Productos notables

Enviado por amor01_5

Definición

Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son :

( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
Binomio de Suma al Cuadrado
( a – b )2 = a2 – 2ab + b2
Binomio Diferencia al Cuadrado
( a + b ) ( a – b ) = a2 – b2
Diferencia de Cuadrados
( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3
= a3 + b3 + 3 ab (a + b)
Binomio Suma al Cubo
( a – b )3 = a3 – 3 a2b + 3 ab2 – b3
Binomio Diferencia al Cubo
a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)
Suma de dos Cubos

Diferencia de Cubos

a3 – b3 = ( a – b ) ( a2 + ab + b2)

Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio

( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

= a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)

Trinomio Suma al Cubo

( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)

Identidades de Legendre

( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)

( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab

Producto de dos binomios que tienen un término común

( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

Ejemplos :

Solución :
Aplicando producto notable en "a" que es una suma de binomios
x2 – 2x + 1 = ( x – 1)2
Luego : ( x – 1)2 (x2 + x + 1)2 + (x3 + 1)2
Aplicando en "d" diferencia de cubos, tenemos :
(x3 – 1)2 + (x2 + 1)2
(x3)2 – 2×3 (1) + 1 + (x3)2 + 2×3 (1) + 1
(x3)2 + (x3)2 + 2 = 2 (x3)2 + 2
= 2×6 + 2 = 2 (x6 + 1)
Efectuar : ( x2 – 2x + 1) ( x2 + x + 1)2 + ( x3 + 1)2
M = ( a + b ) ( a2 + b2 ) ( a3 – b3 ) (a2 – ab + b2) (a4 – a2 b2 + b4) + b12
Solución
Ordenando los productos notables tenemos :
( a + b ) ( a2 + b2 ) ( a3 – b3 ) (a2 – ab + b2) (a4 – a2 b2 + b4) + b12
* **
Aplicando : cubo de la suma de un binomio en " * ", tenemos :
( a + b ) (a2 – ab + b2) = a3 + b3
Aplicando el producto de suma de cubos en : "* *", tenemos :
( a2 + b2 ) (a4 – a2 b2 + b4) = a6 + b6
Remplazando en la expresión inicial tenemos :
( a3 + b3 ) ( a6 + b6 ) ( a3 – b3 ) + b12
Ordenando los factores tenemos :
( a3 + b3 ) ( a6 + b6 ) ( a3 – b3 ) + b12
¨
aplicando productos notables en "¨ " :
( a6 + b6 ) ( a6 + b6 ) = a12 – b12 + b12 = a 12 Rpta.
Simplificar :
Solución
Desarrollando las potencias mediante productos notables tenemos :
Simplificando y reduciendo términos semejantes tenemos :
K = a2 – b2 Rpta.
Simplificar :
Hallar el valor de P :

Solución :

à P = à à P = 91/2 à

P = 3 Rpta.

Hallar el valor de E :

Solución :

EJERCICIOS PARA LA CLASE

R = (a + b + c) (a + b – c) + (a + b – c) (a – b + c) + ( a – b + c) (b + c – a) +
( b – c + a) (b – c – a) – 4ab
Efectuar :
Reducir :
Calcular el valor de :
Simplificar :

N = (x-2) ( x + 3) (x – 4)(x+1) – x2 (x – 1)2 + 14x (x-1) – 24

5. Si:

Hallar el valor de K :

K = x(x + 1) ( x + 2) (x + 3)

LABORATORIO N° 01

1. (ax + 1)2 (ax – 1)2 (a2x + 1)2
2. (a + 2)( a – 2) (a2 – 2 a + 4) (a2 + 2 a + 4)
3. (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) ( x4 – x2 + 1) (x4 – 1)
Reducir :
A = ( x + 2)2 (x – 1)2 (x + 1)2 (x + 1)2 (x – 2)2
Hallar el valor de A :
Si : x + x-1 = 3 Hallar : E = x6 + x-6
a) ( x + 1/x)2 ; b) ( x4 – x + 3)2 ; c) (x4 – 9) (x4 – 7)
b) (x4 + 3)2 (x4 – 3)2 ; e) (x + y + 3) (x + y – 3); f) (x5 + 1) (x10 – x5 + 1)
g) ; h) ; i) (x – 2) (x-4) (x-9)
Efectuar :
La suma de dos números es 5 y su producto 5. ¿cuál es la suma de sus cubos?
La suma de dos números es 5 y la suma de sus cubos es 95. Hallar la suma de los cuadrados.
Simplificar :
Si : ( a + 1)2 = (+2) a calcular :
B = ( a + b + c)2 + (a + b – c)2 + (b + c – a)2 + ( c + a – b)2
Calcular :
Si : a + b + c = 2

a2 + b2 + c2 = 6

a3 + b3 + c3 = 17 Hallar : a . b . c

Si : A = ( x + 8) (x + 9) – (x + 7) ( x + 10)

B = ( x – 5) ( x – 4) – (x – 6 ) (x – 3) Hallar A . B

11. Simplificar :

12. Calcular :

W = a5 + b5

Si : a + b = 4

a . b = 2

Respuestas :

1) a) a4x; b) a6 – 64; c) x12 – 1; 2) A = x8 – 10 x6 + 33 x4 – 40×2 + 16; 3) E = 322

4) 50; 5) 21; 6) x + y; 7) 5 = 3; 9) 1; 10) 4; 11) x +a; 12) 464

DIVISIÓN ALGEBRAICA

Definición :

División algebraica es la operación que consiste en obtener una expresión llamada cociente y otra llamada residuo, conociendo otras dos llamadas dividiendo y divisor.

Así tenemos :	D	d	Donde :
	r	q	D : dividendo
			d : divisor
			q : cociente
			r : residuo

Nota Importante: En toda división la nomenclatura de grados es :

D° = grado de dividendo
d° = grado de divisor
q° = grado de cociente
r° = grado de residuo o resto

Propiedades fundamentales

D = dq ó
r = 0
Si la división es exacta, se obtiene un cociente exacto y el residuo de la división es un polinomio idénticamente nulo.
Si la división es inexacta se obtiene un cociente completo y el residuo de la división no es un polinomio idénticamente nulo.

D = d . q + r ó D = q + r/d

r ≠ 0

Propiedades de la división

q° = D° – d°
En toda división el grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.
D° ≥ d°
En toda división, el grado del dividendo es mayor o igual que el grado del divisor :
d° > r°
En toda división el grado del divisor es mayor que el grado del resto.
r maximo = d° – 1
En toda división el grado máximo del resto es igual al grado del divisor menos 1
En el caso de polinomios homogéneos el grado del resto es mayor que el grado del divisor : r° > d°
En el caso de polinomios homogéneos no se cumple la propiedad 4

Casos de la División

División de los monomios

Se aplica la regla de los signos en la división de signos.
Se dividen los coeficientes
Se dividen las letras aplicando teoría de exponentes.

Ejemplo :

Dividir : efectuando tenemos : S = -8×3 y2 z2

Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio, separando los coeficientes parciales en sus propios signos.
Ejemplo :
Dividir :
Solución :
Dividiendo cada término del dividendo entre el divisor, tenemos :
Efectuando tenemos :
K = 9 x2 y2 – 5×4 y4 z2 + 11×10 y7 z4
División de un Polinomio por un Monomio
En este caso se pueden usar cualquiera de los siguientes métodos :
1. Método clásico o normal
2. Método de coeficientes separados
3. Método de Horner
4. Método de Ruffini
ESTUDIO DE CADA UNO DE LOS SIGUIENTES METODOS
División de los Polinomios
Para dividir mediante este método se debe seguir los siguientes pasos :
Método Clásico o Normal
Se ordena los polinomios, generalmente en forma decreciente.
Se escribe en línea horizontal uno a continuación de otro utilizando el signo de división aritmética.
Se divide el primer término del dividendo, entre el primer termino del divisor, obteniéndose el primer término del cociente.
Este término se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se pasan a restar con los correspondientes términos del dividendo.

Se divide el primer término del resto obtenido entre el primer término del divisor y se obtienen el segundo término del cociente.

Ejemplo : Hallar el cociente en la siguiente división :

Solución : Ordenamos ambos polinomios en forma decreciente, la operación se dispone en la forma siguiente :

6×5 – 21×4 – 13×3 + 25×2 – 12x + 7		3×4 + 0x3 + 0x2 – 2x + 1
– 6×5 – 0x4 – 0x3 + 4×2 – 2x		2x – 7
	-21×4 – 13×3 + 29×2 – 14x + 7
	21×4 + 0x3 + 0x2 – 14x + 7
	-13×3 + 29×2 – 28x + 14

Donde : cociente ( q ) = 2x – 7

Residuo ( r ) = -13×3 + 29×2 – 28x + 14

Se procede como en el pasa 4 y así sucesivamente hasta terminar la división.
En este caso, además de los consideraciones anteriores se debe tener en cuenta :
Método de Coeficientes Separados
Se trabajan solamente con los coeficientes y sus correspondientes signos del dividendo y divisor.
En el caso de faltar un término con una potencia de la variable se coloca en su lugar cero, en el divisor.

De esta manera se obtiene los coeficientes con sus signos del polinomio cociente.

q° = D° – d

r° = d – 1

Este método es recomendable para polinomios de una sola variable.

Ejemplo : Efectuar la siguiente división :

Solución : Observamos que el polinomio dividendo y divisor están ordenados.

Luego :

6 – 20 – 13 + 25 – 12 + 7				3 – 1 + 1
– 6 + 2 – 2				2 – 6 – 7 + 8
	– 18 – 15 + 25
	18 – 6 + 6
		-21 + 31 – 12
		+21 – 7 + 7
			24 – 5 + 7
			-24 + 8 – 8
			+ 3 – 1

El cociente ( q ) es de grado : q° = D° – d° = 5 – 2 = 3

El cociente es q = 2×3 – 6×2 – 7x + 8

el de grado : r° = d° – 1 = 2 – 1 = 1

El resto ( r ) es de grado r = 3x – 1

Para determinar el grado del cociente y resto se aplican las propiedades :
Método de Horner

Este método es un caso particular del método de coefientes separados y se emplea para la división de dos polinomios de cualquier grado.

Procedimiento :

Se escribe los coeficientes del dividendo en una fila con su propio signo
Se escribe los coeficientes del divisor en una columna a la izquierda del primer término del dividendo; el primero de ellos con su propio signo y los restantes con signo cambiado.
El primer término del dividendo se divide entre el primer término del divisor, obteniéndose el primer término del cienote.
Se multiplica este término del cociente solamente por los términos del divisor a los cuales se cambio de signo, colocándose los resultados a partir de la segunda fila, corriendo un lugar hacia la derecha.
Se reduce la siguiente columna y se coloca el resultado en la parte superior para dividirlo entre el primer coeficiente del divisor y obtener el segundo termino del cociente.
Se multiplica este cociente por los términos del divisor a los cuales se cambió de signo, colocándose el resultado en la tercera fila y corriendo un lugar hacia la derecha.
Se continuaría este procedimiento hasta obtener el término debajo del último termino del dividendo, separando inmediatamente los términos del cociente y resto.
Para obtener los coeficientes del residuo se reducen directamente cada una de las columnas que pertenecen.

Ejemplo Efectuar la división polinómica expresada por :

Solución :

Los grados del cociente y residuo serán :

q° = D° – d° = S – 2 = 3

r° = d° – 1 = 2 – 1 = 1

Procedimiento :

	Columna	Cocientes del dividendo

			12	– 4	+ 8
Fila	4	8	+ 14	+ 5	+16	+ 3	+ 2
Coeficiente que si se les cambia de signo	-1		-2	– 6
	-3			– 3	– 9
					+ 1	+ 3
						– 2	– 6
		2	3	– 1	2	4	– 4

		Coeficiente del cociente				Coeficiente del resto

Explicación

Se divide 8 entre 4, igual a 2, este resultado es el primer coeficiente del cociente

2 se multiplica por los términos del divisor, a los cuales se le cambió de signo ( -1; -3), dando como resultado : -2; -6 que se colocan en la fila corriendo un lugar hacia la derecha.

Se suma a la segunda columna ( correspondiente al dividendo) y el resultado se divide entre 4 igual a 3, este valor es el segundo coeficiente del cociente.

3, se multiplica por ( -1; – 3) y da la tercera fila : -3 ; – 9, corriendo un lugar hacia la derecha.

Se suma la tercera columna, da – 4, se divide entre 4, da – 1; este resultado es el tercer coeficiente del cociente.

-1, se multiplica por ( -1; -3) y da la fila : +1; +3, corriendo un lugar a la derecha.

Se suma la cuarta columna, da +8, se divide entre 4, da 2, este resultado es el cuarto coeficiente del cociente.

2, se multiplica por ( -1) y (-3) y da la fila : -2 y -6

como el último término de este producto queda debajo del último coeficiente del dividendo 2, se separa con una línea los términos obtenidos los cuales pertenecen al cociente.

Se reducen las siguientes columnas, da 4 y -4 y se baja directamente, y se bajan directamente y vienen a ser los coeficientes del resto.

Entonces : Q(x) = 2×3 + 3×2 – x + 2 ( cociente obtenido)

R(x) = 4x – 4 ( residuo obtenido)

2. Dividir :

Solución : q° = D° – d°

q° = 5 – 2 = 3

r° = d – 1 = 2 – 1 = 1

Solución :

		– 18	– 21	24
3	6	– 20	– 13	+ 25	– 12	+ 7
1		2	– 2
-1			– 6	+ 6
				– 7	+ 7
					+ 8	– 8
	2	– 6	– 7	+ 8	+ 3	– 1

Q (x) = 2×3 – 6×2 – 7x + 8

( cociente obtenido )

R (x ) = 3x – 1

( residuo obtenido)

Regla de RUFFINI

Esta regla, es un caso particular del método de Horner. Se aplica en general para dividir un P(x) entre un divisor que tenga o adopte las siguientes formas :

x ± b ; ax ± b y axn ± b

Se estudian 3 casos :

Cuando el coeficiente del primer término del divisor es diferente de cero.

su forma general : x ± b . se opera así :

Se escriben los coeficientes del dividendo en línea horizontal;
Se escribe el término independiente del divisor, con signo cambiado, un lugar a la izquierda y abajo del coeficiente del primer término del dividendo;
Se divide como en el caso de Horner, teniendo presente que el primer coeficiente del cociente es igual al primer coeficiente del dividendo.
Ejemplo :
1. Solución :
  Escribimos los coeficientes en el respectivo cuadro ( completando con ceros los términos que faltan):
  q° = D° – d° = 5 – 1 = 4
  r° = d° – 1 = 1 – 1 = 0
  
  Cocientes del dividendo
  
  2
  0
  1
  0
  3
  2
  – 1
  
  – 2
  2
  – 3
  3
  – 6
  
  2
  – 2
  3
  – 3
  6
  – 4
  
  Resto
  
  Coeficiente del cociente
  
  Termino Independiente del divisor con signo cambiado
  Entonces : Q(x) = 2×4 – 2×3 + 3×2 – 3x + 6 ( cociente obtenido)
  R(x) = 4 ( residuo obtenido)
2. Obtener el cociente y el resto en la división :
3. Efectuar :
Para obtener el cociente, se separa la última columna que viene a ser el resto.

Solución : ordenando y completando el polinomio dividiendo tenemos :

Operando tenemos :

q° = D° – d° = 6 – 1 = 5

r° = d – 1 = 1 – 1 = 0

Cocientes del dividendo

	3	0	2	– 3	0	0	5
2		6	12	28	50	100	200
	3	6	14	25	50	100	205
							Resto
	Coeficiente del cociente

Donde :

Cociente obtenido : 3

Residuo obtenido :

Cuando el coeficiente del primer término del divisor es diferente de cero.

Su forma general es : ax ± b

Se transforma el divisor, extrayendo factor común, el primer término del divisor, es decir :
( ax ± b) = a ( a ± b/a )
Se divide entre ( x ± b/a) , como en el primer caso.
Los coeficientes del cociente obtenido se dividen entre el primer coeficiente del divisor.
El resto obtenido no sufre alteración

Ejemplo : Hallar cociente y resto en :

Solución :

a) Se factoriza 3 así :

b) Dividiendo entre x + 2/3

c) Previamente se completa el dividendo con cero

Operamos así :

Ordenando y completando los coeficientes de el polinomio, tenemos :

18	0	– 29	– 5	– 12	– 16
	– 12	8	14	– 6	12
18	– 12	– 21	9	– 18	– 4

Donde :

Cociente obtenido : 18×4 – 12×3 – 21×2 + 9x – 18

Residuo obtenido : – 4

En este caso para que la división se pueda efectuar los exponentes de la variable del dividendo, deben ser múltiplos del exponente de la variable del divisor.
Ejemplo Hallar el cociente y el resto en :
Solución :
Observamos que los exponentes de la variable del dividendo son múltiplos del exponente del divisor (9), por lo tanto, se puede aplicar el método.
Haciendo : x9 = y, la división es :
3y + 1 = y + 1/3 = 0 Þ y = -1/3

6
+ 17
– 16
+ 17
+ 12
-1/3

– 2
– 5
7
– 8

6
+ 15
– 21
+ 24
4

Cociente primario : 6y3 + 15y2 – 21y + 24
Simplificando tenemos ( dividiendo entre 3) : 2y3 + 5y2 – 7y + 8
Reemplazando : y = x9 , el cociente será : 2×27 + 5×18 – 7×9 + 8
Y de residuo o resto, tenemos : R = 4
LABORATORIO N° 02
Cuando el divisor es de la forma : axn + b
Calcular el cociente y el resto de la división
Calcular A + B; si la división en exacta :
El resto obtenido es un Polinomio idénticamente nulo.
Calcular : "m" y "n" si la división :
Dividir por el método de Horner :
Banco A : ( x5 – 5×2 + 2) soles
Banco B : ( 6×3 + 7×6 – 6) soles
Banco C : (2×4 – 2×2 + x ) soles
Banco D : ( – 2×4 – 6×3 + 5) soles
Si quisiera repartir entre (x2 + x + 1) personas entre partes iguales. ¿cuánto le tocará a cada uno?
Mi capital esta en las siguientes bancos :
a)
b)
c)
d)
PROBLEMAS RESUELTOS
Dividir :
Solución :
7
28
2
-7
22
-16
3

12
– 20

6
– 10

– 9
15
-5

4
2
– 3
3
– 1
Q(x) : 4 x2 + 2 x – 3
R(x) : 3 x – 1
Efectuar por el método de Horner
Solución : Haciendo : 4x + 3 = 0
4 x = -3
x = – 3/4
20
-13
-13
14
-3/4

-15
21
– 6

20
– 28
8
8
Q(x) = 5×2 – 7 x + 2
R(x) = 8
Hallar Cociente y Resto por Ruffini
es exacta
Por método de Horner
2
6
0
– 13
a
– b
4

12
– 15

24
– 30

– 8
10
– 5

3
6
– 2
(a – 38) . (-b + 10)
Si es exacta R = 0
a – 38 = 0
a = 38 – b + 10 = 0
b = 10 a + b = 48 rpta.
Hallar ( a + b ) si la división
+ 1
1
a + 1
a + b
b + 1
a
b
– a

– a
– b

– a
– b

– b

0
0

– a
– b

1
1
0
1
0
0
Resto = 0

Hallar el resto por método de Horner

deja 4 de resto

21×4 – 41×3 – 23×2 + mx – 16				3 x – 5
-21×2 + 35×3				7×3 – 2×2 11x + 4
	-6 x3 – 23×2 + mx – 16
	+6×3 – 10×2
– 33×2 + mx – 16
		+ 33×2 – 55 x
(m – 55)x – 16
			– 12 x + 20
(m – 67) x + 4

m – 67 = 0

m = 67

TAREA

1. Resolver por el método de Horner

Q(X) = 4×2 + 7 x + 2

R(X) = 10 x + 1

Calcular "m" si la división
a) b)
Q(X) = 4×2 + 13 x + 33 Q(X) = 5×2 + 7x + 4
R = 67 R = 12
Resolver por el método de Ruffini
es 5
por el método de ruffini. R : a = 19
Hallar "a" si el resto de la división :
Q(X) = 4 x2 – 2x + 3
R(X) = 3×2 + 6 x – ( a + 9)
Hallar el resto y cociente por le método de Horner
1. 4×4 + 2×3 – 12×2 + 35x – 25 : 2×2 + 4x – 5
2. x6 + x5 y – 7×4 y2 + 12×3 y3 – 13×2 y4+7x y5 – y6 : x2 – 2 x y + y2
3. xm+2 – 5xm – 3xm+1 + 20xm-1 + 25xm-3 : xm – 3xm-1 + 5xm-3
4. x2n – 4x2n-2 + 5x2n-3 + 2x2n – 4 – 2x2n-4 : xn – xn-1 + xn-2
Dividir por el método clásico :
Teorema del Resto
Es el método por el cual se obtienen el residuo de una división algebraica sin efectuar división.
1° El divisor se iguala a cero
2° Conseguiremos el resto Remplazando el valor anterior en el dividendo D
Ejemplos
Calcular el resto de las divisiones :
1) 2n4 – 5n3 + 7n2 – 9n + 3 ÷ ( n – 1 )
Solución
1° n – 1 = 0
2° n = 1 se reemplaza en el dividendo :
n = 1R = 2n4 – 5n3 + 7n2 – 9n + 3
R = 2( 1)4 – 5(1)3 + 7(1)2 – 9(1) + 3
R = 2 – 5 + 7 – 9 + 3
R = – 2 Residuo
Dividir entre monomios y polinomio entre monomio
2×4 – 4×2 + 3x + 6 ÷ 3 + 2
Solución
3x + 2 = 0
3x = – 2
x = -2/3
se reemplaza en :
2×4 – 4×2 + 3x + 6
Hallar el residuo de los siguientes derivados