- Operaciones fundamentales con números complejos
- Representación polar de los números complejos
- Potencias y raíces de los números complejos
- Fórmula de Euler
- Ecuaciones polinómicas
- Raíces n-ésimas de la unidad
- Parte real e imaginaria de un número complejo
- Gráficos de variable compleja
"El Espíritu Divino encontró una salida sublime en esa maravilla del análisis, ese portento de mundo ideal, ese anfibio entre el ser y el no ser, que llamamos la raíz imaginaria de la unidad negativa".
Gottfried Wilhelm Leibniz
El presente artículo de corte divulgativo tiene como objetivo mostrar las bondades del Sistema de Cálculo Matemático MAPLE 8, en el cálculo de las operaciones usuales en el conjunto de los números complejos.
1. Operaciones fundamentales con números complejos
Inicialmente recordemos las fórmulas para sumar, multiplicar, restar y dividir números complejos:
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Ahora, realicemos estas operaciones con los comandos de MAPLE 8.
Ejemplo 1.1
Dados los números complejos:
Z1 = 3 + 2i, Z2 = -1 + 4i y Z4 = – i
Calcular:
Z1 + Z2 – Z3, Z1(Z2 + Z3), Z1Z2Z3, Z2/Z3.
Solución
> 3 + 2*I + (-1 + 4*I) – (-I);
2 + 7I
> (3 + 2*I) * ((-1 + 4*I) + (-I));
– 9 + 7I
> (3 + 2*I) * (-1 + 4*I) * (-I);
10 + 11I
> (-1 + 4*I)/(-I);
– 4 – I
Ejemplo 1.2
Dados los números complejos:
Z1 = 2 – 3i, Z2 = 2 + 3i y Z3 = i209
Calcular:
Z2 + Z3, Z1Z2Z3 y Z1/Z3
Solución
> 2 + 3*I+I^209;
2 + 4I
> (2 – 3*I)*(2 + 3*I)*I^209;
13I
> (2 – 3*I)/I^209;
– 3 – 2I
2. Representación polar de los números complejos
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Ejemplo 2.1
En los números complejos dados, determinar su módulo, argumento y dar su forma polar.
a) Z1 = -3, b) Z2 = 3i, c) Z3 = 2 – 2i y d) Z4 = 2 + 3i.
Solución
a) > abs(-3);
3
> argument(-3);
> convert(-3,polar);
polar(3,)
b) > abs(3*I);
3
> argument(3*I);
> convert(3*I,polar);
c) > abs(2-2*I);
> argument(2-2*I);
> convert(2-2*I,polar);
d) > abs(2*sqrt(2)+3*I);
> argument(2*sqrt(2)+3*I);
Para aproximar el resultado utilizamos el comando evalf.
> evalf(argument(2*sqrt(2)+3*I));
.8148269165
> convert(2*sqrt(2)+3*I,polar);
Ejemplo 2.2 
Expresar en forma binómica o cartesiana el complejo 
Solución
> convert(3*cos(3*Pi/2)+3*I*sin(3*Pi/2),trig);
– 3I
3. Potencias y raíces de los números complejos
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Ejemplo 3.1
Realizar las operaciones indicadas:
a) 
Solución
> evalc((2+I*sqrt(2))^7);
b) 
Solución
> evalc((2*(cos(Pi/3)-I*sin(Pi/3)))^5);
c) 
Solución
> evalc((3*(cos(Pi/6)-I*sin(Pi/6)))^6);
– 729
d) 
Solución
> evalc((1-I*sqrt(2))^(1+I));
> evalf((1-I*sqrt(2))^(1+I));
4.136422267 – 1.778232318I
e) ii
Solución
> evalc(I^I);
f) (3 – lni)1/i
Solución
> evalc((3-ln(I))^(1/I));
g) icos(1 + i)
Solución
> evalc(I^(cos(2+I)));
h) ilog(a + i), a un número real cualquiera.
Solución
> evalc(I^log(a+I));
i) 
Solución
> evalc((2+I)^sin(sqrt(3)+I));
j) Hallar las raíces séptimas de 
.
Solución
> solve(u^7-3+sqrt(3)*I=0);
,
k) Hallar las raíces quintas de i.
Solución
> evalc([solve(u^5-I=0)]);
l) Hallar las raíces cuartas de z = – 23, es decir, resolver u = – 231/4.
Solución
> solve(u^4+23=0);
m) Resolver 
Solución
> (I^6-I^(-6))/(1+2*I)-1;
– 1
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Ejemplo 4.1
Expresar en forma binómica y polar el número complejo 
.
Solución
> convert(3*exp(Pi*I/3),exp);
> convert(3*exp(Pi*I/3),polar);
5. Ecuaciones polinómicas
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Ejemplo 5.1
Resolver las ecuaciones dadas:
a) z2 + (3 + 2i)z – 4 + i = 0
Solución
> solve(z^2+(3 + 2*I)*z – 4 + I = 0);
b) – 10 + 3x +32×2 – 25×3 + 6×4 = 0
Solución
> solve(-10+3*x+32*x^2-25*x^3+6*x^4=0);
c) tan(X) = 5i/3
Solución
> solve(tan(X)=5*I/3);
una aproximación del resultado
> evalf(solve(tan(X)=5*I/3));
1.570796327 + .6931471804I
simplificando el resultado
> evalc(solve(tan(X)=5*I/3));
d) sen(X) = k, k es un número real cualquiera
Solución
> evalc(solve(sin(X)=k,X));
e) sen(X) = 5
Solución
> evalc(solve(sin(X)=5));
f) cos(X) = k, k es un número real positivo
Solución
> assume(k>0):evalc(solve(cos(X)=k,X));
El símbolo ~ indica que se asumió una condición para k.
6. Raíces n-ésimas de la unidad
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Ejemplo 6.1
Hallar las raíces quintas y octavas de -1 y 1, respectivamente.
Solución
> solve(z^5+1=0);
> solve(z^8-1=0);
7. Parte real e imaginaria de un número complejo
MAPLE 8, también permite determinar la parte real e imaginaria de un número complejo.
Ejemplo 7.1
Determinar la parte real e imaginaria de:
a) 
, donde x y y son números reales cualesquiera.
Solución
> simplify(evalc(Re(tan(I*ln((x+I*y)/(x-I*y))))));
> simplify(evalc(Im(tan(I*log((x+I*y)/(x-I*y))))));
0
b) 
> simplify(evalc(Re((2-I)^sin(4+I))));
Aproximando el resultado
> evalf(simplify(evalc(Re((2-I)^sin(4+I)))));
.2728431672
> simplify(evalc(Im((2-I)^sin(4+I))));
Aproximando el resultado
> evalf(simplify(evalc(Im((2-I)^sin(4+I)))));
– .02096932642
8. Gráficos de variable compleja
A través de los comandos contenidos en el paquete plots (with(plots)), MAPLE 7 permite efectuar representaciones de funciones de variable compleja.
Ejemplo 8.1
Representar las funciones:
a) 
, en el rango 
.
Solución
> with(plots):complexplot(x*(-exp(I*Pi/2*x)),x= -Pi..Pi,color=blue);
Figura 8.1
b) 
, z varía en el rectángulo 
.
Solución
> with(plots):conformal(z+1/z,z=-2-2*I..2+2*I,-2-2*I..2+2*I);
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Figura 8.2
Ainhoa Ochoa y et. al. (2002). Aprenda Maple 8 como si estuviera en primero. España: Escuela Superior de Ingenieros Industriales, Universidad de Navarra.
Churchill,B. (1974). Complex Variables and Applications. USA: Mc Graw Hill Book Co.
MAPLE 8 De Waterloo. (2002). The Maple Handbook. USA: Maple 8 Software. Inc.
Marsden, J. (1996). Análisis Básico de Variables Compleja. México: Trillas.
Pérez, C. (1998). Métodos Matemáticos y Programación con MAPLE V. Madrid: Ra-ma.
Rincón, F., García, A. y Martínez, A. (1995). Cálculo Científico con MAPLE. Madrid: Ra-ma.
Spiegel, M. (1991). Complex Variables. U.S.A.: Schaum’s Outline. Mc Graw Hill Book Co.
Dr. Carlos Núñez Rincón
El autor del Artículo, es Doctor en Ciencias de la Educación, Magíster en Educación y Licenciado en Educación Mención Matemática Universidad de los Andes-ULA, Mérida-Venezuela. Actualmente, es Profesor Titular adscrito al Departamento de Matemática y Física de la Universidad Nacional Experimental del Táchira, Táchira-República Bolivariana de Venezuela.