L a sugerencia que proponíamos en el Cuaderno No 1 y que siempre presidirá los demás Cuadernos: Vamos a estudiar matemática, pero no lo vamos a hacer como si fuéramos simplemente unos alumnos que posteriormente van a ser eva- luados, y ya. No. Nosotros somos docentes –docentes de matemática en su momento- y este rasgo debe caracterizar la forma de construir nuestro pensamiento matemático. ¿Qué signi?ca esto?
• La presencia constante de la meta última de nuestro estudio: alcanzar unos niveles de conocimiento tecnológico y re- ?exivo, lo cual debe abrir ese estudio hacia la búsqueda de aplicaciones de lo aprendi- do, hacia el análisis de los sistemas que dan forma a nuestra vida y utilizan ese conoci- miento matemático, y hacia criterios socia- les y éticos para juzgarlos.
• Construir el conocer de cada tópico matemático pensando en cómo lo enseña- mos en el aula, además de re?exionar acer- ca de cómo nuestro conocer limita y con- introducción A modo de introducción…, nuestro recordatorio diciona nuestro trabajo docente. De esta forma, integrar nuestra práctica docente en nuestro estudio.
• Como complemento a lo anterior, construir el conocer de cada tópico mate- mático pensando en cómo lo podemos lle- var al aula. Para ello, tomar conciencia del procesoqueseguimosparasuconstrucción, paso a paso, así como de los elementos –cognitivos, actitudinales, emocionales…- que se presenten en dicho proceso. Porque a partir de esta experiencia re?exiva como estudiantes, podremos entender y evaluar mejor el desempeño de nuestros alumnos –a su nivel- ante los mismos temas.
• En de?nitiva, entender que la mate- mática es la base de su didáctica: la forma en que se construye el conocimiento ma- temático es una fuente imprescindible a la hora de plani?car y desarrollar su enseñan- za.
Y ahora, vamos al tema de este Cuader- no, la circunferencia y el círculo. 5
P L fórmula para un cálculo aproximado (Eves, 1969): Si a, b, c y d son las longitudes de los cuatro lados consecutivos de un cuadri- látero, el área viene dada por: A = ¼ (a + c) x (b + d).
1.2. Construcción de un cuadrilátero
Tratemos de construir un cuadrilátero con cuatro segmentos que midan 4 cm, 3 cm, 2 cm y 11 cm, respectivamente. ¿A qué conclusión llegamos?
Que no se puede construir. De aquí se deduce una condición necesaria para la construcción de cualquier cuadrilátero: la longitud del segmento mayor debe ser me- nor que la suma de las longitudes de los otros tres segmentos.
Si se cumple esta condición, ¿cómo po- demos construir un cuadrilátero convexo, dadas las medidas de cuatro segmentos? Podemos tomar dos de ellos y hacerlos co- incidir en uno de sus respectivos extremos; queda formado así un ángulo. Ahora, des- de uno de los extremos libres trazamos un arco cuya amplitud sea la medida de uno de los otros dos segmentos. Y desde el otro extremo libre trazamos otro arco cuya am- plitud sea la medida del cuarto segmento. El punto en que se cortan ambos arcos es el cuarto vértice del cuadrilátero.
Reúnanse varios compañeros(as) y construya, cada quien, un cuadrilátero cu- yos lados midan, respectivamente: 7 cm, 5 cm, 13 cm y 8 cm. ¿Qué conclusión ex- traen al observar las ?guras construidas por todos(as)? 1. Cuadriláteros
1.1. Concepto y elementos
Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. En la ?gura 1 se presentan dos ejem- plos de cuadriláteros, convexo el de la izquierda y cóncavo el de la derecha. Para desig- narlos utilizamos letras mayúsculas en los vértices. D C A J
H B
Fig. 1: Cuadriláteros
Entre los elementos de un cuadrilátero mencionamos sus lados y ángulos, entendien- do por estos últimos los que se hallan en la región interna del polígono. Observamos que cuando el cuadrilátero es convexo, todos sus ángulos miden menos de 180o, mientras que en un cuadrilátero cóncavo hay un ángulo –y sólo uno- que mide más de 180o (< L).
Otro elemento a considerar son las diagonales. Todo cuadrilátero convexo posee dos, mientras que si es cóncavo, posee una sola diagonal. Cuando se traza una diagonal, el cuadrilátero se descompone en dos triángulos. De aquí deducimos que la suma de las medidas de los ángulos de todo cuadrilátero es 360o.
Otros dos aspectos a destacar son el perímetro (suma de las longitudes de los lados) y el área (medida de la región interior del cuadrilátero). Su cálculo tiene particular interés en algunos casos especiales de cuadriláteros que se estudiarán más adelante. En términos generales, el área de un cuadrilátero puede obtenerse a partir de la suma de las áreas de los dos triángulos en que se descompone al trazarse una diagonal. En este punto puede ser muy útil la fórmula de Herón de Alejandría (Cuaderno 13) para el cálculo de las áreas de los triángulos, a partir de las medidas de los lados y de una diagonal del cuadrilátero.
También resulta de interés histórico recordar que los babilonios daban la siguiente 6
Laconclusiónesclara:conesasmedidas pueden obtenerse tantos cuadriláteros dife- rentes como personas intenten construirlo. ¿Por qué? Fundamentalmente, porque hay varias opciones para seleccionar los dos primeros segmentos y porque, una vez he- cha esa selección, la amplitud del ángulo formado por ellos puede variar, aunque tie- ne un límite que no puede sobrepasar: la distancia que separa los extremos libres
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