Para un problema de maximización Solución única Infinitas soluciones No hay solución Resolución gráfica: número de soluciones
Para un problema de minimización Solución única Infinitas soluciones No hay solución Resolución gráfica: número de soluciones
Producción: maximizar los beneficios Una fábrica de cervezas produce dos variedades distintas de bebida: «Clásica» y «Suprema». En la siguiente tabla se indican las cantidades de malta, lúpulo y levadura necesarias para producir un barril de cada una de las dos modalidades. También se indica la cantidad total disponible de cada una de las tres materias primas. El beneficio por un barril de «Clásica» es de 25 € y de 35 € para la «Suprema». Determinar la producción de cada tipo de cerveza de manera que se maximice el beneficio. Definimos las variables: x = cantidad a fabricar de «Clásica» y = cantidad a fabricar de «Suprema» z = beneficio en € Entonces hemos de maximizar z = 25x + 35y 3,5x + 12y ? 2300 (por la disponibilidad de malta) 8x + 4y ? 3800 (por la disponibilidad de lúpulo) 4x + 15y ? 3200 (por la disponibilidad de levadura) x ? 0, y ? 0 (por ser cantidades físicas)
Producción: maximizar los beneficios Por tanto: se deben fabricar 443,90 barriles de «Clásica» y 62,20 barriles de «Suprema» con un beneficio de z = 25 . 443,90 + 35 . 62,20 = 13274,50 € (Gp:) Resolviéndolo gráficamente o (Gp:) bservamos que la solución es la (Gp:) intersección de las rectas: (Gp:) (Gp:) (Gp:) î (Gp:) ï (Gp:) í (Gp:) ï (Gp:) ì (Gp:) 3,5x + 12y = 2300 (Gp:) 8x + 4y = 3800 (Gp:) (Gp:)
Producción: minimizar los costos Una empresa textil fabrica tres tipos de tejidos, A, B y C. La empresa tiene dos factorías, cada una de las cuales puede producir tres tipos de tejidos en las cantidades por hora que se indican en la tabla de abajo. La empresa debe atender un pedido de 250 unidades de A, 300 de B y 170 de C. ¿Cuántas horas debe trabajar cada factoría para servir este pedido con un coste mínimo, sabiendo que una hora de trabajo de la factoría 1 cuesta 1700 €, y en la factoría 2, 1400 €. Definimos las variables: x = número de horas que trabaja la factoría 1 y = número de horas que trabaja la factoría 2 z = coste en € Entonces hemos de minimizar z = 1700x + 1400 y 7x + 16y ? 250 (por las unidades a atender del tejido A) 19x + 21y ? 300 (por las unidades a atender del tejido B) 12x + 6y ? 170 (por las unidades a atender del tejido C) x ? 0, y ? 0 (por ser cantidades físicas)
Producción: minimizar los costos Por tanto el coste mínimo se obtiene para x = 8,13 horas, y = 12,07 horas y dicho coste es z = 1700 . 8,13 + 1400 . 12,07 = 30717 € (Gp:) Resolviéndolo gráficamente observamos que la solución es la intersección de las rectas: (Gp:) (Gp:) î (Gp:) ï (Gp:) í (Gp:) ï (Gp:) ì (Gp:) 12x + 6y = 170 (Gp:) 7x +16y = 250 (Gp:) (Gp:)
El porcentaje de proteínas, grasas e hidratos de carbono en dos alimentos, A y B, viene dado por la tabla que aparece a continuación:
El precio por unidad de A es 0,01 € y el de B es 0,005 €. Se desea preparar un producto alimenticio para animales domésticos combinando los alimentos A y B. Si un animal necesita consumir como mínimo 55 gramos de proteínas, 80 g de grasas y 100 g de hidratos de carbono, se desea calcular la combinación del producto que minimiza los costes. El problema de la dieta Definimos las variables: x = cantidad en gramos de A en la dieta y = cantidad en gramos de B en la dieta z = coste en € Entonces hemos de minimizar z = 0,01 x + 0,005 y 0,088x + 0,254y ? 55 (por los gramos de proteínas a consumir como mínimo) 0,015x + 0,345y ? 80 (por los gramos de grasas a consumir como mínimo) 0,565x + 0,023y ? 100 (por los gramos de hidratos de carbono a consumir como mínimo) x ? 0, y ? 0 (por ser cantidades físicas)
Por tanto el coste mínimo se obtiene para x = 167,85 gramos de A, y = 224,59 gramos de B y dicho coste es z = 0,01 . 167,85 + 0,005 . 224,59 = 2,80 € El problema de la dieta (Gp:) Resolviéndolo gráficamente observamos que la solución es la intersección de las rectas:
(Gp:) (Gp:) î (Gp:) ï (Gp:) í (Gp:) ï (Gp:) ì (Gp:) 0,015x + 0,345y = 80 (Gp:) 0,565x + 0,023y = 100 (Gp:) (Gp:)
El problema del transporte Desde las ciudades de origen de Lisboa (L) y Oporto (O) se surte de pescado a las ciudades de destino de Évora (E), Braga (Br) y Beja (Be). La tabla del margan muestra los costes, en unidades monetarias, de transportar una caja de pescado desde un lugar de origen a un lugar de destino: Las cantidades ofertadas por las ciudades de origen son 25 cajas en L y 15 en O. Las cantidades demandadas por las ciudades de destino son 20 cajas por E, 15 por Br y 5 por Be. ¿Cuál es la mejor opción para distribuir el pescado de forma que los costes de transporte sean los más bajos posibles y de forma que todas las ciudades de destino sean totalmente abastecidas con las cantidades demandadas? Definimos las variables: x =número de cajas de Lisboa a Évora y = número de cajas de Lisboa a Braga z = coste del transporte en unidades monetarias
El problema del transporte Entonces hemos de minimizar: z = 1x + 3y + 2(25 – x – y) + 2(20 – x) + 1(15 – y) + 2(x + y – 20) = -x + 2y + 65 x + y =25 x = 20 y = 15 x + y ?20 x ? 0, y ? 0 Construimos la tabla que indican el número de cajas que se transportan de un lugar a otro.
El problema del transporte Los vértices son: A(5, 15), B(10, 15), C(20, 5) y D(20, 0). La función objetivo en estos vértices vale: zA = 90, zB = 85, zC = 55, zD = 45. La solución óptima se encuentra en D, x = 20, y = 0. La mejor distribución es 20 cajas de Lisboa a Évora, 5 cajas de Lisboa a Beja, 15 cajas de Oporto a Beja. El coste total es de 45 unidades monetarias. Representamos la región factible A B C D
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