FORMAS DE EXPRESAR FUNCIONES BOOLEANAS Forma POS (Suma de productos) Suma (OR) de términos productos (AND), formadas por varias variables complementadas o no. Forma POS (Producto de sumas) Productos (AND) de términos sumas (OR) formados por varias variables complementadas o no.
f(a,b,c) = a’bc + ab’c’ + abc + c Términos producto f(a,b,c) = (a + b + c) (a + b’ + c) (c’ + a) Términos suma Formas de representación
FORMAS CANONICAS En una expresión en forma canónica, cada variable aparece en cada termino. Mintermino: Termino de producto en el cual cada variable aparece una sola vez en su forma verdadera o complementada pero no ambas. Maxtermino: Termino de suma en el cual cada variable aparece una sola vez en su forma verdadera o complementada, pero no en ambas.
FORMAS CANONICAS F(A,B,C) = (A+B+C)(A+B’+C)(A’+B+C) = M0.M2.M5 f(a,b,c) = A’B’C+A’BC+AB´C+ABC’+ABC = m1 + m3 + m5 + m6 + m7 (Gp:) Por teorema de Demorgan es posible observar que: (Gp:) (Gp:) y (Gp:)
m1’ = (A’B’C)’ = (A + B + C’) = M1
CONVERSION ENTRE FORMAS CANONICAS Pasos: Evaluar en que valores binarios se representa la SOP estándar (Gp:) SOP estándar
(Gp:) POS estándar
f(x,y,z) = x’y’z’ + x’yz + x’yz’ + xy’z f(x,y,z)=(x+y+z’)(x’+y+z) (x’+y’+z)(x’+y’+z’) Determinar los números binarios no incluidos en el paso 1. f(x,y,z) = x’y’z’ + x’yz + x’yz’ + xy’z (Gp:) 000 (Gp:) 011 (Gp:) 101 (Gp:) 010
0 3 5 2 Escribir los términos suma equivalentes para los valores encontrados en el paso 2 y expresarlos en POS. f(x,y,z) = (x + y + z’)(x’ + y + z)(x’ + y’ + z)(x’ + y’ + z’)
EJERCICIOS DE REPASO Convierta a SOP estándar la siguiente función: f(x,y,z,w) = xy + zw’ + x’w’ Convierta a POS estándar: f(x,y,z,w) = (x + y’)(z + w’)(x + w) Exprese la función en forma SOP y POS estándar: f(x,y,z,w) = (x + y’ + w)(y’ + z + w’)(x + y’ + z’ + w)
SIMPLIFICACION DE CIRCUITOS LOGICOS Algebra booleana: Buen conocimiento de las reglas. Habilidad para aplicar las reglas.
Mapas de Karnagh: Método de simplificación grafico. Basado en teoremas booleanos, pero de mayor facilidad al utilizarlo.
Mapas de Karnagh: Método de simplificación tabular. Directo, sistemático y no importa el numero de variables. No lo vamos a tratar en el curso.
SIMPLIFICACION POR ALGEBRA BOOLEANA Para la siguiente tabla de verdad encuentre las dos formas canónicas, la SOP, el POS y la forma no estándar mínima. Además represéntela en términos de su implementación en compuertas. S = x’y’c + x’yc’ + xy’c’ + xyc S = (x+y+c)(x+y’+c’)(x’+y+c’)(x’+y’+c) Co = x’yc + xy’c + xyc’ + xyc Co = (x’+y+c)(x+y’+c)(x+y+c’)(x+y+c) (Gp:) POS canónica
(Gp:) POS canónica
(Gp:) SOP canónica
(Gp:) SOP canónica
SIMPLIFICACION POR ALGEBRA BOOLEANA Para llevar la forma canónica a una forma no estándar simplificada se usa algebra booleana. S = x’y’c + x’yc’ + xy’c’ + xyc = c(x’y’+xy)+c’(x’y+xy’) = (x?y)’c + (x?y)c’ = (x ? y) ? c Co = x’yc + xy’c + xyc’ + xyc = x’yc + xy’c + xyc’ + xyc + xyc = x’yc + xy’c + xy(c’ + c) + xyc + xyc = yc(x’+x) + xc(y’+y) + xy = xy + yc +xc
Para su implementación en puertas lógicas se aprovecha uno de los XOR de la suma.
Co = x’yc + xy’c + xyc’ + xyc = xy(c+c’)+c(x’y+xy’) = xy + c(x ? y)
MAPAS DE KARNAUGH
MAPAS DE KARNAUGH Los Mapas de Karnaugh se utilizan para hacer simplificación de funciones lógicas de 2, 3, 4, 5 y 6 variables como máximo. Cada celda representa un mintermino. (Gp:) 0 (Gp:) 0 (Gp:) 1 (Gp:) 1 (Gp:) 1 (Gp:) 4 (Gp:) 0 (Gp:) 5 (Gp:) 1 (Gp:) 3 (Gp:) 0 (Gp:) 2 (Gp:) 1 (Gp:) 7 (Gp:) 1 (Gp:) 6 (Gp:) A (Gp:) BC (Gp:) 00 (Gp:) 01 (Gp:) 10 (Gp:) 11 (Gp:) 0 (Gp:) 1
MAPAS DE KARNAUGH Los mapas de Karnaugh utilizan código gray en la numeración de las celdas, esto hace que solo cambie una sola variable entre celdas adyacentes. (Gp:) 0 (Gp:) 0 (Gp:) 1 (Gp:) 1 (Gp:) 1 (Gp:) 4 (Gp:) 0 (Gp:) 5 (Gp:) 1 (Gp:) 3 (Gp:) 0 (Gp:) 2 (Gp:) 1 (Gp:) 7 (Gp:) 1 (Gp:) 6 (Gp:) A (Gp:) BC (Gp:) 00 (Gp:) 01 (Gp:) 10 (Gp:) 11 (Gp:) 0 (Gp:) 1
(Gp:) 0 (Gp:) 1 (Gp:) 1 (Gp:) 3 (Gp:) 1 (Gp:) 0 (Gp:) 0 (Gp:) 2 (Gp:) 1 (Gp:) 7 (Gp:) 0 (Gp:) 5 (Gp:) 1 (Gp:) 6 (Gp:) 1 (Gp:) 4 (Gp:) C (Gp:) AB (Gp:) 00 (Gp:) 01 (Gp:) 10 (Gp:) 11 (Gp:) 0 (Gp:) 1 (Gp:) AB’C’ (Gp:) AB’C (Gp:) A’B’C’ (Gp:) ABC’
SOP EN MAPAS DE KARNAUGH Se dibuja el mapa y se coloca un 1 en las celdas que corresponden a los mintérminos de la función. Si se tiene una función SOP no estándar, ésta debe completarse y una vez hecho esto se ubican todos los mintérminos en el mapa de Karnaugh. (Gp:) 0 (Gp:) 0 (Gp:) 1 (Gp:) 1 (Gp:) 1 (Gp:) 4 (Gp:) 1 (Gp:) 5 (Gp:) 1 (Gp:) 3 (Gp:) 0 (Gp:) 2 (Gp:) 0 (Gp:) 7 (Gp:) 0 (Gp:) 6 (Gp:) A (Gp:) BC (Gp:) 00 (Gp:) 01 (Gp:) 10 (Gp:) 11 (Gp:) 0 (Gp:) 1
(Gp:) 0 (Gp:) 1 (Gp:) 4 (Gp:) 5 (Gp:) 3 (Gp:) 2 (Gp:) 7 (Gp:) 6 (Gp:) A (Gp:) BC (Gp:) 00 (Gp:) 01 (Gp:) 10 (Gp:) 11 (Gp:) 0 (Gp:) 1
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