FACTORIZABLE Con 3 factores o mas. | La expresión aparece como un producto de 3 factores simples o compuestos. -La expresión puede estar indicada como suma, multiplicación, división, potencia o raíz. Pero al efectuar las operaciones algebraicas básicas no existe la posibilidad de despejar la variable sin que quede en términos de ella misma, quedando en cambio una expresión dada en sumandos que contiene la variable repetida con diferente exponente. Usualmente para que resulten tres factores se requiere de 2 o mas factorizaciones o emplear el método de factorización por evaluación. -La expresión aparece como una expresión algebraica elevada a potencia tres. |
Nota: -Si se consideran mas de 3 factores se agregan los factores adicionales con
– Los factores
son expresiones algebraicas que contienen la variable. | -Si la expresión aparece expresada en 3 factores o mas desigualados a cero, se procede a aplicar el método de solución seleccionado. -Si la expresión no aparece expresada en 3 factores o mas desigualados a cero, se realizan las operaciones indicadas, desigualando a cero la expresión y considerando el símbolo especifico de la desigualdad de la expresión inicial, posteriormente se lleva a la forma indicada, utilizando cualquiera de los 12 casos de factorización que corresponda a la expresión dada. – Finalmente se procede a aplicar el método de solución de inecuaciones seleccionado | II. Propiedades III. Intervalos consecutivos IV. Signos | Se reemplazan las expresiones La formula de la propiedad correspondiente y se hallan los intervalos solución de cada una de las partes y se realizan las correspondientes operaciones entre conjuntos para obtener la solución final.
| -Se procede de igual forma a como se procede con 2 factores, pero considerando los factores adicionales. | -Se procede de igual forma a como se procede con 2 factores, pero considerando los factores adicionales. | ||||
CON UNA VARIABLE RACIONAL DIVISIBLE O SIMPLIFICABLE | – La expresión aparece como un fraccionario algebraico. -La expresión puede estar indicada como suma, multiplicación, división, potencia o raíz. Pero al efectuar las operaciones algebraicas básicas, no existe la posibilidad de despejar la variable sin que quede en términos de ella misma, quedando en cambio una expresión dada en fraccionario, que contiene la variable repetida con diferente exponente en numerador, denominador o ambos o bien aparece la variable tanto en el numerador como en el denominador. |
Nota: Para que | -Si la expresión aparece expresada en un cociente con un solo fraccionario desigualado a cero, se factoriza numerador y denominador si son factorizables y se procede a aplicar el método de solución seleccionado. -Si la expresión no aparece expresada en un cociente con un solo fraccionario desigualado a cero, se realizan las operaciones indicadas, aplicando cualquiera de los casos de simplificación, de tal forma que quede expresada en un solo fraccionario cuyo numerador y denominador si son factorizables se deben factorizar, dicho fraccionario se desiguala a cero considerando el símbolo especifico de la desigualdad de la expresión inicial, de tal manera que quede expresada en la forma indicada. – Finalmente se procede a aplicar el método de solución de inecuaciones seleccionado. | II. Propiedades III. Intervalos consecutivos IV. Signos | Se reemplazan las expresiones formula de la propiedad correspondiente y se hallan los intervalos solución de cada una de las partes y se realizan las correspondientes operaciones entre conjuntos para obtener la solución final.
Nota: | -Se toma el fraccionario resultante de la simplificación , el numerador pasara a ser -Se despeja la variable en cada una de las expresiones que conforman el numerador y el denominador, cuyos resultados numéricos son las raíces de cada factor o los ceros de la expresión. -Se construyen intervalos consecutivos desde -8 hasta 8, considerando las raíces y el símbolo especifico de la desigualdad de la expresión inicial – Se elige un valor arbitrario perteneciente a cada uno de los intervalos y los ceros de la expresión -Los valores arbitrarios y los ceros se evalúan, reemplazando cada uno de sus valores en la expresión inicial o en dicha expresión ya desigualada a cero y verificando si hace verdadera la inecuación planteada. -Se seleccionan los intervalos cuyo valor arbitrario y cero cumplió y se unen mediante análisis grafico, esta será la solución de la inecuación propuesta. | Se toma el fraccionario resultante de la simplificación , el numerador pasara a ser -Se despeja la variable en cada una de las expresiones que conforman el numerador y el denominador, cuyos resultados numéricos son las raíces de cada factor o los ceros de la expresión -Se toman cada uno de los factores del numerador y del denominador y se construye el esquema de signos, el cual es la grafica de los posibles valores que puede tomar la variable en la recta numérica. se parte la recta elaborada para cada factor en el valor del cero o ceros c de cada factor, indicando que en ese punto el factor se hace cero y a partir de allí, los valores que tome la variable hacen que se presente un cambio de signo en el factor considerado, hasta que se presente un nuevo cero en el factor . – Se copia la expresión inicial factorizada, la cual recoge todos los factores ,pero sin considerar el signo de la desigualdad y se le efectúa la recta numérica general, la cual se parte en todos los ceros o raíces consideradas previamente en cada factor, indicando que en cada uno de esos puntos , la expresión inicial se hace cero y se presenta un cambio de signo. – Se multiplican los signos de cada intervalo de cada factor y se ubican como resultado general en la tabla numérica general. -Si la expresión inicial fue desigualada con mayor o bien mayor o igual a cero, se seleccionan los intervalos de la recta numérica general con signo positivo, los cuales se unen para obtener la respuesta de la inecuación planteada. -Si la expresión inicial fue desigualada con menor o bien menor o igual a cero, se seleccionan los intervalos de la recta numérica general con signo negativo, los cuales se unen para obtener la respuesta de la inecuación planteada | ||||
CON UNA VARIABLE RADICABLE | -La expresión contiene la variable dentro del radical y también puede estar adicionalmente fuera de el. | Nota: Para que | -Se realizan las operaciones indicadas y se lleva a la forma indicada desigualando la expresión a una expresión c y luego se despeja el radical Para y poder despejar la variable de la inecuación, se requiere la aplicación de las propiedades de despeje simple de ecuaciones polinómicas agrupables una vez el radical este despejado se elevan ambos lados de la inecuación a la potencia del índice del radical . – Una vez se ha suprimido el radical que contiene la variable se efectúan las operaciones indicadas para identificar el tipo de inecuación obtenido la cual puede ser : polinomica, factorizable, racional, de valor absoluto. Dicha inecuación se soluciona por el método seleccionado. | II. Propiedades III. Intervalos consecutivos IV. Signos | Se reemplazan las expresiones la formula de la segunda columna que corresponda luego se despeja el radical y se considera como c para aplicar esta propiedad, toda la expresión que quedo al otro lado de la inecuación ,se hallan los intervalos solución de cada una de las partes y se realizan las correspondientes operaciones entre conjuntos para obtener la solución final.
porque la variable puede estar presente en radicales con índice igual o diferente y efectuando determinadas operaciones. una vez suprimido el radical mediante esta propiedad ,se mira el tipo de inecuación obtenido y si se selecciona como método de solución propiedades se aplican las propiedades que corresponden para :polinomica, factorizable, racional, de valor absoluto. | se mira el tipo de inecuación obtenido y si se selecciona como método de solución intervalos consecutivos se aplican las reglas que corresponden para polinomica, factorizable, racional o de valor absoluto dependiendo del tipo de inecuación. | se mira el tipo de inecuación obtenido y si se selecciona como método de solución signos se aplican las reglas que corresponden para polinomica, factorizable, racional o de valor absoluto dependiendo del tipo de inecuación. | ||||
CON UNA VARIABLE COMPUESTA | -La expresión contiene dos signos de desigualdad. |
Otra propiedad llamada transitiva o de tricótoma es:
Nota: | Se lleva la inecuación compuesta a dos inecuaciones no compuestas, tomando como primera inecuación la parte que contiene a :
con su respectivo signo de inecuación. Como segunda inecuación se considera la parte que contiene a Ambas inecuaciones se interceptan para poder encontrar su solución y es a partir de esta expresión que se elige el método de solución deseado. Veamos un ejemplo de cómo hacer de una inecuación compuesta dos inecuaciones simples. Sea:
al trasformar esta inecuación compuesta en dos simples se obtiene:
| I. Despeje de variables II. Propiedades III. Intervalos consecutivos IV. Signos | Las 2 inecuaciones resultantes o una de ellas puede ser polinómica agrupable por lo cual cada una se resuelve como tal y se intercepta con el otro resultado obtenido. | Las 2 inecuaciones resultantes o una de ellas pueden ser factorizables, racionales, con raíz, de valor absoluto por lo cual cada una se resuelve como tal y se intercepta con el otro resultado obtenido. | Las 2 inecuaciones resultantes o una de ellas pueden ser factorizables, racionales, con raíz, de valor absoluto por lo cual cada una se resuelve como tal y se intercepta con el otro resultado obtenido. | ||||
CON UNA VARIABLE DE VALOR ABSOLUTO | -Trozos o partes de la expresión pueden estar encerradas en barras de valor absoluto |
| II. Propiedades III. Intervalos Consecutivos | Se reemplazan las expresiones en la formula de la propiedad correspondiente, se hallan los intervalos solución de cada una de las partes y se realizan las correspondientes operaciones entre conjuntos para obtener la solución final.
Nota: variable.
| -Se hallan los ceros o raíces de las partes de la expresión inicial que están en el interior de las barras de valor absoluto, igualando dichas partes a cero y despejando la variable. -Se forman intervalos abiertos consecutivos desde considerando la raíz o raíces obtenidas en el paso anterior. – Se determina si cada uno de los intervalos obtenidos, contiene valores para la variable positivos y negativos o solo positivos o solo negativos. – Se toman cada uno de los intervalos así: Si el signo de los valores que lo conforman es negativo solamente, se toma la expresión inicial y en las partes donde hay barras de valor absoluto, se cambian dichas barras por un paréntesis y se antepone un menos, se efectúan las operaciones indicadas, obteniéndose así una nueva inecuación proveniente de la expresión inicial pero sin barras de valor absoluto. Esta nueva inecuación se Soluciona por cualquier método de solución de inecuaciones deseado dependiendo del tipo de inecuación obtenida ( agrupable, factorizable, racional) y se halla el intervalo solución para la inecuación obtenida. Este intervalo obtenido se intercepta con el intervalo para el cual se realizo el análisis. Esta será la solución uno. S1 -Si el signo de los valores que lo conforman es positivo solamente, se toma la expresión inicial y en las partes donde hay barras de valor absoluto, se cambian dichas barras por un paréntesis y se antepone un mas, se efectúan las operaciones indicadas, obteniéndose así una nueva inecuación proveniente de la expresión inicial pero sin barras de valor absoluto. Esta nueva inecuación se Soluciona por cualquier método de solución de inecuaciones deseado dependiendo del tipo de inecuación obtenida ( agrupable, factorizable, racional) y se halla el intervalo solución para la inecuación obtenida. Este intervalo obtenido se intercepta con el intervalo para el cual se realizo el análisis. Esta será la solución dos. S2 . -Si el signo de los valores que lo conforman son positivos y negativos se toma el intervalo y se hace primero el análisis para los valores con un signo y luego para los valores con el otro signo, pero considerando el mismo intervalo así: para considerar solamente los valores que lo conforman con signo negativo, se toma la expresión inicial y en las partes donde hay barras de valor absoluto, se cambian dichas barras por un paréntesis y se antepone un menos, se efectúan las operaciones indicadas, obteniéndose así una nueva inecuación proveniente de la expresión inicial pero sin barras de valor absoluto. Esta nueva inecuación se Soluciona por cualquier método de solución de inecuaciones deseado dependiendo del tipo de inecuación obtenida ( agrupable, factorizable, racional) y se halla el intervalo solución para la inecuación obtenida. Este intervalo obtenido se intercepta con el intervalo para el cual se realizo el análisis. Esta será la solución uno. S 3 – para considerar solamente los valores que lo conforman con signo positivo, se toma la expresión inicial y en las partes donde hay barras de valor absoluto, se cambian dichas barras por un paréntesis y se antepone un mas, se efectúan las operaciones indicadas, obteniéndose así una nueva inecuación proveniente de la expresión inicial pero sin barras de valor absoluto. Esta nueva inecuación se Soluciona por cualquier método de solución de inecuaciones deseado dependiendo del tipo de inecuación obtenida ( agrupable, factorizable, racional) y se halla el intervalo solución para la inecuación obtenida. Este intervalo obtenido se intercepta con el intervalo para el cual se realizo el análisis. Esta será la solución dos. S 4 . – La solución final o total de la inecuación esta dada por la unión de todos los intervalos obtenidos en cada una de las soluciones. Para el caso de la explicación anterior ST = S1 U S2 U S3 U S4 | ||||||
CON UNA VARIABLE SISTEMAS DE INECUACIONES | Son 2 o mas inecuaciones que aparecen juntas cada una con una sola variable, la cual puede estar repetida con igual o distinto exponente. Esto también se presenta para inecuaciones por tramos. | Cada inecuación se soluciona por separado, llevándola a la forma que corresponda dependiendo del tipo de inecuación que sea cada una. Finalmente se interceptan los resultados obtenidos de cada una de las soluciones y esta es la solución final de la inecuación. | Se utilizan las propiedades requeridas dependiendo de los tipos de inecuaciones que contenga el sistema de inecuaciones. | I. Despeje de variables II. Propiedades III. Intervalos consecutivos IV. Signos | se miran los tipos de inecuación a solucionar y si se elige como método de solución propiedades, se aplican las reglas que corresponden para inecuaciones polinomicas agrupables factorizables, racionales o de valor absoluto dependiendo del tipo de inecuación | se miran los tipos de inecuación a solucionar y si se elige como método de solución intervalos consecutivos, se aplican las reglas que corresponden para inecuaciones polinomicas agrupables factorizables, racionales o de valor absoluto dependiendo del tipo de inecuación . | se miran los tipos de inecuación a solucionar y si se selecciona como método de solución signos, se aplican las reglas que corresponden para inecuaciones polinomicas agrupables factorizables, racionales o de valor absoluto dependiendo del tipo de inecuación | ||||
CON 2 VARIABLES SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES SIMULTANEAS | Son 2 o mas inecuaciones que aparecen juntas cada una con dos variables diferentes | -Se convierte cada inecuación a ecuación cambiando el signo de la desigualdad por el igual -Se grafica cada una de las ecuaciones en el plano cartesiano bidimensional -Se sombrean los semiplanos cuyos puntos satisfacen cada una de las inecuaciones, si la inecuación inicial despejadas las variables a un mismo lado es mayor o igual o mayor , se sombrea el plano completo hacia la derecha y/o hacia arriba. si la inecuación inicial despejadas las variables a un mismo lado es menor o igual o menor , se sombrea el plano completo hacia la izquierda y/o hacia abajo se solucionan las ecuaciones por cualquiera de los métodos de solución de ecuaciones: Eliminación igualación sustitución determinantes -El punto o puntos de solución, si la tiene. para las variables del sistema de ecuaciones obtenido corresponde al punto o puntos donde se cortan todas las ecuaciones o limites de las inecuaciones -La región que queda sombreada por todas las inecuaciones, ósea la intersección de los conjuntos solución de cada inecuación, corresponde a la solución del sistema de inecuaciones o intervalo de puntos factibles de solución. -La intercepción de semiplanos cerrados recibe el nombre de conjunto convexo poligonal o conjuntos de puntos factibles, este conjunto puede tener una área finita definida por una figura geométrica o bien una área infinita, cuando el área es finita, el vértice de la figura que esta mas arriba es el punto de máximo y el punto que esta mas abajo es el punto de mínimo. | Solución de sistemas de ecuaciones 2×2 | -Eliminación -igualación -sustitución -Determinantes | |||||||
CON 3 VARIABLES SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES SIMULTANEAS | Son 3 o mas inecuaciones que aparecen juntas cada una con tres variables diferentes | -Se convierte cada inecuación a ecuación cambiando el signo de la desigualdad por el igual -Se grafica cada una de las ecuaciones en el plano cartesiano tridimensional -Se sombrean los semiplanos cuyos puntos satisfacen cada una de las inecuaciones, si la inecuación inicial despejadas las variables a un mismo lado es mayor o igual o mayor , se sombrea el plano completo hacia la derecha y/o hacia arriba. si la inecuación inicial despejadas las variables a un mismo lado es menor o igual o menor , se sombrea el plano completo hacia la izquierda y/o hacia abajo se solucionan las ecuaciones por cualquiera de los métodos de solución de ecuaciones: Eliminación igualación sustitución determinantes -El punto o puntos de solución, si la tiene. para las variables del sistema de ecuaciones obtenido corresponde al punto o puntos donde se cortan todas las ecuaciones o limites de las inecuaciones -La región que queda sombreada por todas las inecuaciones, ósea la intersección de los conjuntos solución de cada inecuación,corresponde a la solución del sistema de inecuaciones o intervalo de puntos factibles de solución. -La intercepción de semiplanos cerrados recibe el nombre de conjunto convexo poligonal o conjuntos de puntos factibles, este conjunto puede tener una área finita definida por una figura geométrica o bien una área infinita, cuando el área es finita, el vértice de la figura que esta mas arriba es el punto de máximo y el punto que esta mas abajo es el punto de mínimo. Para maximizar o minimizar una función sujeta a determinadas restricciones se reemplazan los vértices del conjunto convexo poligonal (x; y) en la función , y se efectúan las operaciones indicadas para obtener el valor numérico representativo de cada vértice, si se va maximizar la función se selecciona el mayor valor numérico con su respectivo vértice y si se va a minimizar la función se selecciona el menor valor numérico con su respectivo vértice . Lo anterior representa la combinación para (x, y) requerida para que se cumpla la maximización o minimización deseada. | Solución de sistemas de ecuaciones 3×3 | -Eliminación -igualación -sustitución -Determinantes | |||||||
son expresiones algebraicas que contienen la variable ,
en la
no puede ser igual a cero.
y el y el denominador b, cada uno de los cuales se igualan a cero.
siempre contendrá la variable; 
y 
en
y 
es una expresión que contiene la
puede ser una expresión que contiene la variable o bien un numero cualquiera.
hasta 
Autor:
Luz Marina Sarrazola G.
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