Solución en forma de intervalo:
X = ( 9 ,+ 8 ) Sea muy cuidadoso. La solución total vendrá dada por la INTERSECCIÓN de las dos soluciones parciales; es decir, los valores que estén contenidos en las dos áreas sombreadas a la vez.
En este caso no existe intersección de los dos conjuntos de las soluciones parciales. Luego, no existen valores de X que satisfagan simultáneamente a las dos inecuaciones. La solución es un conjunto vacío. X = EJERCICIO 3 : Resolver X+2 < 7 X-3 > 6 EJERCICIO 4 : Resolver 3X – 4 < X + 2 Solución :
Se resuelven por separado las dos inecuaciones.
Resolviendo la primera inecuación : – 10X + 2 < 3X + 28
Solución :
Se resuelven por separado las dos inecuaciones. X+2 < 7 X < 7 – 2 ; X < 5 Resolviendo la primera inecuación : La forma más fácil de visualizar las soluciones es la gráfica :
INECUACIONES O DESIGUALDADES 3X – 4 < X + 2 Ing. José Luis Albornoz Salazar
; ; –8 ; – 33 – Ordenar de manera tal que las variables queden ubicadas en el primer miembro (lado izquierdo de la desigualdad) y los números en el segundo miembro (lado derecho de la desigualdad). (– 13X < 26).( – 1)
X > 13X > – 26
X > – 2 Al “pasar” un término de un miembro al otro se debe cambiar el signo de dicho término.
3X – X < 2 + 4 ; 2X < 6
El “2” que está multiplicando a la “X” en el miembro izquierdo de la inecuación pasará al miembro derecho dividiendo al “6” (Esto solo se puede hacer si el coeficiente que acompaña a la variable es positivo).
Si la variable hubiese estado acompañada por un número negativo, primero se multiplica toda la inecuación por “menos uno” y después se hace el despeje.
2X < 6 ; X < ; X < 3
Lo que significa que “X” puede tomar valores menores a 3 (no incluye al 3).
/////////////////////////////////////////////////////////////////// Lo que significa que “X” puede tomar valores mayores a “ – 2” (no incluye al “– 2”).
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// -2 + 8
Superponiendo las dos soluciones gráficas :
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////// /////////////////////////////////////////////////////////////////// –8 -2 3 + 8
Sea muy cuidadoso. La solución total vendrá dada por la INTERSECCIÓN de las dos soluciones parciales; es decir, los valores que estén contenidos en las dos áreas sombreadas a la vez.
Solución en forma de intervalo: –8 3 + 8 X = (-2,3) Resolviendo la segunda inecuación :
– 10X + 2 < 3X + 28 Ordenando las variables al lado izquierdo y los números al lado derecho:
– 10X – 3X < 28 – 2 – 13X < 26 EJERCICIO 5 :
Solución : Resolver 2X + 1 = 4X – 3
4X – 3 < X + 7 Como la variable ”X” está acompañada por un coeficiente con signo negativo (– 13) se debe multiplicar toda la inecuación por “menos uno”, teniendo en cuenta que se deben cambiar los signos de todos los términos y también se debe cambiar el sentido de la desigualdad.
INECUACIONES O DESIGUALDADES Se resuelven por separado las dos inecuaciones. Resolviendo 2X + 1 = 4X – 3 2X – 4X = – 3 – 1 ; – 2X = – 4 Ing. José Luis Albornoz Salazar
; ; ; ; + 8 2 ) } – 34 – Al multiplicar por menos uno : EJERCICIO 6 : Resolver 2X = 4 X = X = 2 3 = 4 (X – 2) –8 //////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 2 + 8 Solución : Resolviendo 4X – 3 < X + 7 Se resuelven por separado las dos inecuaciones. Resolviendo la primera inecuación : 4X – X < 7 + 3 3X < 10 X < //////////////////////////////////////////////////////////////// –8
Al sobreponer ambas gráficas se observa fácilmente la intersección: Cuando alguno, varios o todos los términos de la inecuación presenten fracciones, se recomienda “eliminar” los denominadores para que la inecuación quede expresada en forma lineal. La operación para “eliminar” los denominadores se realiza en forma similar que con las ecuaciones. Primero se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores: –8 ////////////////////////// + 8 (m.c.m de 6, 2 y 4 = 12)
Luego se multiplica TODA la inecuación por el m.c.m (se debe multiplicar cada término por el m.c.m):
La solución: 2 = X =
En forma de intervalo: X = [ 2, En forma de conjunto: X = {X ? R / 2 = X <
INECUACIONES O DESIGUALDADES Posteriormente se divide cada numerador entre su respectivo denominador. 2X – 4 + 18X < – 3X
La inecuación ha quedado expresada en forma lineal y su solución puede ser enfocada de la misma forma como los ejercicios anteriores: Ing. José Luis Albornoz Salazar
; ; (no incluye ; + 8 ; ; ; + 8 + 8 ) – 35 – 2X + 18X + 3X < 4 23X < 4 X < Posteriormente se divide cada numerador entre su respectivo denominador. 2 – X – 15 = 20X – 40 Lo que significa que “X” puede tomar valores menores a
al ) La inecuación ha quedado expresada en forma lineal y su solución puede ser enfocada de la misma forma como los ejercicios anteriores: – X – 20X = – 40 – 2 + 15 – 21X = – 27 //////////////////////////////////////////////////////////////// –8
Resolviendo la segunda inecuación : Como la variable ”X” está acompañada por un coeficiente con signo negativo (– 21) se debe multiplicar toda la inecuación por “menos uno”, teniendo en cuenta que se deben cambiar los signos de todos los términos y también se debe cambiar el sentido de la desigualdad. 3 = 4 (X – 2) (– 21X = – 27).( – 1) 21X = 27 X = Primero se realiza la multiplicación indicada en el miembro derecho de la inecuación : Como al reducir por tres X = 3 = 4X – 8
Cuando alguno, varios o todos los términos de la inecuación presenten fracciones, se recomienda “eliminar” los denominadores para que la inecuación quede expresada en forma lineal. La operación para “eliminar” los denominadores se realiza en forma similar que con las ecuaciones. Primero se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores: (cuando exista un solo denominador se tomará como m.c.m. En este caso m.c.m = 5) Luego se multiplica TODA la inecuación por el m.c.m (se debe multiplicar cada término por el m.c.m):
(5)(3) = 5(4X – 8)
15 = 20X – 40
INECUACIONES O DESIGUALDADES Lo que significa que “X” puede tomar valores menores o iguales a
//////////////////////////////////////////////////////////////////////// –8
Al sobreponer ambas gráficas se observa fácilmente la intersección:
////////////////////////////////////////////////////////////////////////// /////////////////////////////////////////////////////////////// –8
Sea muy cuidadoso. La solución total vendrá dada por la INTERSECCIÓN de las dos soluciones parciales; es decir, los valores que estén contenidos en las dos áreas sombreadas a la vez.
Solución en forma de intervalo: X = (– 8 ,
Ing. José Luis Albornoz Salazar
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