Modelación y Estudio de las ecuaciones diferenciales en el dominio de Laplace utilizando MATLAB-SIMULINK

Modelación de Sistemas Dinámicos utilizando Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) Sistema Físico Sistema (Físico) a modelar Función forzante y(t) u(t) Respuesta del sistema Sistema Mecánico (sistema de suspensión en los autos) Sistema Hidráulico (llenado de un tanque) Sistema térmico (temperatura en un horno) Sistema Eléctrico (velocidad de motores) Sistema Fisiológico (efecto de una dosis en el cuerpo h. ) Sistema Económico ( inflación) Sistema de producción (producción entre máquinas) Relación causal

Para obtener una ecuación diferencial, podemos utilizar: Leyes físicas: que de acuerdo a la naturaleza del sistema, rigen la relación causal entre las variables de interés. Pruebas experimentales (análisis de la respuesta transitoria del sistema ante una función forzante conocida). Por analogías de comportamientos entre sistemas que guardan un comportamiento similar, a pesar de ser de naturaleza diferente. Aplicación de algoritmos y recursos computacionales para procesar los datos obtenidos de pruebas experimentales. …

Sistemas físico: Temperatura en un horno Horno Flujo de Combustible: qi(t) Temperatura: T(t)horno Temperatura Flujo de gas Relación causal

Sistema Físico:Llenado de un tanque Tanque Caudal de entrada qi(t) Nivel: h(t); Caudal de Salida, qo(t) Relación causal

Análisis de una ecuación diferencial lineal c. c. c. Sistema (Físico) a modelar u(t): Comportamiento deseado La respuesta y(t) de un sistema mecánico ante una función forzante u(t) está definida por la ecuación diferencial; y(0)= 2; y’(0) = 0 Función forzante y(t) u(t) Respuesta del sistema

Función forzante: u(t)

Analogía de Sistemas de Primer Orden K: Ganancia en estado estable ?: Constante de tiempo (Gp:) qi(t) (Gp:) 0(t) (Gp:) dq0(t) (Gp:) q (Gp:) dt (Gp:) d (Gp:) dt (Gp:) qi(t) (Gp:) + q0(t) = (Gp:) R.A (Gp:) t (Gp:) + q0(t) =

La transformada de Laplace en la modelación, estudio y solución de las ecuaciones diferenciales.

Relación entre f(t) y su equivalente F(s). f(t) tiempo j?: Eje Imaginario ? : Eje real F(s) Plano Complejo: s = ? + j? Ejemplos

Principales funciones a obtener de una ecuación diferencial: G(s) y Y(s) Al aplicar la Transformada de Laplace a una ecuación diferencial, dos expresiones son de gran interés: 1) Y(S): La función respuesta de un sistema. (incluye las c.i. y a la función forzante) ; Función de transferencia del sistema (considera c.i.=0 y no se sustituye la función forzante. (Gp:) jw (Gp:) ? (Gp:) x o o x x Tanto G(s) como Y(s) estan formadas por los términos:

G(s) y Y(s) (Gp:) jw (Gp:) ? (Gp:) X -0.1 Para la ecuación diferencial Solución: (Gp:) jw (Gp:) ? (Gp:) o X X -0.3 -0.1 0 Obtener: a) G(s) y, b) Y(s)

Obtención del valor inicial y final de y(t) (Gp:) jw (Gp:) ? (Gp:) o X X -0.3 -0.1 0 (Gp:) 2.4 (Gp:) 0.8 (Gp:) t Polo dominante

Gráfica aproximada de y(t) a partir de Y(s) Un horno que se encuentra a 80°C se apaga para su enfriamiento. Considere que la relación Temperatura-flujo combustible, es representada por la ecuación Diferencial: 200y´(t) + y(t) = K u(t). Obtenga, y(0) y y(?) Teorema de valor inicial: Teorema del valor final: t 80 ºC 0 ºC

Programa MATLAB-SIMULINK (basado en la representación a bloques) Para modelar y analizar los elementos de una ecuación diferencial a partir de las ecuaciones de un sistema físico. Obtener la respuesta en el tiempo para una función Y(s). Obtener las gráficas de las diferentes variables dentro de mismo sistema físico, sin requerir obtener su representación en el tiempo. …

Modelación de una ecuación diferencial mediante Diagrama a bloques. Caudal de salida Caudal Acumulado = Qi(s) + Qo(s) H(s) Qo(s) Qi(s) – Qo(s) Caudal de entrada

Simulación del sistema hidráulico utilizando la herramienta computacional Matlab-Simulink

Dos Tanques H(s) Qi(s) Qi(s) – Q01(s) – Q02(s) Q01(s) Q02(s) – + –

Modelaciòn y simulación del sistema de dos tanques mediante SIMULINK.

Gráficas de Simulación (tanque_1entrada_2salidas) Flujo de salida q02(t) Flujo de salida q02(t) h(t): Altura (nivel de llenado) del tanque Qi(t): Flujo de entrada

Sistema: Masa-Resorte-Amortiguadoren la suspensión de un auto Masa: m Amortiguador Resorte z(t): desplazamiento o respuesta del sistema f(t)entrada: fuerza de entrada

Aplicación del sistema básico: masa-resorte-amortiguador

Simulación mediante SIMULINK Z(s) k B s Fi(s) F(s)resorte F(s)amortiguador Fi(s) – F(s)resorte – F(s)amortiguador = m s2 Z(s) – + – fi(t) z(t)

Masa-Resorte-Amortiguador con SIMULINK

Paso por un bache sencillo

Masa-Resorte-Amortiguador en terrenos con superficie rugosa.

Parte 1: Actividad en equipo(modificar el archivo correspondiente) Para el caso del tanque con dos válvulas de descarga: 1. Justifique el efecto sobre los dos flujos de salida en ambas válvulas, si las dos válvulas están igualmente abiertas: Rh1 = Rh2 = 2 2. Considere que Rh1 =1.5 y Rh2 = 3 ¿Cómo se afecta la altura del llenado del tanque, h(t), si se disminuye el valor del área del tanque de un valor A = 4 m2, por el de A = 2 m2?

Parte 2: actividad Para la función Obtenga: Su expansión en fracciones parciales sin calcular el valor de los coeficientes. 2) ¿A qué función en el tiempo corresponde cada uno de los término de la expansión realizada en el inciso anterior? 3) Obtenga el valor de y(0) y de y(?) a partir de la función Y(s).