Teoría de la inducción súbita en el aprendizaje perceptrónico (página 2)

de igual manera se pódria extrapolar esta distancia para mas dimensiones

a "q" se le denomina "punto pareado frontal de mínima distancia" de "p", o en su caso correspondería a "área pareada frontal de mínima distancia" .

De esta forma se pueden calcular las distancias fractales di,j, para cada punto de la frontera del patrón 1 o del patrón 0 mostrados en la figura 2.

Se busca la distancia fractal mínima posible. si la distancia fractal hallada no es la mínima, a partir de la respuesta generada, se puede acercar lograr la respuesta óptima, mediante el clásico algoritmo de convergencia perceptrónica.

Fracción fractal: corresponde a la fracción de una arista de visión de un punto , desde el cual se detecte la mínima distancia fractal de un sistema de patrones; tal fracción especifica las coordenadas espaciales o propiedades medibles, que determina los pesos sinápticos de el perceptrón capáz de reconecer tal sistema.

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Aunque el TEOREMA GENERAL DE LA INDUCCIÓN SÚBITA, se pude aplicar a un espacio, generando un plano recto de especificación perceptrónica, en este artículo se tratara el teorema especial de la inducción súbita, para generar una única línea de especificación perceptrónica.

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TEOREMA ESPECIAL DE LA INDUCCIÓN SUBITA

Dados los patrones "i" e "k" continuos o discretos; inmersos en un sistema de patrones planar . Sea z un punto del patrón i, con coordenadas (z1,z2), sea x de coordenadas (x1,x2), un punto pareado de mínima distancia dik de z, perteneciente al patrón k, y sea "y" con coordenadas (y1,y2), un punto tangencial del campo de visión de z con una arista de visión lik; entonces existen dos puntos u y t, ubicados respectivamente en a mitad de di,k y una fracción de lik, tales que la línea determinada por estos puntos, son las "especificación súbita" de las pesos sinápticos del peceptrón monocapa que diferencia el sistema de patrones.

Corolario de la inducción súbita en un plano:

Sea un sistema de dos patrones i,k que se puede describir mediante dos señales externas, y sea "z" un punto del patrón i, de coordenadas (z1,z2), con distancia fractal mínima dik y punto pareado frontal de mínima distancia x perteneciente al patrón k y coordenadas(X1,X2), y sea "y" un punto tangencial del campo de visión de z con coordenadas (y1,y2) pertenecientes al patrón i, y arista de visión lik, se cumple que:

-w0/w2=2f(-x2y1-x2z1+y2z1+x1y2+x1z2-y1z2)/2(2fx1-y1+2fz1-z1) (ec. 1.)

-w1/w2=(2fx2-y2+2fz2-z2) / (2fx1-y1+2fz1-z1) (ec- 2)

En donde:

f es fracción fractal.

w0+s1w1+s2w2 es la carga del perceptrón.

Con s1, y s2 señales del medio externo, w0 peso de tendencia, w1, w2 pesos sinápticos asociados a las señales externas.

APLICACIÓN

Sea un sistema perceptrónico representado por la siguiente topología

Inducción súbita aplicada al perceptrón p0:

Y2=12

Y1=2

X2=13

X1=0

Z2=8

Z1=2

Aplicando:

-w0/w2=2f(-x2y1-x2z1+y2z1+x1y2+x1z2-y1z2)/2(2fx1-y1+2fz1-z1)

-w1/w2=(2fx2-y2+2fz2-z2) / (2fx1-y1+2fz1-z1)

Asumiendo f=0.5 se tiene:

-w0/w2=(-13(2)-13(2)+12(2)+0+0-2(8))/2(0-2)

-w1/w2=(13-12)/(0-2)

Luego:

-w0/w2=(-26-26+24-16)/-4=11

-w1/w2=-1/2

Si w2=5

Entonces w1=2.5 y wo=-55

Prueba:

Eficiencia 100% de certeza, una iteración

Inducción súbita aplicada al perceptrón p1:

Y2=8

Y1=2

X2=11

X1=0

Z2=5

Z1=2

Patron 1=0

Aplicando:

-w0/w2=2f(-x2y1-x2z1+y2z1+x1y2+x1z2-y1z2)/2(2fx1-y1+2fz1-z1)

-w1/w2=(2fx2-y2+2fz2-z2) / (2fx1-y1+2fz1-z1)

Asumiendo f=.5 se tiene:

-w0/w2=(-11(2)-11(2)+8(2)+0+0-2(5))/2(0-2)

-w1/w2=(11-8)/(0-2)

Luego:

-w0/w2=9.5

-w1/w2=-1.5

Si w2=-5

Entonces w1=-7.5 y wo=-47.5

Prueba

Eficiencia 100% de certeza, una iteración

Inducción súbita aplicada al perceptrón p2:

Y2=5

Y1=2

X2=7

X1=0

Z2=2

Z1=2

Patrón 2=1

Aplicando:

-w0/w2=2f(-x2y1-x2z1+y2z1+x1y2+x1z2-y1z2)/2(2fx1-y1+2fz1-z1)

-w1/w2=(2fx2-y2+2fz2-z2) / (2fx1-y1+2fz1-z1)

Se tiene

-w0/w2=(-7(2)-7(2)+5(2)+0+0-2(2))/2(0-2)

-w1/w2=(7-5)/(0-2)

Si se asume f=.5 se tiene:

-w0/w2=5.5

-w1/w2=-1

Si w2=5

Entonces w1=5 y wo=-27.5

Prueba

Eficiencia 100% de certeza, una iteración

Conclusión

La inducción súbita reduce la complejidad matemática en el aprendizaje perceptrónico, generando pesos iniciales suficientemente a aproximados que se pueden evolucionar por el algoritmo clásico de aprendizaje perceptrónico o pesos iguales a los pesos de respuesta de un perceptrón que aprende con certeza.

Autor:

Jorge Humberto Vallejo Osorio.

Docente investigador UNICIENCIA-CALI

Cali-Colombia

Abril del 2009