar sus resultados posibles, y trabajar con las mismas sin tomar en consideración cual será el resultado final. Evidentemente, esta variable pertenece al conjunto del espacio muestral y puede ser un valor numérico, booleano, texto, etc. No obstante, se suele trabajar con los valores numéricos porque son los que aportan mayor cantidad de información al momento de medir magnitudes, o incluso realizar operaciones para establecer conclusiones de los resultados arrojados por dicho experimento.

Es importante destacar, que cuando un experimento arroja resultados textuales, o booleanos se establecen parámetros de codificación para transformar a forma numérica los elementos del espacio muestral. Por ejemplo, si se realizase un experimento en el que se observara ¿cuál es la rama de la ingeniería a la que pertenece el participante de la "Maestría en Ingeniería Electrónica Opción Telecomunicaciones" que entra primero al aula de clases?, el espacio muestral viniera dado por las ramas de la ingeniería que poseen cada uno de los estudiantes de dicho programa, ejemplo:

S = {Electrónica, Eléctrica, Sistemas, Telecomunicaciones}

Y la codificación sería algo como:

S = {1: Electrónica, 2: Eléctrica, 3: Sistemas, 4: Telecomunicaciones}

Nótese, que en el ejemplo anterior la variable aleatoria (X) viene determinada por la persona que entre primero al aula de clases (y la rama de la ingeniería a la que pertenece); y el experimento en general es disjunto ya que no van a entrar dos personas en forma simultanea.

Para el caso especifico de las variables aleatorias discretas, estas pueden tomar valores que son numerables, lo que da un carácter de posibilidad en cada punto aislado del espacio muestral; por ende hay una cantidad finita de valores posibles entre los resultados que puede arrojar un experimento. Por lo que en función a este tipo de variables aleatorias, se realizaron estudios de distribución que permiten agrupar el conjunto de valores posibles y relacionar a los mismos con sus respectivas probabilidades de ocurrencia.

1.1 Distribución y Proceso de Poisson

Particularmente, el proceso de Poisson toma en cuenta un continuo en el cual ocurren los eventos; de manera que se establece una relación entre estos dos aspectos.

Por ejemplo: si se evalúan la cantidad de fallas de un sistema cualquiera en 5 horas, el continuo sería el tiempo y los eventos serian las fallas que ocurren. La referencia al continuo no necesariamente está ligada al tiempo, tal que si se toma en consideración una rollo de cinta para impresoras y se cuentan los tramos en los que el rollo no posee tinta, el continuo sería la longitud de cinta que posee el rollo y los eventos la cantidad de tramos sin tinta.

En este orden de ideas, el proceso de Poisson toma en cuenta 3 variables a saber:

T: representa la longitud de un intervalo del continuo que va a estudiarse

K: representa la cantidad de eventos en ese intervalo:

?: representa la cantidad esperada de eventos por unidad de tiempo.

Estas 3 variables pueden observarse en el siguiente ejemplo: Si se considera un equipo de Radio Ayudas (DVOR) el cual falla 2 veces cada una hora, y se evalúa dicho evento durante 5 horas (desde las 13:00 hasta las 18:00), en los que falla 11 veces. Las variables serían vistas como:

T = 5 horas "el continuo – tiempo de evaluación" K= 11 eventos "cantidad de fallas registradas"

?= 2 eventos/hora "cantidad de eventos por horas"

De tal manera que, conocidas las cantidades de eventos que se registran en la evaluación (?) podría cuestionarse acerca de la cantidad de eventos en un determinado tiempo, o bien el tiempo que hay que esperar hasta observar una cantidad de eventos. De este planteamiento surgen 3 distribuciones de probabilidad a estudiar en la presente investigación: a) distribución de Poisson: en la cual se considera la cantidad de eventos en el periodo de evaluación – el continuo, b) distribución Gamma en la cual se determina la cantidad de tiempo necesario hasta observar cierta cantidad de eventos, c) distribución exponencial negativa, que es una derivación de la distribución Gamma y se determina la cantidad de tiempo para observar el primer evento.

El proceso de Poisson se caracteriza por ser estacionario, independiente en el número de resultados que suceden en un intervalo de tiempo o región del espacio y simple. De manera que, de acuerdo a este proceso la probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo de tiempo muy corto o en una región pequeña es proporcional al propio valor tomado como referencia (bien sea de tiempo o región); mientras que la probabilidad de que ocurra mas de un resultado en tal intervalo corto o que caiga en tal región es prácticamente insignificante.

En referencia a la distribución de Poisson, se utiliza cuando existe un determinado intervalo en el que suceden eventos y se necesita calcular la cantidad de éstos en dicho intervalo, de manera que para utilizar esta distribución se toma en consideración un parámetro denominado Media, que no es más que una tendencia estadística. Sus aplicaciones se evidencian con frecuencia en el control de calidad, la garantía de la calidad, el muestreo e incluso para estudios de confiabilidad.

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