Números primos

Tenemos los conjuntos

C = A U B + {1, 2, 3}

Denominemos Np el conjunto que contiene todos los números primos, entonces:

Afirmaremos que:

LA TABLA MUESTRA LA CORRESPONDENCIA ENTRE COLUMNAS, DEPENDIENDO DEL Np DE PARTIDA, POR TANTO, SOLO EXISTEN DOS Np GENERADORES QUE SON 5 Y 7.

La información anterior, nuestra que existen dos columnas principales, las que se inician con los números primos 5 y 7; desde aquí, coincidirán los valores de cualquier otra columna en estas dos. Siempre que se maneje las ecuaciones de la forma siguiente: x= Np +6*m, siendo Np cualquier número primo que se desee.

Una pequeña nuestra del conjunto A y el conjunto B, están representados en la siguiente gráfica, dado que la diferencia punto a punto es dos, están muy próximos.

Estas dos series de puntos, seguirán alineados hasta el infinito.

Sin duda alguna, existen elementos del conjunto C = AUB, que no son números primos y al analizarlos se puede detectar las siguientes características:

1. Sea Np un número primo y Np ? AUB, entonces Z= Np2 ? B.

Como existen dos fuentes de números primos, pero los cuadrados de los números primos están sólo en el conjunto B, se establecen dos relaciones para determinar el valor de m. Si el número primo Np ? A, entonces, el valor de m que determina el valor de Np2 lo llamaremos

mnpa2, donde:

mnpa2 = 3+ 10mp+ 6mp2

Si el número primo Np ? B, entonces, el valor de m que determina el valor de Np2 lo llamaremos mnpb2, donde:

mnpb2 = 7+ 14mp+ 6mp2

Para todos los casos mp representa el valor de m que determina el número primo Np. Veamos en la siguiente tabla lo señalado.

Tabla 2

Tabla 3

2. Sea Np un número primo y Np ? AUB, entonces Z= Np2n ? B.

3. Sea Np un número primo y Np ? A, entonces Z= Np2n+1 ? A.

Si Np ? B, entonces W= Np2n+1 ? B.

4. Todos los elementos del conjunto A y del conjunto B que no son números primos, pueden identificarse a partir de un número primo conocido y el número m correspondiente.

En la siguiente tabla, se explica esta relación:

Tabla 4

Resulta claro que estos elementos tienen una relación de posición en función de m; así, se pueden identificar todos los elementos múltiplos de un número primo. Por ejemplo, tomemos m=0 le corresponde el Np1=5 y Np2= 7 para el conjunto A y el conjunto B respectivamente, podemos indicar que tenemos un subconjunto de A que llamaremos A5 y un subconjunto de B que llamaremos B7.

Para m=1, corresponden los números 11 y 13, elementos del conjunto A y el conjunto B respectivamente. Desde aquí, definimos dos nuevos subconjuntos que llamaremos A11 y B13.

Donde Npa= 11 y Npb= 13

Podemos generalizar señalando que cada número, mejor dicho, elemento del conjunto A y del conjunto B, se convierte en un semillero de elementos que no son números primos. Si tomamos todos estos elementos y los extraemos del conjunto C, el conjunto resultante será el conjunto de los números primos Np. La forma general de estos subconjuntos será:

Sin embargo, hay un elemento que no esta incluido en los subconjuntos arriba indicados que pertenece al conjunto B, que es el elemento Y= 25. Se infiere que se debe incluir los elementos múltiplos de cinco en el conjunto B y los múltiplos de siete en el conjunto A.

Ahora podremos señalar que:

Np= C – { ANpa U BNpb U ANa7 U BNb5 U …. }

5. Imaginemos que construimos una tabla de seis columnas y un número infinito de filas, para nuestro ejemplo pondremos un número finito; cada celda lleva el valor de n, en forma horizontal, la siguiente n+1, n+2, n+3,…..

Detallemos la tabla siguiente:

Si incluimos el número 1 dentro del conjunto

De esta forma, la columna número uno, representa el conjunto B y la columna número cinco, representa el conjunto A. En esta oportunidad, la diferencia de dos elementos para el mismo valor de m es cuatro (4). La gráfica muestra el mismo comportamiento para cuando m es infinito. Para el caso particular de los números primos gemelos, se expresa para valores de m y (m+1), claro está que no son todos los casos. Por ejemplo: Si m = 1

Conjunto A (m) = 11;

Conjunto B(m+1) = 13

Gráfica Nº 2

La matriz de seis columnas tiene las siguientes propiedades:

La primera columna es el conjunto B, encabezados por el número uno

(1). Nueva definición.

La segunda columna son números pares, encabezados por el número primo par, el número dos (2).

La tercera columna son números impares, encabezados por el número

tres (3). Todos estos números son múltiplos de tres. La cuarta columna son números pares.

La quinta columna es el conjunto A, encabezados por el número cinco

(5).

La sexta columna son números pares.

Como conclusión, las columnas dos, cuatro y seis; sólo existe el número primo dos (2). Los números primos de la forma 2n – 1 o número primo de

Mersenne pueden estar ubicados en la columna uno, el conjunto B, dado que:

Si n es par, entonces N = 22n – 1, estaría ubicado en la columna tres, y en esta columna los números son el tres, cabeza de columna o múltiplos de tres.

Luego, desde la nueva definición del conjunto B: Los números primos de Mersenne

Nmp = 22n +1 – 1 = 1+6m

22n +1 = 2+6m ; si dividimos ambos miembros por 2

22n = 1+3m; donde m = (22n -1)/3

Los números sombreados en azul, son números de Mersenne conocidos y que un PC casero puede manejar, ya para n= 42 no es posible determinar el valor de número. Espero que ordenadores poderosos puedan manejar cifras mayores a las mostradas en la tabla.

GENERACIÓN DE UN LISTADO DE NÚMEROS PRIMOS.

Para generar un listado de números primos haciendo una rutina simple, sin embargo, no es fácil el manejo para ordenadores caseros de operaciones para números con cifras muy altas. Pero mostraré un diagrama que permite ilustrar el proceso.

Diagrama 1

Conjetura de los números primos gemelos Conjetura de los números primos gemelos.

Existe un número infinito de primos p tales que p + 2 también es primo.

Desde nuestra perspectiva, la diferencia entre un elemento del conjunto B y un elemento del conjunto A para todo valor de m es dos (2). Por lo tanto, existirá un elemento pa ( número primo) del conjunto A y un elemento pb (número primo) del conjunto B, donde pa + 2 = pb

pa = 5 + 6m pb = 7 + 6m

Si m tiende a infinito, va a existir un pa + 2 = pb

Se propone hacer público este trabajo, luego, continuar el desarrollo y la publicación de un cuaderno de trabajo Nº 2, después de la realimentación producto de la publicación.

Autor:

José Mujica

Caracas, 21 de juLio de 2011. Cuaderno de trabajo N° 1