Teorema de Steiner (página 2)

Donde I e Ic son los momentos de inercia del cuerpo con respecto Z y Zc, respectivamente, y M es la masa del cuerpo. Para probar esta relación, escojamos los ejes Xc Yc Zc de modo que su origen se encuentre en el centro de masa C y el eje Yc se encuentre en el plano determinado por Z y con Yc. El punto P es un punto arbitrario del cuerpo M. Entonces de la figura: P’A es h a Yc y P’A = x, CA = Y, y OC = a, tenemos:

R2C = X2 + Y2

R2= X2 + (Y + a)2

= X2 + Y2 + 2Ya + a2

= R2c + 2Ya + a2

Ahora el momento de inercia con respecto al eje Z es

I = å mR2 = å m(R2c + Zya + a2)

= å mR2c + 2a (å my) + a2å m

El primer término es justamente el momento de inercia a I con respecto al eje Zc, y en el último término å m = M, es la suma total del cuerpo. Por consiguiente.

I = Ic + 2ªå my + Ma2 …………… (4)

Para evaluar el término central recordamos que la posición del centro de masa está dada por Ycm = å my/å m. Pero en nuestro caso Ycm = 0 ya que el centro de masa coincide con el origen C del sistema XcYcZc. Luego å my = 0 y la ecuación (4) se reduce a (3) la cual queda demostrada.

Cálculos Y Resultados Llene la tabla 1 con las siguientes características

A partir de la ecuación (1), con Il dada por la ecuación (2), encuentre el valor de l donde el período es mínimo.

La ecuación (1) es

T = 2P

Y la ecuación (2) es

Il = IG + Ml2

Reemplazando 2 en 1, tenemos que:

T = 2P = 2P

Derivando con respecto a la longitud l, para hallar el mínimo valor de l igualaremos a cero,

Þ

Þ

Donde a es el ancho de la barra y b el largo de la barra, a = 0.037 y b = 1.1

Entonces al reemplazar obtendremos que :

¿ Cúal es el período para esta distancia? Con el valor de T conocido experimentalmente, encuentre , utilizando la relacio (I) , el valor Il y llene la siguiente tabla;

Haga el grafico Il vs l 2 y ajustar dicha grafica Del grafico anterior, y por comparación con la ecuación (2), determine IG y M . Del gráfico anterior y por un ajuste de curvas obtuvimos que la ecuación de la gráfica es Y = 2,0241X + 0,166 Comparando esta ecuación con la ecuación 2 Il = Ml2 + IG Notamos que el valor de IG = 0,166 y el valor de M es 2,0241. Compare el valor de IG obtenido en el paso 5 con el valor de la formula analítica para una barra de longitud l y ancho b,

¿Qué error experimental obtuvo? Y ¿qué puede decir acerca de la masa? Según nuestra grafica obtenida en el paso 5 el valor de IG. IG =0.166 Según la ecuación dada y con los datos tomados en el laboratorio

para M= 1.886 Kg L= 1.1 m b=0.037 reemplazando tenemos: IG =0.19038 Calculando el error de medicion: %ERROR = 0.19038 – 0.166 *100 = 12.8% 0.19038 La masa según nuestro ajuste de curvas es M=2.0241 La masa obtenida en el laboratorio es M= 1.886 Hay una diferencia de 0.1381 y el porcentaje de error es : %error = 2.0241-1.886 .100= 6.8227 2.0241

Halle la longitud del péndulo simple equivalente.

Como Sabemos el período del péndulo simple es

Pero para el péndulo físico el período es

Entonces si igualamos estas dos ecuaciones obtendremos que:

Donde M es la masa de la barra y es 1,886kg

Reemplazando Il con los valores obtenidos en la tabla de la pregunta 3, tenemos que:

Para el primer agujero Il = 0,6655 Þ l = 0,5940 Para el segundo agujero Il = 0,5729 Þ l = 0,5511 Para el tercer agujero Il = 0,4915 Þ l = 0,5104 Para el cuarto agujero Il = 0,.4174 Þ l = 0,4704 Para el quinto agujero Il = 0,3520 Þ l = 0,4320 Para el sexto agujero Il = 0,3068 Þ l = 0,4033 Para el séptimo agujero Il = 0,2593 Þ l = 0,3707 Para el octavo agujero Il = 0,2141 Þ l = 0,3369 Para el noveno agujero Il = 0,1930 Þ l = 0,3198 Para el décimo agujero Il = 0,1656 Þ l = 0,2963 Demuestre en forma analítica las relaciones (1) y (2).

(Para ver el gráfico faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo")

relación (1) nos indica que T = 2P

Cuando el cuerpo se desplaza como se muestra en la gráfica, el peso mg causa un momento de torsión de restitución t = – (mg)(dsenq ) El signo negativo implica que el momento de torsión es horario si el desplazamiento es antihorario y viceversa. Si se suelta el cuerpo, oscila alrededor de su posición de equilibrio, el movimiento no es un M.A.S porque el momento de torsión t es proporcional a senq , no a q , pero si q es pequeño podemos aproximar senq por q en radianes, y el movimiento es aproximadamente M.A.S t = -(mgd)q

La Ecuación del movimiento es å t = I.a

-(mgd)q = I.a =

Þ

De la ecuación del M.A.S

Comparando estas dos ecuaciones notamos que el papel de en el M.A.S lo desempeña aquí la cantidad así que la frecuencia angular está dada por:

W = ( Péndulo físico, amplitud pequeña)

Y como f = l.q.q.d

La relación (2) nos indica que: Il = IG + Ml2

Para demostrarlo, consideremos dos ejes paralelos al eje z; uno pasa por el centro de masa, el otro por un punto P . Primero tomamos una rodaja muy delgada del cuerpo, paralela al plano xy. Tomamos el origen de nuestro sistema de coordenadas x, y son (a, b). La distancia entre este eje y el que pasa por el centro de masa es d, donde d2 = a2 + b2. Podemos escribir una expresión para el momento de inercia Ip alrededor del eje que pasa por P. Sea mi un elemento de masa de nuestra rodaja, con coordenadas (xi, yi, zi). El momento de Inercia ICM de la rodaja alrededor del eje que pasa por O es

ICM =

El momento de Inercia de la rodaja alrededor del eje que pasa por P es

En estas expresiones no intervienen lasa coordenadas zi, medidas perpendicularmente a las rodajas, así que podemos extender las sumatorias para incluir todas las partículas de todas las rodajas. Expandiendo los cuadrados y reagrupando,

La primera sumatoria es ICM .Por definición de centro de masa la segunda y tercera sumatoria son proporcionales a xcm, ycm que son 0 porque tomamos el origen en el centro de masa. El término final es d2 multiplicada por la masa total o sea, Md2. Entonces queda demostrado que Ip = Icm + Md2